牛頓和萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646~1716)創(chuàng)立微積分，把無限帶進了數(shù)學(xué).牛頓在微分學(xué)中把增量dx看作無窮小，時而引進來， 時而忽略不計， 真可謂“呼之即來， 揮之即去”.于是貝克萊大主教稱dx為“逝去量的鬼魂”，馬克思評論略去高級無窮?。╠x2）是“暴力鎮(zhèn)壓”. 唯心主義者的攻擊和革命導(dǎo)師的批評都說明，微積分確實“不嚴(yán)格”.這一嚴(yán)格性的問題在19世紀(jì)末年已經(jīng)解決.柯西建立了嚴(yán)格的極限理論，引進ε-δ定義.戴德金、康托爾等又將實數(shù)理論嚴(yán)密化，分析學(xué)有了可靠的基礎(chǔ)和完整的體系.因此，龐加萊在1900年的國際會議上宣布：“現(xiàn)在我們可以說，完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達到了.” 三年后, 英國的羅素 (BertrandArthur William Russell, 1872~1970)于1902年提出了一個集合論上的悖論. 這一悖論是如此清晰，數(shù)學(xué)家?guī)缀鯖]有辯駁的余地.正當(dāng)康托爾創(chuàng)立的集合論開始為大家所接受的時刻，突然宣布集合論本身是自相矛盾的. 一盆冷水澆下來， 使數(shù)學(xué)家們目瞪口呆.數(shù)理邏輯學(xué)的前驅(qū)弗 羅素雷格(Friedrich Ludwig Gottlob Frege,1848~1925)在他的《論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》卷二的書后寫道：“對一個科學(xué)家來說，沒有一件事比下列事實更令人掃興： 當(dāng)他工作剛剛完成的時候，突然它的一塊奠基石崩塌下來了. 當(dāng)本書的印刷快要完成時，羅素先生給我的一封信就使我陷于這樣的境地.” 　 那么這顆重磅炸彈——羅素悖論究竟是怎么說的呢?試把集合分成兩類：自己為自己元素者作為甲類(例如由圖書館構(gòu)成的集合M仍是圖書館，即M∈M)，自己不是自己的元素的集合作為乙類(例如由人組成的集合N不是人，N不是N的元素).用符號表示就是M∈甲類意味著M∈M，M∈乙類意味著M?M.這樣，一個集合M，要么M∈甲，要么M∈乙，二者必居其一且僅居其一.羅素問：乙類集合的全體也是一個集合，它屬于哪一類?請看： 若乙∈甲，則依甲的定義應(yīng)有乙∈乙，這和乙∈甲矛盾，不可能；若乙∈乙，則依甲的定義應(yīng)有乙∈甲，又產(chǎn)生矛盾.總之，陷于左右為難自相矛盾的尷尬境地. 　　羅素悖論震撼了數(shù)學(xué)界.號稱天衣無縫、絕對正確的數(shù)學(xué)居然會出現(xiàn)自相矛盾，正如晴朗的天空上出現(xiàn)一片烏云，眼看著傾盆大雨就要來臨了. 　　無獨有偶，1900年的國際物理學(xué)大會上，大物理學(xué)家開爾文勛爵(Lord Kelvin, 原名Wiliam Thomson, 1824~1907)宣稱,牛頓力學(xué)和麥克斯韋的電磁學(xué)方程已把物理學(xué)問題全都解決了. 其口氣與龐加萊如出一轍.然而，他也注意到邁克耳孫(Albert Abra-ham Michelson, 1852~1931)和莫雷(Edward Williams Morley,?1838~1923)的光速不變實驗和黑體輻射現(xiàn)象使古典物理學(xué)處于不能自圓其說的境地.這兩片烏云給物理學(xué)帶來了一場暴風(fēng)驟雨.等到雨過天晴,人們發(fā)現(xiàn):愛因斯坦(Albert Einstein, 1879~1955)創(chuàng)立的相對論代替了牛頓力學(xué).短短幾年的時間，物理學(xué)面目全非了. 　　羅素悖論使數(shù)學(xué)家感到“不安全”，于是努力設(shè)法消除這個怪物.邏輯主義、直覺主義、形式主義因而相繼出現(xiàn)，一場大論戰(zhàn)把數(shù)學(xué)推向了一個新階段. 　　提起悖論， 我們并不陌生. 古希臘一個克里特島上的人X說“我說的這句話是謊話”.這句話不能真，因為如果是真話，則X在說謊，從而這句話假.同時這句話不能假，如果這是假話，則X不說謊，又得這句話真.橫豎都不對. 　　中國古時民間故事也有類似的悖論. 一位訟師收徒弟，言明學(xué)成后打贏一場官司交一兩銀子，打輸一場就可不交.后來弟子滿師打贏官司一直不交錢.老訟師氣極了，告到縣里，和這位弟子打官司. 這個弟子不慌不忙地對訟師說：“這場官司贏了當(dāng)然不給你銀子，如果打輸了照規(guī)矩也不交銀子，反正我橫豎不交錢.”一句話把老訟師氣死了. 　　這種語義悖論可以通過分析事理來加以判斷真?zhèn)?，或者所說的話無意義，或者所訂協(xié)議不合理等等，因而可把悖論避開.然而羅素悖論都是從康托爾集合論的原理“嚴(yán)格”地構(gòu)造出來的，這就不能不認(rèn)真對待了. 　　人們從羅素悖論回溯，原來“集合的集合”這句話不能隨便說.“一切集合所成之集”、“一切序數(shù)所成之集”早在1894年、1895年已被發(fā)現(xiàn)可以引起悖論，不過那時人們不大在意. 進入20世紀(jì)，人們看到這一矛盾的解決和對整個數(shù)學(xué)的看法有關(guān).哪些概念不準(zhǔn)確、哪些提法不嚴(yán)格、哪些推理不能用，都得一一加以檢查.而由于哲學(xué)觀點不同，就產(chǎn)生了幾大派. 　　邏輯主義學(xué)派的代表人物是羅素和懷特黑德 (Alfred North Whitehead,1861~1947,英國數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家). 他們兩人合作寫了著名的《數(shù)學(xué)原理》，共三卷, 在 1910~1913年出版.[1]他們的基本觀點是“數(shù)學(xué)即邏輯”. 羅素說：“邏輯即數(shù)學(xué)的青年時代，數(shù)學(xué)即邏輯的壯年時代.”在羅素看來，數(shù)學(xué)不過是由命題p推?懷特黑德出命題q的這種演繹的總和.數(shù)學(xué)沒有內(nèi)容，只有形式.只要不允許用“集合的集合”這種邏輯語言，悖論就不會發(fā)生.羅素在論及數(shù)學(xué)時這樣表述：“數(shù)學(xué)是這樣一門學(xué)科，在其中我們永遠(yuǎn)不會知道我們所講的是什么，也不會知道我們所說的是不是真的.”[2]他的眼里只有“若p則q”這種邏輯推理的形式外殼， 沒有幾何和物理的意義，當(dāng)然不必知道講的是什么.由于沒有實際內(nèi)容，當(dāng)然也就無所謂真、假.顯然，這是一種唯心主義的說法.邏輯主義學(xué)派在數(shù)學(xué)上不能自圓其說，把數(shù)學(xué)全部歸結(jié)為邏輯的企圖沒有也不可能實現(xiàn)，后來追隨的人很少，現(xiàn)在已沒有純粹的邏輯主義者了.但是，羅素和懷特黑德的工作在數(shù)理邏輯這門學(xué)科的建立上有不可磨滅的貢獻，它以完全形式的符號實現(xiàn)了邏輯的徹底公理化，揭示了數(shù)學(xué)和邏輯之間的關(guān)系，對于當(dāng)今計算機的研制和人工智能的研究有重大現(xiàn)實意義.羅素活了98歲，于1970年才去世.他是一位著名的和平主義者，晚年長期領(lǐng)導(dǎo)禁止核武器運動，1950年獲得諾貝爾和平獎. 　　第二個學(xué)派是直覺主義學(xué)派. 這一派認(rèn)為數(shù)學(xué)理論的真?zhèn)?，只能用人的直覺去判斷.“基本的直觀是按時間順序出現(xiàn)的感覺”，例如，由于無限反復(fù)，頭腦中形成了一個接一個的自然數(shù)概念.一個接一個、無限下去，這是可以承認(rèn)的(哲學(xué)上稱為潛無限). 因為人們認(rèn)為時間不是有限的，可以一直持續(xù)下去，但永遠(yuǎn)達不到無限(即實無限).所謂“全體實數(shù)”是不可接受的概念.“一切集合的集合”之類更是不能用直觀理解的，因而不承認(rèn)它的合理性，“悖論”自然也就不會產(chǎn)生了. 　　這一派最早的代表人物是克羅內(nèi)克. 他有一句名言：“上帝創(chuàng)造自然數(shù)，別的都是人造的.”據(jù)查，這是他在午餐會上說的話，并未正式發(fā)表.意思是說，只有自然數(shù)是人們可以感覺的真實存在，其余都只是人為造出來的一些文字符號而已.他只承認(rèn)用有限步可以確定的對象.一個微分方程如果不能用有限步構(gòu)造出可任意逼近的解，不能認(rèn)為它有解存在. 對于通常許多存在定理，他是不承認(rèn)的.希爾伯特的老師林德曼(Carl Louis Ferdinand Lindemann,1852~1939)曾證明π是超越數(shù). 克羅內(nèi)克對他說：“無理數(shù)是不存在的，你對于π的美麗的探討有什么用處?"[3] 　　龐加萊在某種程度上也支持直觀主義.許多數(shù)學(xué)家都認(rèn)為能夠“構(gòu)造”出對象而不是純粹地談它的存在是有益的.至于近代直覺主義的系統(tǒng)創(chuàng)立人，應(yīng)該是荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾(Luitzen Egbertus JanBrouwer, 1881~1966). 他把數(shù)學(xué)思維理解為一種創(chuàng)造性程序，數(shù)學(xué)必須受到基本的數(shù)學(xué)直覺的限制. 這一基本思想在他?布勞威爾1907年的博士論文《關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中已經(jīng)產(chǎn)生，后來在1925年和1926年又發(fā)表一系列重要論文加以論述. 他最驚人的主張是不承認(rèn)排中律，不準(zhǔn)用反證法證明一命題為真.例如，如果已證明在某個無窮集合中，并不是所有元素都具有某性質(zhì)，按布勞威爾觀點，不能說至少有一元素具有此性質(zhì)，除非你把這個元素具體指出來.他的理由是：你沒有構(gòu)造出來，你就不能說“存在”. 在無窮集合中，你無法一個一個地拿出來檢驗是否具有某性質(zhì)，你怎么能說至少有一個元素呢?否定“無限多個都具有某性質(zhì)”，并不能直覺地告訴我哪一個元素具有此性質(zhì)，因而反證法不能亂用. 　　這些觀點起初不為大家所接受.希爾伯特曾說“不準(zhǔn)數(shù)學(xué)家使用排中律，就和不準(zhǔn)天文學(xué)家使用望遠(yuǎn)鏡、不準(zhǔn)拳師用拳頭一樣”；甚至說了“數(shù)學(xué)家中居然有人不承認(rèn)排中律，這是數(shù)學(xué)家的羞恥”.[4]這些話都沒有了解布勞威爾觀點的精髓.其實上述“構(gòu)造”性觀點還是很重要的.純存在性的定理，例如歐幾里得(Euclid，約公元前330~公元前275)證明質(zhì)數(shù)無限多，并沒有指出第n個質(zhì)數(shù)如何確定的一般方法，就不能算是好的證明，至少還不完善. 現(xiàn)在，大多數(shù)數(shù)學(xué)家都認(rèn)為構(gòu)造性觀點是很對的、很重要的.后來希爾伯特也吸收了布勞威爾的長處，堅持有窮性觀點最可靠，這正是直覺主義的核心.由此可見，各學(xué)派之間還有相互促進的一面. 第三派是形式主義學(xué)派.它的代表人物是希爾伯特.他在1899年寫過《幾何基礎(chǔ)》一書，詳細(xì)研究過幾何公理. 他從非歐幾何得到啟發(fā)，認(rèn)為所謂數(shù)學(xué)真理性不過是一個公理系統(tǒng)是否相容的問題.在集合論悖論出現(xiàn)之后，希爾伯特沒有氣餒. 他奮起保衛(wèi)“無窮”，支持康托爾反對克羅內(nèi)克，給純粹性證明打氣. 他在1904年國際數(shù)學(xué)家大會上，論述這些觀點， 1920年代又發(fā)表了幾篇重要論文.他和他的學(xué)生貝爾奈斯(Paul Isaak Bernays, 1888~1977)寫的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》兩卷集是重要的經(jīng)典著作. 　　形式主義者認(rèn)為： 無論是數(shù)學(xué)的公理系統(tǒng)或邏輯的公理系統(tǒng)，其中只要能夠證明該公理系統(tǒng)是相容的、獨立的和完備的，該公理系統(tǒng)便獲得承認(rèn)，它便代表一種真理. 悖論是不相容的一種表現(xiàn). 　　從這個思想出發(fā)，希爾伯特打算把整個數(shù)學(xué)都公理化，并驗證它的無矛盾性. 他設(shè)想最后只須驗證算術(shù)公理的無矛盾性. 這一奢望后來被哥德爾打破了. 希爾伯特的形式主義計劃沒有可能全部實現(xiàn), 但是他所創(chuàng)造的“元數(shù)學(xué)”(Metamathematics),已經(jīng)成為人類的重要數(shù)學(xué)寶藏. 　　關(guān)于形式主義的爭論是最激烈的.責(zé)難的人以為“以相容性作真理標(biāo)準(zhǔn)不充分”，相容的理論可以說得頭頭是道但完全錯誤，悖于情理.相容性也不是其理論所必需的.我們不是談絕對真理，稍微有些不相容也沒有關(guān)系.對此，希爾伯特也作了針鋒相對的回答. 　　迄今為止，這場爭論尚未停止.當(dāng)今的數(shù)學(xué)家，已不再劃分為三派. 他們各取所長，且發(fā)展各派所長，形成統(tǒng)一的數(shù)學(xué)分支——“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”，向著人類思維的深處探求規(guī)律，這一點我們在后面還要提到.這里可以公告的是： 　　數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)上至今仍然存在著裂縫！ 參考文獻

[1] Russell B & Whitehead A. Principia Mathematica. 3 vols. Cam-bridge: Cambridge University Press, 1910~1913 [2]同[1], 1937年版 [3]克萊因.古今數(shù)學(xué)思想(第四冊). 北大數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史譯組譯. 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1981, 308 [4]赫爾曼·外爾.大衛(wèi)·希爾伯特及其數(shù)學(xué)工作.見：數(shù)學(xué)史譯文集.上海： 上海科學(xué)技術(shù)出版社， 1981