驚！學(xué)了這么久的追及問題，其實(shí)竟是牛吃草
有家長提問——
甲乙兩車分別從AB兩地同時(shí)出發(fā)同向而行，乙在前甲在后，若甲車以2倍原速去追需5小時(shí)追上乙車，若甲車以3倍原速去追則需3小時(shí)，那么甲車以原速去追需幾小時(shí)？
他說——
孩子說這道題可以列算式“(2×5-3×3)÷2”去求乙車車速，我問他為什么，他講了一通我還是聽不明白，關(guān)鍵是，這個速度的單位是什么呀？請教一下⑨老師，這樣列算式對嗎？
【思路】
先做一道經(jīng)典牛吃草問題，理解“總消耗=總生長”模型；
再回到本題，把追及問題中的“路程差”“乙速”“甲速”“速度倍數(shù)”“小時(shí)數(shù)”分別轉(zhuǎn)化為牛吃草問題中的“原草”“草速”“牛速”“頭數(shù)”“天數(shù)”；
先設(shè)甲按照原速每小時(shí)走1份路程，然后按照牛吃草問題的標(biāo)準(zhǔn)解法列算式求出“草速”（乙速）和“原草”（路程差）；
最后回到追及模型，用“路程差”除以“速度差”求得“追及時(shí)間”.
【鋪墊】
一片草地每天勻速生長著牧草，如果讓2頭牛來吃，5天吃光草地，如果讓3頭牛來吃，3天吃光草地，如果讓1頭牛來吃，吃光草地需幾天？
【詳解】
以上是一道經(jīng)典的牛吃草問題，做題前先厘清以下概念：
原草——牛吃草之前就已經(jīng)存在的若干“份”草
草速——草地每天新長出幾“份”草
牛速——1頭牛1天吃1“份”草[1]
總消耗——若干頭牛連著吃若干天所吃的草量
總生長——原來就有的草量加上牛吃草過程中新長出的草量解決牛吃草問題的數(shù)學(xué)模型為“存量輸入輸出模型”[2]，該模型符合一個等式——
總消耗=總生長
等式具體展開變?yōu)椤?br>牛速×頭數(shù)×天數(shù)=原草+新草
牛速×頭數(shù)×天數(shù)=原草+草速×天數(shù)；從第2條的等量關(guān)系可以看出，牛兒們吃完草地上的所有草時(shí)，它們的胃里裝的不僅僅是最開始草地上所有的草（原草），還有它們吃草的這些天新長出來的草（新草）；
那么請思考：同一塊草地5天吃光與3天吃光，哪一種吃法吃的草的總量更多？
同一塊草地的原草肯定是一樣的，所以初學(xué)者往往會以為無論吃5天還是吃3天都吃了一樣多的草，這時(shí)無需多解釋，直接通過計(jì)算來比較——
（設(shè)每頭牛每天吃1份草）
①“2頭牛吃5天”共吃了1份/頭·天×2頭×5天=10份草
②“3頭牛吃3天”共吃了1份/頭·天×3頭×3天=9份草
通過①②比較，我們發(fā)現(xiàn)5天吃的草量會比吃3天的多；那么請思考：同一塊草地的原草一樣多，為什么“吃5天”就會比“吃3天”吃的草量多呢？
這樣問就算是初學(xué)者也能想明白——這是因?yàn)閮煞N吃法所吃的“新草”的量不同，而新草與天數(shù)正相關(guān)：新草=草速×天數(shù)，即，同一塊草地在全部吃光前花的時(shí)間越久，能吃到的新草就會越多；
以上定性比較完成后，接下來是定量的差量分析[3]：
第5條中情況①“吃5天”與情況②“吃3天”所吃的草量相差10份-9份=1份——
為什么會相差這1份呢？
如果都是吃3天還會相差這1份草嗎？相差1份草的原因顯然不是原草而是新草，而吃5天與吃3天的“前3天”也必定是一樣多的新草，那么唯一的不同就在于“吃5天比吃3天多吃了2天”——
正是因?yàn)槎喑粤?天，所以讓草地多長了2天的新草！第5條中情況①“吃5天”與情況②“吃3天”所吃的草量相差的1份來自于多長2天的新草，那么1天所長的新草（草速）即可求出——
草速：(1份/頭·天×2頭×5天－1份/頭·天×3頭×3天)÷(5天-3天)=0.5份/天總消耗=原草+新草
原草=總消耗-新草
原草=牛速×頭數(shù)×天數(shù)-草速×天數(shù)[4]
原草=1份/頭·天×2頭×5天-0.5份/天×5天
原草=10份-2.5份
原草=7.5份題目最后問的是“如果讓1頭牛來吃，吃光草地需幾天”，考慮每一天的“消耗”與“生長”，每天1頭牛會吃1份草，而每天草地又會長出0.5份新草，所以每天牛在消耗了新草之后，只能吃掉1份-0.5份=0.5份原草，而原草一共有7.5份，全部吃光需要幾天：
天數(shù)=7.5份÷(1份/天-0.5份/天)
天數(shù)=7.5份÷0.5份/天
天數(shù)=15天
答：如果讓1頭牛來吃，吃光草地需15天.
【正題】
甲乙兩車分別從AB兩地同時(shí)出發(fā)同向而行，乙在前甲在后，若甲車以2倍原速去追需5小時(shí)追上乙車，若甲車以3倍原速去追則需3小時(shí)，那么甲車以原速去追需幾小時(shí)？
【詳解】
以上是一道行程問題中的追及問題，做題前先厘清以下概念：
路程差——甲開始追乙之前就已經(jīng)存在的AB之間路程，這段路程恰好等于“甲從A出發(fā)到追上乙所走的路程”減去“乙從B出發(fā)到被甲追上所走的路程”
乙速——被追者每小時(shí)走的路程，這個速度用來“新增”兩人的差距
甲速——追逐者每小時(shí)走的路程，這個速度用來“吃掉”兩人的差距
速度差——速度差等于甲速減乙速，速度差代表兩人差距每小時(shí)縮短的距離，只有當(dāng)速度差大于0時(shí)甲才追得上乙
追及時(shí)間——甲乙同時(shí)出發(fā)后甲追上乙所經(jīng)歷的時(shí)長根據(jù)以上概念不難得出追及模型公式[5]——
路程差=速度差×追及時(shí)間接下來我們把以上追及問題中的概念分別轉(zhuǎn)化為牛吃草問題中的術(shù)語：
甲速→牛速——設(shè)甲以原速每小時(shí)走1份路程
路程差→原草——甲開始追乙之前就已經(jīng)存在的若干“份”路程
乙速→草速——在原有路程差基礎(chǔ)上，乙每小時(shí)新增若干份的路程用來拉開與甲的差距
追及小時(shí)數(shù)→天數(shù)——甲需要幾個小時(shí)把兩人差距“吃光”
原速倍數(shù)→頭數(shù)——設(shè)甲原速每小時(shí)行1份路程，則2倍速每小時(shí)行2份，3倍速每小時(shí)行3份，類似于一頭牛每小時(shí)吃1份草，兩頭牛每小時(shí)吃2份草，三頭牛每小時(shí)吃3份草
天數(shù)→小時(shí)數(shù)——都是時(shí)間單位然后套用牛吃草問題中的數(shù)學(xué)模型——
總追回（總消耗）=總差距（總生長）
以上等式具體展開變?yōu)椤?br>甲速×速度倍數(shù)×追及小時(shí)數(shù)=原路程差+新增路程差
甲速×速度倍數(shù)×追及小時(shí)數(shù)=原路程差+乙速×追及小時(shí)數(shù)通過畫行程圖可以看出，甲追上乙時(shí)，甲所走的路程不僅僅是最開始的AB距離（原路程差），還包含乙被追過程中所走的距離（新增路程差）；
通過上下對比行程圖中的情況①“2倍速追5小時(shí)”與情況②“3倍速追3小時(shí)”，可以發(fā)現(xiàn)甲在情況①比情況②多走了“乙的兩小格”[6]；
另一方面，我們通過計(jì)算來比較兩種情況下甲的路程——
（設(shè)甲以原速每小時(shí)走1份路程）
①“2倍速追5小時(shí)”甲共走了1份/倍·時(shí)×2倍×5小時(shí)=10份路程
②“3倍速追3小時(shí)”甲共走了1份/倍·時(shí)×3倍×3小時(shí)=9份路程
通過①②比較，我們發(fā)現(xiàn)第6條中情況①“追5小時(shí)”與情況②“追3小時(shí)”的路程相差10份-9份=1份；那么請思考：為什么會相差這1份呢？如果都是追3小時(shí)會相差這1份路程嗎？
相差1份路程的原因顯然不是原路程差而是新增路程差，而追5小時(shí)與追3小時(shí)的“前3小時(shí)”也必定是一樣多的新增路程，那么唯一的不同就在于“追5小時(shí)比追3小時(shí)多追了2小時(shí)”——?正是因?yàn)橐冶欢嘧妨?小時(shí)，所以讓他多跑了2小時(shí)的路程！
既然情況①“追5小時(shí)”與情況②“追3小時(shí)”甲所走的路程相差的1份來自于乙多走2小時(shí)的新增路程差，那么1小時(shí)的新增路程差（乙速）即可求出——
乙速（草速）：(1份/倍·小時(shí)×2倍×5小時(shí)－1份/倍·小時(shí)×3倍×3小時(shí))÷(5小時(shí)-3小時(shí))=0.5份/時(shí)總追回（總消耗）=原路程差（原草）+新增路程差（新草）
原路程差（原草）=總追回-新增路程差
原路程差（原草）=甲速×速度倍數(shù)×追及小時(shí)數(shù)-乙速×追及小時(shí)數(shù)[7]
原路程差（原草）=1份/倍·小時(shí)×2倍×5小時(shí)－0.5份/小時(shí)×5小時(shí)
原路程差（原草）=10份-2.5份
原路程差（原草）=7.5份題目最后問的是“甲車以原速去追需幾小時(shí)”，考慮每小時(shí)甲乙差距的“追回”與“拉開”，甲以原速每小時(shí)追回1份差距，而每小時(shí)乙又拉開0.5份差距，所以每小時(shí)甲在抵消了新增差距之后，只能追回1份-0.5份=0.5份差距，而原路程差一共有7.5份，全部追回需要幾小時(shí)：
追及小時(shí)數(shù)=7.5份÷(1份/小時(shí)-0.5份/小時(shí))
追及小時(shí)數(shù)=7.5份÷0.5份/小時(shí)
追及小時(shí)數(shù)=15小時(shí)
答：甲車以原速去追需15小時(shí).
【總結(jié)】
本文呈現(xiàn)了“行程體系中的追及問題”與“應(yīng)用體系中的牛吃草問題”的共通之處——通過差量分析[3]找到單位時(shí)間的新增量，差量分析作為底層原理還廣泛存在于其他題型，推薦讀者自行總結(jié)；
通過引入牛吃草問題的默認(rèn)假設(shè)：每頭牛每天吃1份草，將追及問題中的速度、路程份數(shù)化，突破了計(jì)算上的難點(diǎn)；
通過將經(jīng)典牛吃草問題的若干概念映射到追及問題中，建立了“原草”與“原路程差”、“草速”與“乙速”、“牛速”與“甲速”等概念的對應(yīng)，在對應(yīng)中我們發(fā)現(xiàn)這些“概念”其實(shí)也是可替換的變量，不變的是更本質(zhì)更通用的“數(shù)學(xué)模型”；
無論是“牛吃草”還是“n倍速追及”，都強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)模型”的建立與應(yīng)用，何為“模型”，⑨老師的理解是“通過動態(tài)轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)某種功能的系統(tǒng)”——
①符合某個數(shù)學(xué)模型的問題中，具體的數(shù)據(jù)[8]或概念[9]是模型的“元素”，“元素”可以隨時(shí)改變數(shù)值或替換為新概念但不影響模型的“結(jié)構(gòu)”
②“結(jié)構(gòu)”則是等量關(guān)系，把零散的“元素”通過等式連接起來
③等式中從一端到另一端，代表著實(shí)現(xiàn)了某種轉(zhuǎn)化的“功能”，比如等式——牛速×頭數(shù)×天數(shù)=原草+草速×天數(shù)，從左到右就實(shí)現(xiàn)了將“總消耗量轉(zhuǎn)化為總生產(chǎn)量”的功能畫行程圖上下對齊并對比兩種情況的線段能更加直觀地完成差量分析，這也反過來提示我們其實(shí)牛吃草問題也可以畫線段圖來分析.
【參考】
^題目未提到牛速時(shí)，通常默認(rèn)牛速為“1份/頭·天”，即默認(rèn)每頭牛每天吃1份草，其實(shí)默認(rèn)牛速為“1”只是一種習(xí)慣，當(dāng)然也可以設(shè)每頭牛每天吃2份草，這并不影響最終結(jié)果.
^存量即原草，也就是某個系統(tǒng)在輸入之前已經(jīng)存在一部分量了，輸入即“草速×天數(shù)”，是指在沒有輸出的情況下，系統(tǒng)內(nèi)含量會隨時(shí)間勻速增加，輸出即“牛速×頭數(shù)×天數(shù)”，也就是若干頭牛吃若干天成規(guī)模地消耗掉系統(tǒng)內(nèi)的含量，值得注意的是，該模型中輸入如果等于輸出，存量則會維持動態(tài)平衡.
^ab差量分析通常是為了找到總量的差距與單量差距之間的份數(shù)關(guān)系，關(guān)系式為“總差=每份差×份數(shù)”，該分析法廣泛用于小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，比如差倍問題、盈虧問題、牛吃草、行程問題、濃度問題等.
^此處既可以代入情況①“2頭牛吃5天”也可以代入情況②“3頭牛吃3天”，但是請注意，牛吃了幾天，新草就長了幾天.
^簡單導(dǎo)出追及模型公式：設(shè)甲速為V甲，乙速為V乙，甲從A出發(fā)到追上乙所走的路程為S甲，乙從B出發(fā)到被甲追上所走的路程為S乙，那么有S甲-S乙=路程差，由于甲乙從出發(fā)到停止經(jīng)歷了共同的追及時(shí)間t，于是路程差=S甲-S乙=V甲×t-V乙×t=(V甲-V乙)×t，我們把“V甲-V乙”又叫做速度差即V差，于是進(jìn)一步有——路程差=V差×t.
^圖中乙的1小格代表乙1小時(shí)所走路程，2小格即乙2小時(shí)走的路程.
^此處既可以代入情況①“2倍速追5小時(shí)”也可以代入情況②“3倍速追3小時(shí)”，但是請注意，追了幾小時(shí)，新路程差就新增了幾小時(shí).
^比如“2頭牛”“5小時(shí)”.
^比如“草速”“原草”“牛速”.
