前言

看了永野裕之先生的數(shù)學(xué)書《數(shù)學(xué)好的人是如何思考的》，感覺印象深刻，遂把整書結(jié)構(gòu)思想摘抄總結(jié)如下。

數(shù)學(xué)實用性

愛因斯坦：所謂教育，是忘卻了在學(xué)校學(xué)得的全部知識之后所剩下的本領(lǐng)。為了讓這個本領(lǐng)能便利地解決社會中面臨的諸多問題，教育應(yīng)該培養(yǎng)的是能夠獨立思考和獨立行動的人。

?

因此，凡是不能夠獨立思考和獨立行動的人，要么是接受的教育不行，要么是懶惰。

?

通過“畫面感”和“重新制定計劃”來學(xué)習(xí)和以前不一樣的數(shù)學(xué)。

?

初中數(shù)學(xué)背后的7個技能（邏輯思考的提示，應(yīng)用層）

1.概念理解（聯(lián)想）

2.看穿本質(zhì)（廣義化）

3.合理解題（過程）

4.抓住因果關(guān)系（相似）

5.增加信息（相似歸納）

6.令人信服（證明）

7.從局部看整體（概率統(tǒng)計）

解決數(shù)學(xué)題的10個思路（共通性的基本思考方法）

1.降低次方和次數(shù)

2.尋找周期性和規(guī)律性

3.尋找對稱性

4.逆向思維

5.與其考慮相加，不如考慮相乘

6.相對比較

7.歸納性的思考實驗

8.數(shù)學(xué)問題的圖像化

9.等值替代

10.通過終點來追溯起點

?

數(shù)學(xué)和算數(shù)

·算數(shù)是結(jié)果，為生活服務(wù)，因此學(xué)習(xí)算數(shù)的關(guān)鍵是記住方法，然后反復(fù)練習(xí)提高速度，以解決模式化的問題。任務(wù)完成。

·數(shù)學(xué)是過程，為解決問題服務(wù)，因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是為了生活，而是為了鍛煉邏輯思維能力，從而解決未知的問題。

·綜上：算術(shù)追求的是結(jié)果的正確性，數(shù)學(xué)則追求的是邏輯的正確性，換句話說就是過程的嚴(yán)謹(jǐn)與合理。

·這個時代更加需要數(shù)學(xué)，因為麻省理工學(xué)院媒體實驗室的所長伊藤穰一說：世界變化如此之快，地圖已經(jīng)毫無用處。我們需要的是指南針。

?

學(xué)術(shù)學(xué)習(xí)方法摘要

?

切勿死記硬背（當(dāng)然要記憶，除了記憶還有許多工作）

死記硬背是懶惰的表象，相對懶惰，因為有些，或者許多人死記硬背都不愿意，想要坐享其成。

有些知識需要背，但是如果對于新知識，思考其對應(yīng)的現(xiàn)實含義，背誦則會更加高效且便捷。

多問為什么

數(shù)學(xué)是為了解決未知的問題的，所以記住已有的題的意義就是能夠舉一反三，通過已有的問題的總結(jié)，能夠適用于任何問題的解決技巧和捷徑。但是這些方法捷徑很難通過定理、公式和解題方法表現(xiàn)出來，而我自己有比較懶惰，沒有思考，所以我目前沒有學(xué)會。

重新定義

同切勿死記硬背，賦予新知識自己的理解，進(jìn)行重新定義，能夠幫助記憶，抓住本質(zhì)。

證明公式定理

通過證明定理，體會大師們的思路。

聞 – 思 – 教 三步走

默而識之，學(xué)而不厭，誨人不倦

?

技能詳解

概念理解

如果只是囫圇吞棗地接受看到的東西，你就很難發(fā)現(xiàn)隱藏在其深處的真理。但是，如果能通過概念進(jìn)行分析，我們的思考就是無限的，哪怕是宇宙中遙不可及的神秘世界，我們也能嘗試一探究竟。我認(rèn)為智慧與概念息息相關(guān)。通過創(chuàng)創(chuàng)造概念、深化概念，我們才能理解世界，可以說，數(shù)學(xué)的歷史就是概念的歷史。

對“質(zhì)數(shù)”的理解

數(shù)的原子結(jié)構(gòu)-分解質(zhì)因數(shù)

分解質(zhì)因數(shù)的步驟

依次除以能夠整除的數(shù)的質(zhì)數(shù)

把用于分解的質(zhì)數(shù)和剩下的質(zhì)數(shù)寫成乘積形式

分解質(zhì)因數(shù)告訴我們一個道理：將每個東西分解為不可再分的質(zhì)數(shù)，無論是解決“公因數(shù)”還是“公倍數(shù)”的問題，都是最有效的方法。當(dāng)然，發(fā)現(xiàn)事物的“質(zhì)”絕非易事，但只要我們追根溯源，就能發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)，所以我希望大家在思考問題時候不要半途而廢，要有追根究底的精神。

貌似，這次探索確實對我有幫助，以前就沒有發(fā)現(xiàn)。

把無法抓住本質(zhì)的數(shù)（無理數(shù)）作為概念理解

有理數(shù)–有比數(shù)

無理數(shù)–無比數(shù)

?

為了計算，自然數(shù)誕生了；為了分配、求算比例，分?jǐn)?shù)誕生了；為了表示“無”，0誕生了，為了在同一個概念中掌握相反的概念，負(fù)數(shù)誕生了。

?

看穿本質(zhì)

一定要懂得從海量信息中，篩選出自己想要的信息并抓住其本質(zhì)。

首先若能將對象一般化，我們便能統(tǒng)一處理龐大的信息，另外，如果能意識到某個問題的基本組成要素，我們就能認(rèn)識到眼前問題的復(fù)雜性，并能找到處理方法。并且，數(shù)學(xué)可以幫助我嗎們推斷沒有的東西。

數(shù)學(xué)和算數(shù)的最大區(qū)別，解決數(shù)學(xué)問題用負(fù)數(shù)和字母。用字母代替數(shù)字（代數(shù)？）

本質(zhì)就是概念。理解概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大目標(biāo)。

抓住事物的本質(zhì)，總結(jié)出共同的概念，這就是所謂的一般化，數(shù)學(xué)的基本精神就是從多個具體事例中找出潛在的本質(zhì)。因此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們應(yīng)該隨時想到用字母來表示對象。

次數(shù)：相乘的字母的個數(shù)。

因式分解

因式分解的意義在于增加的式子的信息量，就像做輔助線增加圖像的信息量一樣。但是，因式分解后，做完輔助線后，我們要利用好其他的式子的基本變形，通過輔助線構(gòu)造的平行相似，再進(jìn)行下一步操作。

因式分解基本要求

提取公共的因數(shù)

對最低的字母進(jìn)行整理

再利用現(xiàn)成的因式分解公式

?

合理解題

要點

正確的過程

總結(jié)規(guī)則

模式化

等式的性質(zhì)及其重要性

邏輯推理的前提

詭辯的產(chǎn)生

0不可作為除數(shù)的原因

證明2=1

聯(lián)立方程組

方程增加約束，未知數(shù)的個數(shù)又稱自由度

代如法解決方程及加減法解方程

代入法解方程組

只要是帶有字母的方程，我們就必須時刻不忘消去未知數(shù)，這是解答代數(shù)問題最重要的基本方針。時刻遵循確定要消去的字母->對確定的字母進(jìn)行求解->帶入其它式子進(jìn)行解方程

完全掌握初中數(shù)學(xué)式子變形的知識點的知識點–完全平方

完全平方的基礎(chǔ)式

式子的特點，第二個k為第一個k的一半，第三個k為第二個k的平方，內(nèi)部2

K的一半，減去外面K的平方

例子

3為6的一半，9為3的平方。3為上面公式的K，K為核心。

?

抓住因果關(guān)系

要點

找出單射（最基本的單射–比例）

熟練掌握并利用“線性”與“非線性”的關(guān)系

由“比例”走進(jìn)函數(shù)的世界。函數(shù)關(guān)系就是指因果對應(yīng)的關(guān)系。一次函數(shù)是線性函數(shù)，我們可以通過一次函數(shù)認(rèn)識世界；二次函數(shù)事“非線性”函數(shù)，我們可以通過二次函數(shù)表現(xiàn)真實的世界。

線性代數(shù)：線性代數(shù)是在求解聯(lián)立一次方程組的基礎(chǔ)之上展開的。

?

增加信息

要點

從方法中探索原理

準(zhǔn)備有效的核對清單

分類

找出相似之處

初中數(shù)學(xué)中代數(shù)與幾何各占半壁江山，但是幾何問題就像猜謎語，無法明確的提高邏輯思維能力，所以高中以后幾何就變少了，但是也會有一些作用，比如提高信息量。

輔助線不是隨意畫的。平行線的作用正是獲得“更多有用的信息”。

垂直平分線

角平分線

?

做出這些東西后，思考垂直平分線的定義與性質(zhì)，然后這些定義和性質(zhì)就是能帶來的信息量。

方法中的原理：忽略原理，你找的所謂捷徑也是繞遠(yuǎn)路，而且很難達(dá)到目的。

?

知道“方法”總是比沒有好，但是僅僅滿足方法，就會忽略其中的本質(zhì)，在學(xué)習(xí)做圖中，學(xué)生可能會通過記住方法在學(xué)生中得分，但是如此，就壓制了他們的好奇心。我認(rèn)為，問（而且是一直問）“為什么”是掌握數(shù)學(xué)技能 的唯一“資質(zhì)”。放大方法的作用，是一件令人遺憾的事。

準(zhǔn)備清單以便高效率的收集信息

?

應(yīng)用：證明全等三角形的方法思想

?

三角形若干角相等，邊相等，三角形全等。

?

分類歸納信息（定義）

1.等腰三角形

2.正三角形

3.平行四邊形

4.長方形

5.菱形

6.正方形

7.行星分類

信息量最多的圖形圓

相似的核心思想：成比例

通過相似圖形的知識點，在生活中找相似的事和物，信息量增多的同時，還能發(fā)現(xiàn)很多隱藏的性質(zhì)。

芥川龍之介：“人生就好像一盒火柴，如果很小心翼翼地對待它，是有些可笑的；可是如果不認(rèn)真對待它，又是很危險的?！?/p>

不只是這句話的比喻，當(dāng)你發(fā)現(xiàn)某個東西和另一個東西很相似的時，會有一種豁然開朗的感覺，當(dāng)用舉例子進(jìn)行論證的時候，自己滿意，別人也更加容易理解，類比是論證中最為重要的方法。

?

令人信服

要點

明確假設(shè)、結(jié)論

簡明地證明“假設(shè)”的原因

不要現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣

邏輯正確（利用數(shù)學(xué)證明），就能擁有壓倒性的說服力，任何人都無法違抗真理

邏輯的基礎(chǔ)

假設(shè)和結(jié)論

芝諾悖論（追烏龜?shù)墓适拢?/p>

PAC思考法

?

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，很少提到“前提”一詞，但是在我們?nèi)粘Ｉ钪?，偶爾會遇到前提有些奇怪的“邏輯”。欺詐的“邏輯”大多數(shù)都是這個模式。即使“假設(shè)->結(jié)論”的邏輯無懈可擊，但是如果你覺得可疑的話，不妨關(guān)注一下前提P，琢磨一下前提是否存在問題。

1+1在二進(jìn)制的條件下成立。

?

愛因斯坦說：常識就是人在十八歲之前形成的各種偏見

。

由于生長環(huán)境的不同，我們的常識可能對對方而言并非常識。要和背景不同的人展開合乎邏輯的討論，切記在討論之前，認(rèn)真確認(rèn)前提。（和哲學(xué)終極三問的第一問：是何如此相像。）

數(shù)學(xué)考試的目的

?

邏輯表達(dá)能力（人話就是能夠一五一十的寫出得到答案的過程）

數(shù)學(xué)考試是加分項

?

對于考生而言，只能通過答案展示自己的實力，而對于評分老師而言，答案紙上所有內(nèi)容都是對考生做出評價的參考資料?？忌仨氃诖鸢钢袑⒆约赫莆諙|西全部表現(xiàn)出來。

我們無需復(fù)制習(xí)題集里那種格式工整的答案，只需按照自己的思想，想到哪兒就寫到哪兒，想到多少就寫多少。因為數(shù)學(xué)是加分制，寫多不扣分。

不用擔(dān)心答案寫的太多。在答題的時候，清楚地意識到，答案紙是展現(xiàn)自己實力的唯一舞臺，因此，多寫一點才不會失去表現(xiàn)的機(jī)會。

如果想寫出能得高分的答案，就要把閱卷“老師”當(dāng)成自己的朋友，他的數(shù)學(xué)比你差，因此，你一定要詳細(xì)地寫出答題過程，只有這樣，他才明白答案是怎么得來的。

證明題的書寫方法

基于假設(shè)，有條不紊地展開推到，最終得出結(jié)論。這是解題方法，也是寫證明題應(yīng)遵循的順序。

許多人在學(xué)生時代都不擅長做證明題，數(shù)學(xué)磨煉的是一個人的邏輯思考能力，從這個角度來看，證明題的作用尤為重要。

要點

清楚地寫明假設(shè)和結(jié)論

完整地寫出由假設(shè)得出結(jié)論的理由

“A等價于B等價于C等價于D”和“如果”同時存在時，應(yīng)寫明“如果”出現(xiàn)的條件和結(jié)果

站在讀者的立場，耐心地寫清楚證明過程。

?

?

站在別人的立場，這一條乍看之下有點道德約束，實際上這一點非常重要，寫證明題，最忌諱的就是自說自話。

?

正多邊形的個數(shù)為有限個的證明過程

?

學(xué)習(xí)證明過程的思想不在于知道一個真理，而是體會發(fā)現(xiàn)真理的過程。背誦一個理論，在大多數(shù)是沒有用處的，但是如果親自驗證，就能夠理解理論得來的過程，理論就變的有意義。

勾股定理

?

深奧的“邏輯之森”的入口

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不是培養(yǎng)利用公式來解決模式化問題的能力，而是要磨練運用邏輯思維解決未知問題的能力。 從培養(yǎng)邏輯思維的角度來看，證明勾股定理是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重，勾股定理作為高中的“邏輯之森”的路口，蘊(yùn)含著耐人尋味的美景。（普通的我們只需要欣賞邏輯的美麗，探尋蠻荒之地交給科學(xué)家）

?

從局部看整體

要點

挑選“代表”

不依賴直覺

不傾向使用混雜的數(shù)據(jù)

統(tǒng)計

包括描述統(tǒng)計學(xué)與推斷統(tǒng)計學(xué)

概率

破除錯覺

抽樣調(diào)查

以小見大

進(jìn)階：將數(shù)據(jù)的分布帶入考慮

?

綜合問題——如何使用7個技能

看書吧

總結(jié)

從“數(shù)與式”與“函數(shù)中”，期望能夠通過邏輯思維解決問題。

從圓與三角形圖形知識中，體會分類和制約中發(fā)現(xiàn)潛在性質(zhì)的方法，以及從假設(shè)導(dǎo)出結(jié)論的證明過程。