對于下式

這個等式說明的是x 趨近于x0的這個無限過程的結(jié)果等于x0,而并不是說x=x0。既然我們假定數(shù)軸是由一個一個的點構(gòu)成的，那我們就可以假設(shè)最靠近0的那個點存在，但這個點我們無法確定它的數(shù)值。我們不管這個a點能不能用數(shù)字表示，只要認(rèn)為它存在就可以了。

如圖所示，我們假設(shè)a點是最靠近0的那個點，注意，0點和a點之間沒有連線，這是因為我們本來就假設(shè)a是最靠近0的那個點，中間當(dāng)然沒有其他的點。有了這個假設(shè)以后，我們就可以認(rèn)為，

當(dāng)這個極限當(dāng)x越過a點時，這個表達(dá)式就成立，因為x這個點的位置，只能要么用0 表示，要么用a表示。或者更進(jìn)一步，我們還可以假定，0點和a點之間雖然已經(jīng)不存在其他的點，但當(dāng)x點向著0點的方向越過0點和a點之間距離的一半的時候，那么對于x這個點來說，就只能用0來表示了，因為這段距離內(nèi)已經(jīng)沒有其他的點可以用來表示x這個點的位置了。這樣的過程也可以解釋極限值為什么是精確值。如下圖所示。

再考慮導(dǎo)數(shù)為什么是精確值。

參考上圖，以前面的假設(shè)為基礎(chǔ)，現(xiàn)在要求出P0點的導(dǎo)數(shù)值。現(xiàn)在假設(shè)，曲線上的P點是曲線上最靠近P點的第一個點，PP0這兩個點的連線和P0點的切線（直線TP0）在PP0這段距離上完全重合，所以，P0點的導(dǎo)數(shù)就等于P點的縱坐標(biāo)除以它的橫坐標(biāo)，也就是說，按照上面的解釋，P點的導(dǎo)數(shù)值就精確地等于這一點的斜率。

再考慮積分值為什么是精確值。

如上圖，考慮矩形Ai。如果要使得積分值是精確值，則必須三角形mnp的面積為0。那怎么樣才能認(rèn)為mnp的面積為0呢？np是垂直于x軸的直線，我們現(xiàn)在假設(shè)，在曲邊梯形無限細(xì)分的過程中，出現(xiàn)這種情況：對于垂線np來說，最靠近于n這個點的第一個點不是p,而是q,也就是說，p處于n以及最靠近它的第一個點q之間，也就意味著，p這個點的位置已經(jīng)沒有任何一個數(shù)字能夠表示，也就是np的長度無法用一個數(shù)值表示，從而三角形mnp的面積也就不存在，所以，這個時候可以認(rèn)為三角形mnp的面積等于0，從而可以認(rèn)為積分值是精確值。

回顧一下極限理論的提出過程：

極限理論是研究關(guān)于極限的嚴(yán)格定義、基本性質(zhì)和判別準(zhǔn)則等問題的基礎(chǔ)理論。

極限思想的萌芽可以追溯到古希臘時期和中國戰(zhàn)國時期，但極限概念真正意義上的首次出現(xiàn)是在沃利斯的《無窮算數(shù)》中，牛頓在其《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中明確使用了極限這個詞并作了闡述。但直至18世紀(jì)下半葉，達(dá)朗貝爾等人才認(rèn)識到，把微積分建立在極限概念的基礎(chǔ)之上，微積分才是完善的，柯西最先給出了極限的描述性定義，之后，魏爾斯特拉斯給出了極限的嚴(yán)格定義（ε-δ和ε-N定義）。

從此，各種極限問題才有了切實可行的判別準(zhǔn)則，使極限理論成為了微積分的工具和基礎(chǔ)。

本人沒看過上面兩本書，但真的很想知道，當(dāng)初牛頓、柯西等人提出這個極限思想的時候，他們到底是怎么想的，等本人死了以后，如果能見到柯西，就想當(dāng)面問問他，他當(dāng)時是怎么考慮極限是精確值這個概念的？是不是和我這篇文章寫的有相通的意思？