命題3.13：

如果兩圓相切，那么切點只有一個

已知：圓ABCD，圓BEDF，兩圓內(nèi)切

求證：圓ABCD，圓BEDF切點只有一個

解：

假如圓ABCD，圓BEDF切點不只一個

設(shè)圓ABCD，圓BEDF切于點B，D

連接BD

（公設(shè)1.1）

求出圓ABCD的圓心點G

（命題3.1）

求出圓BEDF的圓心點H

（命題3.1）

證：
∵點G為圓ABCD的圓心，點H為圓BEDF的圓心，兩圓切于點B，D

（已知）

∴點B，G，H，D在同一直線上

（命題3.11）

∵點G為圓ABCD的圓心

（已知）

∴BG=DG

（定義1.15）

∵DG＞DH

（公理1.5）

∴BG＞DH

（公理1.1）

∵BH＞BG

（公理1.5）

∴BH＞DH

（隱藏公理）

∵點H為圓BEDF的圓心

（已知）

∴BH=DH

（定義1.15）

∴圓ABCD，圓BEDF內(nèi)切時，切點只有一個

已知：圓ACD，圓ACK，兩圓外切

求證：圓ACD，圓ACK切點只有一個

解：

假如圓ACD，圓ACK切點不只一個

設(shè)圓ACD，圓ACK切于點A，C

連接AC

（公設(shè)1.1）

證：
∵點A，C在圓ACD上

（已知）

∴AC在圓ACD內(nèi)

（命題3.2）

∵點A，C在圓ACK上

（已知）

∴AC也在圓ACK內(nèi)

（命題3.2）

∴這是不可能的

（定義3.3）

∴圓ACD，圓ACK外切時切點只有一個

證畢

此命題在《幾何原本》中再未被使用