// 更新了圖片文字不清晰的問(wèn)題.210926

/// 已輸入10653字

//誤導(dǎo)

以下帶有 // 符號(hào)的, 皆是個(gè)人見(jiàn)解, 如有誤導(dǎo), 概不負(fù)責(zé)

//評(píng)論

看到這些視頻，我覺(jué)得我國(guó)的高等數(shù)學(xué)教科書(shū)編的是真精簡(jiǎn)……僅僅是閱讀，對(duì)于一般人來(lái)說(shuō)很難掌握書(shū)中的知識(shí)點(diǎn)。而我經(jīng)常參考的外國(guó)的關(guān)于計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)科目的書(shū)籍，經(jīng)常600+頁(yè)，有時(shí)候感覺(jué)各種描述真是太多，CPU是什么也需要舉個(gè)現(xiàn)實(shí)例子描述它的作用。

這應(yīng)該跟我們國(guó)家的重視教學(xué)輕視自學(xué)的教育方法有關(guān)。這種思想，危害還體現(xiàn)在我國(guó)的科普水平上，有些本應(yīng)該讓大眾理解掌握的知識(shí)，卻很少有人做系統(tǒng)而又深入淺出的講解。人民的知識(shí)水平的提升，的確是一項(xiàng)任重道遠(yuǎn)的事情。

//意義

【古埃及簡(jiǎn)史第三期】

@周侃侃

古埃及人的計(jì)算結(jié)果和今天的天文學(xué)計(jì)算相差無(wú)幾

他們精確的天文歷法極大地促進(jìn)了農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展

為人們的生產(chǎn)生活提供了便利條件

在遠(yuǎn)古時(shí)代, 誰(shuí)先掌握了準(zhǔn)確的年歷

誰(shuí)就擁有了領(lǐng)先的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)

也就有了生存的基本保障

這也是古埃及發(fā)展出燦爛文明的基礎(chǔ)

//為啥研究圓周率 pi 的原因

Part 1

初級(jí)翻譯:

三藍(lán)一棕

David Hilbert (23 January 1862 – 14 February 1943) was a German mathematician and one of the most influential mathematicians of the 19th and early 20th centuries.

Hilbert discovered and developed a broad range of fundamental ideas in many areas, including invariant theory, the calculus of variations, commutative algebra, algebraic number theory, the foundations of geometry, spectral theory of operators and its application to integral equations, mathematical physics, and the foundations of mathematics (particularly proof theory).

Hilbert adopted and defended Georg Cantor's set theory and transfinite numbers. In 1900, he presented a collection of problems that set the course for much of the mathematical research of the 20th century.

Hilbert and his students contributed significantly to establishing rigor and developed important tools used in modern mathematical physics. Hilbert is known as one of the founders of proof theory and mathematical logic.

-Wikipedia

@Google 翻譯

大衛(wèi)希爾伯特（1862年1月23日－1943年2月14日）是德國(guó)數(shù)學(xué)家，也是19世紀(jì)和20世紀(jì)初最有影響力的數(shù)學(xué)家之一。

希爾伯特在許多領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)并發(fā)展了廣泛的基本思想，包括不變論、變分法、交換代數(shù)、代數(shù)數(shù)論、幾何基礎(chǔ)、算子的譜理論及其在積分方程中的應(yīng)用、數(shù)學(xué)物理和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（特別是證明論）。

希爾伯特采用并捍衛(wèi)喬治康托的集合論和超限數(shù)。 1900 年，他提出了一系列問(wèn)題，為 20 世紀(jì)的大部分?jǐn)?shù)學(xué)研究奠定了基礎(chǔ)。

希爾伯特和他的學(xué)生為建立嚴(yán)謹(jǐn)性做出了重大貢獻(xiàn)，并開(kāi)發(fā)了用于現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理的重要工具。希爾伯特被稱為證明論和數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人之一。

@我命我掌控

大衛(wèi).希爾伯特 (1862年二月23日出生, 1943年一月14日去世)是一名德國(guó)數(shù)學(xué)家, 作為其中之一, 在那些最有影響力的數(shù)學(xué)家中, 在當(dāng)時(shí)的19世紀(jì)與早期的20世紀(jì).

希爾伯特發(fā)明并且發(fā)展了一個(gè)廣范的基礎(chǔ)理論, 在許多領(lǐng)域. 這些領(lǐng)域包括: 不變理論、變微積分、交換代數(shù)、代數(shù)數(shù)論、幾何基礎(chǔ)、算子譜理論及其在積分方程中的應(yīng)用、數(shù)學(xué)物理和數(shù)學(xué)基礎(chǔ) (特別是證明理論).

希爾伯特采用了并且捍衛(wèi)了喬治.坎特的集合理論和超窮序數(shù)理論. 在1900年, 他提出了一系列問(wèn)題, 設(shè)定了研究方向, 為眾多的數(shù)學(xué)研究, 就在20世紀(jì)的時(shí)候.

希爾伯特和他的學(xué)生貢獻(xiàn)了重大的研究成果: 建立了嚴(yán)謹(jǐn)以及改進(jìn)了重要的數(shù)學(xué)工具, 這些工具一直沿用至今, (廣泛存在)于現(xiàn)代的數(shù)學(xué)物理學(xué)科中. 希爾伯特最有名的是位列于某個(gè)團(tuán)體中, 那些奠基者們組成的團(tuán)體, 團(tuán)體研究的是研究證明理論以及數(shù)學(xué)邏輯.

如標(biāo)題所示

這里 (做視頻的) 的目標(biāo)

是在一口氣能看完的視頻里

直值這一主題的核心

我的目標(biāo)是讓你看完后覺(jué)得你自己也能發(fā)明微積分

那些核心思想都會(huì)講到

但主要講清楚它們實(shí)際上從何而來(lái)

究竟是什么意思

微積分的三個(gè)中心思想：

積分

微分

互逆

這保留了圓的對(duì)稱性

而保留對(duì)稱性之后

數(shù)學(xué)往往會(huì)給你獎(jiǎng)勵(lì)

長(zhǎng)方形的寬是原來(lái)的環(huán)的周長(zhǎng) 2pi*r 對(duì)吧

因?yàn)檫@本來(lái)就是 pi 的定義呀

Pi 的常用定義

Pi is defined in Euclidean geometry as the ratio of a circle's circumference to its diameter.

Pi 在歐幾里得幾何中被定義為圓的周長(zhǎng)與其直徑的比值

數(shù)學(xué)樂(lè)定義

In other words: all the way around a circle divided by all the way across it. The symbol is π. No matter how large or small the circle, its circumference is always π times its diameter.

換句話說(shuō)：圍繞一個(gè)圓圈的所有方式除以穿過(guò)它的所有方式。符號(hào)是π. 不管圓有多大，它的周長(zhǎng)總是直徑的 π 倍。

百科定義

直徑為1的圓的周長(zhǎng)是π

威廉·瓊斯定義

這是目前已知最早專門(mén)用希臘字母 pi 表示圓周和其直徑比例的人. 這個(gè)希臘字母的第一次出現(xiàn)，是在書(shū)中討論一個(gè)半徑為1的圓時(shí)，提到“其圓周長(zhǎng)的一半（pi ）”。瓊斯選用了pi 的原因可能是因?yàn)樗窍ＥD文中“周長(zhǎng)”一詞“περιφ?ρεια”的第一個(gè)字

歐拉定義

為了簡(jiǎn)潔起見(jiàn), 我們將此數(shù)字寫(xiě)為 pi ，pi 等于半徑為1的圓周長(zhǎng)的一半

卡爾·魏爾斯特拉斯定義:

單位圓 x^{2}+y^{2}=1 上半部分的弧長(zhǎng)

美劇.疑犯追蹤.定義:

圓周長(zhǎng)與直徑之比，無(wú)窮無(wú)盡，永不重復(fù)。在這串?dāng)?shù)字中，包含每種可能的組合。你的生日、儲(chǔ)物柜密碼、社保號(hào)碼，都在其中某處。如果把這些數(shù)字轉(zhuǎn)換為字母，就能得到所有的單詞，無(wú)數(shù)種組合。你嬰兒時(shí)發(fā)出的第一個(gè)音節(jié)，你心上人的名字，你一輩子從始至終的故事，我們做過(guò)或說(shuō)過(guò)的每件事，宇宙中所有無(wú)限的可能，都在這個(gè)簡(jiǎn)單的圓中。用這些信息做什么，它有什么用，取決于你們。

//為什么研究 pi, 并給它下定義: 計(jì)算鋪滿圓形花壇的面積(鋪多少塊地板磚), 計(jì)算車輪的周長(zhǎng)(鋸多少根木條)

//每一個(gè)圓環(huán)近似一個(gè)長(zhǎng)方形

//由三角形推導(dǎo)出來(lái)的圓面積公式

我們之前從近似過(guò)渡到精確的這種方式

其實(shí)相當(dāng)精妙

一路直達(dá)微積分的要害

一開(kāi)始的問(wèn)題可以用大量微小數(shù)值之和來(lái)近似

關(guān)于 dr 的兩個(gè)重點(diǎn)

1. dr 不僅是待求和的數(shù)量 2r*pi*dr 中的因子. 它還代表了不同 r 值的間隔
2. 我們選得 dr 越小, 近似就越準(zhǔn)確

最后

圖像底下的面積

恰好就是圓的面積

完全準(zhǔn)確

不用近似

數(shù)學(xué)和科學(xué)中許多其他難題

都可以分解近似成求出許多小數(shù)量的和

實(shí)話跟你說(shuō)

找到這個(gè)面積

也即積分函數(shù)

真的很難

而當(dāng)你碰上真的很難的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)

上策就是別太執(zhí)著于正面硬算答案

因?yàn)槟菢幽阃鶗?huì)一頭撞上南墻

相反 你應(yīng)該先不帶明確目標(biāo)地隨便把玩這些概念

花點(diǎn)時(shí)間熟悉一下函數(shù)間的交互關(guān)系

...

發(fā)揮探索精神

要是走運(yùn)的話

你可能會(huì)發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)

把 x 稍微增加 dx 那么一丟丟 看看面積變了多少

我們把這一絲面積叫做 dA 表示面積的微小變化

dA

difference in Area

dx

difference in x

某個(gè)數(shù)值的微小變化

//dA 的微小變化用長(zhǎng)方形面積來(lái)近似

// A(3.001) = 函數(shù)值

//A(3) = 函數(shù)值

//x1 = 3, x2 = 3.001, dx = x2 - x1 = 0.001 = 微小變化

//dx 微小變化的起始位置就是近似的 f(x)

dA/dx 這一比值叫做 "A的導(dǎo)數(shù)"

或者更嚴(yán)格地說(shuō)

導(dǎo)數(shù)是當(dāng) dx 越來(lái)越小時(shí)這個(gè)比值趨向的值

...

粗略的講

導(dǎo)數(shù)衡量的是: 函數(shù)對(duì)取值的微小變化有多敏感

我們關(guān)心導(dǎo)數(shù) 是因?yàn)樗鼈冇兄诮鉀Q問(wèn)題

...

它們是解決積分問(wèn)題的關(guān)鍵

一旦你能熟練計(jì)算導(dǎo)數(shù)

你就能考慮這樣的情況

你不知道一個(gè)函數(shù)是什么

但是你知道它的導(dǎo)數(shù)是x^2

你能從這出發(fā) 還原出那個(gè)函數(shù)是什么

//已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)

積分與導(dǎo)數(shù)之間的這種來(lái)回轉(zhuǎn)化關(guān)系

也就是某個(gè)圖像下方面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

能夠還原出定義這個(gè)圖像的函數(shù)

這就叫做 "微積分基本定理"

它將積分和導(dǎo)數(shù)這兩大概念聯(lián)系起來(lái)

并且表明 某種意義上 兩者互為逆運(yùn)算

//加與減互為逆運(yùn)算

//平方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算

//指數(shù)與對(duì)數(shù)互為逆運(yùn)算

//原函數(shù)與反函數(shù)互為逆運(yùn)算

我想讓你從各個(gè)方面感受到 你自己也能發(fā)明微積分

如果你心里有了恰當(dāng)?shù)膱D景 以恰當(dāng)?shù)姆绞桨淹婷恳粋€(gè)概念

這些現(xiàn)有的公式 法則和思想構(gòu)造

都能在你自己的探索中輕松而自然地閃現(xiàn)

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Part 2

Albert Einstein (14 March 1879 – 18 April 1955) was a German-born theoretical physicist, widely acknowledged to be one of the greatest physicists of all time.?

Einstein is known for developing the theory of relativity, but he also made important contributions to the development of the theory of quantum mechanics.?

Relativity and quantum mechanics are together the two pillars of modern physics. His mass–energy equivalence formula E = mc^2, which arises from relativity theory, has been dubbed "the world's most famous equation".?

His work is also known for its influence on the philosophy of science. He received the 1921 Nobel Prize in Physics "for his services to theoretical physics, and especially for his discovery of the law of the photoelectric effect", a pivotal step in the development of quantum theory.?

His intellectual achievements and originality resulted in "Einstein" becoming synonymous with "genius".

-Wikipedia

@Google 翻譯

阿爾伯特·愛(ài)因斯坦（1879 年 3 月 14 日 - 1955 年 4 月 18 日）是德國(guó)出生的理論物理學(xué)家，被廣泛認(rèn)為是有史以來(lái)最偉大的物理學(xué)家之一。

愛(ài)因斯坦以發(fā)展相對(duì)論而聞名，但他也對(duì)量子力學(xué)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。

相對(duì)論和量子力學(xué)是現(xiàn)代物理學(xué)的兩大支柱。 他的質(zhì)能等價(jià)公式E=mc^2，源于相對(duì)論，被稱為“世界上最著名的方程”。

他的作品也因其對(duì)科學(xué)哲學(xué)的影響而聞名。 他因“對(duì)理論物理學(xué)的貢獻(xiàn)，特別是發(fā)現(xiàn)光電效應(yīng)定律”而獲得 1921 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，這是量子理論發(fā)展的關(guān)鍵一步。

他的智力成就和獨(dú)創(chuàng)性使“愛(ài)因斯坦”成為“天才”的同義詞。

@我命我掌控

阿爾伯特.愛(ài)因斯坦 (1879年三月14日出生-1955年4月18日去世) 是一名德國(guó)出生的理論物理學(xué)家, 廣為人知的是作為一名人類, 在人間中, 成為了最偉大的物理學(xué)家之一, 從古至今所有的時(shí)間內(nèi)都是這樣

? 愛(ài)因斯坦成名于發(fā)展一種理論, 就那個(gè)廣義相對(duì)論, 但是他也做了重要的貢獻(xiàn), 在理論量子力學(xué)的發(fā)展方面

相對(duì)論與量子力學(xué)共同作為了中流砥柱對(duì)于現(xiàn)代物理學(xué). 他的質(zhì)能等式公式: E=mc^2 (物體的能量等于物體的質(zhì)量乘以光速的平方). 從他的相對(duì)論中推導(dǎo)出的這個(gè)公式, 已經(jīng)被流傳為"在這個(gè)世界上最有名的等式"

他的工作也聞名于他的影響力, 在那個(gè)科學(xué)哲理上. 他獲得了那個(gè)1921年的諾貝爾物理獎(jiǎng), "表彰他的工作貢獻(xiàn)給了理論物理學(xué), 特別是他發(fā)現(xiàn)的規(guī)律, 關(guān)于光電效應(yīng)的規(guī)律"

他的許多的智慧的成就與創(chuàng)造力, 直接讓"愛(ài)因斯坦"這個(gè)名字, 變成了"天才"的代名詞

本集的目標(biāo)很簡(jiǎn)單 解釋導(dǎo)數(shù)的意義

然而 這一話題有不少思維暗坑

一不小心就可能陷入矛盾之中

所以我們還有第二個(gè)目標(biāo)

認(rèn)識(shí)到這些矛盾是什么 并學(xué)會(huì)如何避開(kāi)它們

說(shuō)起導(dǎo)數(shù) 很多人通常會(huì)這么表述

//很多人 = 學(xué)校的教材

導(dǎo)數(shù)測(cè)量的是 "瞬時(shí)變化率"

然而你仔細(xì)想想的話 這個(gè)說(shuō)法其實(shí)自帶矛盾

在不同時(shí)間點(diǎn) "之間" 變化才能發(fā)生

而當(dāng)你把自己限制在一個(gè)瞬間點(diǎn)的時(shí)候 也就沒(méi)有變化的余地了

//萊布尼茲的發(fā)型這么酷, 而且頭發(fā)也這么多

改變了 距離-時(shí)間 的函數(shù)

也會(huì)同時(shí)改變 速度-時(shí)間 的函數(shù)

你需要拿出兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)來(lái)作比較

這樣 你才能做距離變化量除以時(shí)間變化量的運(yùn)算

沒(méi)錯(cuò)吧 這才是速度的本體 即單位時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離

那么 回頭看看之前的速度函數(shù)

它只需要單獨(dú)一個(gè) t 值 一個(gè)孤零零的瞬間

是不是看著有點(diǎn)詭異了

我們想要給每一個(gè)單獨(dú)的時(shí)間點(diǎn)關(guān)聯(lián)上一個(gè)速度值

但計(jì)算速度卻需要比較兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的距離

感到奇怪 有矛盾 那就對(duì)了!

//先有現(xiàn)實(shí)問(wèn)題, 再有數(shù)學(xué)抽象的解決辦法

所以 ds/dt 就可以當(dāng)成

函數(shù)圖像上很接近的兩點(diǎn) 隨著 "前進(jìn)上升" 所連成直線的斜率

// ds/dt 的幾何意義(圖像意義, 數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成現(xiàn)實(shí)語(yǔ)言)

使用以上公式 電腦只要知道了表示距離的函數(shù)圖像 s(t)

它就能立馬繪制出表示速度 v(t) 的函數(shù)圖了

同學(xué)們 現(xiàn)在可以暫停一下 好好回顧下之前的 (Part2的) 內(nèi)容

仔細(xì)推敲: 如何利用一段極小時(shí)間差 (代號(hào)為dt), 推導(dǎo)出距離和速度的關(guān)系的

因?yàn)槲覀凂R上就要正面硬剛導(dǎo)數(shù)的悖論 (bei4lun4) 了

//定義只是為了簡(jiǎn)化字?jǐn)?shù)

速度 = 距離/時(shí)間 --> v = s/t

距離定義: 汽車從A點(diǎn)到B點(diǎn)走了多遠(yuǎn) = A與B的距離

時(shí)間定義: 汽車從A點(diǎn)到B點(diǎn)用了多少時(shí)間 = A到B的時(shí)間

速度定義: A與B距離與A到B的時(shí)間, 相除(做比值)得到的新數(shù)字

//課間休息

兩個(gè)爭(zhēng)強(qiáng)好勝的人用速度指標(biāo)來(lái)比較高下

X: 哥們, 我以前騎自行車從A地到B地, 厲害吧

Y: 那又怎樣, 我也騎車去過(guò)(臺(tái)灣腔)

X: 那我用了6個(gè)小時(shí)到的, 快吧

Y: 我只用了4個(gè)小時(shí)

X: 那我在路上看到彩虹了

Y: 我只用了4個(gè)小時(shí)

X: 那我在路上遇到美女了

Y: 我只用了4個(gè)小時(shí)

X: 那我在路上領(lǐng)略大自然的智慧, 聆聽(tīng)山谷幽冥的寂靜, 欣賞萬(wàn)般云卷云舒

Y: 我只用了4個(gè)小時(shí)

X:深吸一口氣, 意味深長(zhǎng)地說(shuō): 總有些人, 喜歡拿一個(gè)自己喜歡標(biāo)準(zhǔn)來(lái)不斷衡量別人, 不停折磨對(duì)方, 搞得他人頭皮發(fā)麻都想滅口了還不罷休. 但是, 這樣說(shuō)是不正確的, 因?yàn)橐紫日f(shuō)總有些事情, 人做的對(duì)不對(duì). 因?yàn)槭侨酥鲗?dǎo)事情的發(fā)展. 這也是為什么只談?wù)撌虑榈暮脡? 不討論人的貴賤(論事不論人), 因?yàn)橛行┬袨殡m然是人做的, 但不是有意的, 只是偶然或者不知道怎么做. 現(xiàn)在我告訴你: 我速度沒(méi)你快, 但是我比你厲害.

Y: 放屁

//總結(jié)

• difference in time = dt (時(shí)間的微小變化), difference in distance = ds (距離的微小變化), difference in velocity = dv (速度的微小變化)
• dv = ds/dt
• ds = 距離-時(shí)間的函數(shù): s(t), 在 t+dt 時(shí)間后, 上升的距離
• dt = 0.01 或者 dt = 0.001 或者 dt = 0.0001...
• 首先 (隨便) 選定一個(gè)極小的時(shí)間變化: dt (例如 dt=0.01), 再將 dt 加上起始時(shí)間: dt + t (例如 t=3), 此時(shí)根據(jù) 距離-時(shí)間 函數(shù), 會(huì)有一個(gè)極小的距離變化: ds = s(t + dt) - s(t)
• 起始時(shí)間任意選擇(盡可能中間部分: 距離變化大, 容易看出變化), 時(shí)間的微小變化: dt 任意選擇(盡可能小)
• dv (速度的微小變化) = ds(距離的微小變化) /dt(時(shí)間的微小變化) = s (s+dt) - s(t) / dt

//盡管上面使用了 dt=0.01 (具體的取值)

但在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域 導(dǎo)數(shù)并不是 dt 為某個(gè)具體值時(shí)ds和dt的比值

in pure math, the derivative is not this ratio ds/dt for a specific of dt

而是當(dāng)你選擇的 dt 值 無(wú)限趨近于0時(shí) 這個(gè)比值的極限

//導(dǎo)數(shù)完全體: 導(dǎo)數(shù)寶寶進(jìn)化了無(wú)限次

幸好 從圖像的角度 求這個(gè)比值無(wú)限趨近于多少 會(huì)有一個(gè)精妙的描述

回憶一下 如果我們隨便選擇一個(gè)具體的 dt

那么 ds/dt 就是 穿過(guò)圖像上兩點(diǎn)直線的斜率 沒(méi)錯(cuò)吧

現(xiàn)在 dt 越來(lái)越接近0 這兩點(diǎn)也越來(lái)越靠近

過(guò)兩點(diǎn)直線的斜率 也就越來(lái)越趨近在 t 點(diǎn)時(shí) 圖像切線的斜率

所以說(shuō) 導(dǎo)數(shù)純數(shù)學(xué)上真正的完全體

并不是沿圖像兩點(diǎn)間直線的斜率

而是經(jīng)過(guò)圖像上某一點(diǎn)( = 所有點(diǎn))的切線的斜率

請(qǐng)注意 我這里并沒(méi)說(shuō)導(dǎo)數(shù)里面的 dt 是 "無(wú)限小"

"無(wú)限小"是啥 能吃嗎

whatever that one means

我更沒(méi)說(shuō) 把 0 代入 dt 就可以求導(dǎo)了

這個(gè) dt 永遠(yuǎn)都是一個(gè)有限小的量 非0 只是非常接近于 0 罷了

我認(rèn)為這么想很聰明

盡管說(shuō) "瞬間的變化" 沒(méi)有任何意義

even though change in an instant makes no sense,

//需要兩個(gè)距離, 兩個(gè)時(shí)間, 才有變化

但我們可以讓 dt 非常非常的接近 0

this idea of letting dt approach 0

用這個(gè)狡猾的小技巧 就可以合理地討論以下問(wèn)題: 在單個(gè)時(shí)間點(diǎn)的變化率

is a really sneaky backdoor way to talk reasonably about the rate of change at a single point in time

//單個(gè)時(shí)間點(diǎn) = 沒(méi)有變化的余地

//dt 非常非常接近 0 = 這是一個(gè)變化的過(guò)程, 不是固定在某一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的結(jié)果

//在速度層面, 求某一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的速度沒(méi)有意義: 需要兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)才行

//瞬時(shí)速度也是"速度", 同樣沒(méi)有意義

我們不用觸及瞬時(shí)變化的矛盾就可以繞開(kāi)它了

//速度是過(guò)程, dt 也是過(guò)程, 所以就能使用速度的定義了

//化簡(jiǎn) ds/dt 后

后面的這兩項(xiàng) (帶dt) 就能完全忽略了

//dt 非常非常接近 0, 就取最壞的結(jié)果, dt = 0

我們不去考慮 dt 具體有多大

反而把表達(dá)式很多復(fù)雜的部分都消掉了

這也正是微積分實(shí)用性的精華所在

//dt 變得簡(jiǎn)單時(shí): 計(jì)算變得復(fù)雜

//dt 變得復(fù)雜時(shí): 計(jì)算變得簡(jiǎn)單

//這個(gè)問(wèn)題太深?yuàn)W了

問(wèn)題是基于一個(gè)不存在的概念: "瞬時(shí)變化"

//本身就是偽命題

而且導(dǎo)數(shù)根本就不是來(lái)衡量 "瞬時(shí)變化"的

距離-時(shí)間 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在 0 秒時(shí)等于 0 的真正含義:

是指在第 0 秒附近車速的最佳近似 是勻速(yun2su4) 0 米每秒

//以下舉例說(shuō)明

車確確實(shí)實(shí)移動(dòng)了... 假設(shè)移動(dòng)了0.001米

就一點(diǎn)點(diǎn)距離 而且重要的時(shí) 這和時(shí)間的變化相比 實(shí)在太少了

平均速度只有0.01米每秒

這里導(dǎo)數(shù)等于 0 的意思是 當(dāng)時(shí)間的間隔變得越來(lái)越小時(shí)

這個(gè)表示(平均)速度的比值就越趨近于 0

而這不表示此時(shí)車就是靜止的

我們只說(shuō)它此時(shí)的運(yùn)動(dòng), 近似于平均速度的 0, 近似而已

總之, 當(dāng)你下次再聽(tīng)別人說(shuō)導(dǎo)數(shù)測(cè)量的是 "瞬時(shí)變化率"

這一自帶矛盾的概念的時(shí)候

//瞬時(shí)是一個(gè)時(shí)間點(diǎn), 一個(gè)時(shí)間點(diǎn)沒(méi)有變化, 沒(méi)有變化就沒(méi)有變化率

就請(qǐng)自動(dòng)把它替換成 "變化率的最佳直線近似" 好了

//導(dǎo)數(shù)測(cè)量的是: 變化率.

//變化率最佳的求法是: 用直線近似某兩點(diǎn)的變化率, 轉(zhuǎn)而求直線的斜率就是某兩點(diǎn)的變化率

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Part 3

在接下來(lái)的兩個(gè)視頻里

我想要告訴你如何既可視化又直觀地考慮這其中的一些公式

并鼓勵(lì)你永遠(yuǎn)不要忘記 微小變化量才是導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)

//冪函數(shù)求導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程

這也就是 x^n 的導(dǎo)數(shù)是 n*x^n-1 的意義所在了

//多項(xiàng)式展開(kāi)后, 帶有 dx^2 的所有項(xiàng)都可以忽略(dx很小, dx^2 更小), (x + dx)^n - x^n 是所求函數(shù) f = x^2 因 x 微小增加后的微小增加量

//也即 (x + dx)^n - (x)^n = nx^(n-1)dx

// [df(x+dx) - df(x)] / dx = nx^(n-1)

//冪函數(shù)的作圖技巧

//思考

找點(diǎn)樂(lè)子, 如何從幾何的角度求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

//普林斯頓微積分讀本.函數(shù)

f = 事物內(nèi)部包涵的數(shù)量關(guān)系

f(x): 輸入 x 到 f 中, 得到的值

嚴(yán)格來(lái)說(shuō), f 不等于 f(x)

例如: f = 動(dòng)物的腿數(shù), 則 f(馬) = 4

//幾何描述

//(f1: 函數(shù) f 的下標(biāo)為1)

//函數(shù)值 f1(x) = x^2, d(f1(x)) = 函數(shù)值的微小變化 = 面積的微小變化 = 把 x 的微小變化對(duì)輸出值的影響, 想象成正方形邊長(zhǎng)的微小變化對(duì)面積的影響

//函數(shù)值 f2(x) = x^3, d(f2(x)) = 函數(shù)值的微小變化 = 體積的微小變化 = 把 x 的微小變化對(duì)輸出值的影響, 想象成正方體邊長(zhǎng)的微小變化對(duì)體積的影響

//函數(shù)值 f(x) = 1/x, d(f(x)) = 函數(shù)值的微小變化 = 面積的不變 = 把 x 的微小變化對(duì)輸出值的影響, 想象成一灘矩形覆水, 其邊長(zhǎng)的微小變化對(duì)面積沒(méi)有影響

//性質(zhì)

//[f(x) = 1/x ] --> [ x*f(x) = 1]

//輸入值乘以輸出值恒等于1

//輸入值變大, 輸出值則變小

//一個(gè)增加, 一個(gè)減少, 數(shù)值相等, 符號(hào)相反

//右頂點(diǎn)在 f(x) 曲線上的所有矩形覆水的面積都相等(都是1)

//因?yàn)榫匦蚊娣e沒(méi)有變化, 也就沒(méi)有忽略的部分

//關(guān)系

//x 與 1/x

1. (所有的, 任意的, 任一的)矩形覆水中, 上邊長(zhǎng)度和右邊長(zhǎng)度.
2. 1/x 是 f(x)=1/x 在x處的取值

//推導(dǎo)

//上側(cè)面積的減少: x*-d(1/x)?

//右側(cè)面積的增加: dx * 1/x

//增加的等于減少的: dx * 1/x = x*-d(1/x)?-->?d(1/x) / dx = -1/x * 1/x?= - 1/x^2

//幾何

dx = √x*dx + √x*dx + d√x*d√x

=2*√x*d√x + 忽略不計(jì)

.`. dx / d√x = 2*√x

.`. d√x / dx = 1 / 2*√x = √x / 2*x

.`. f(x) = √x 的導(dǎo)數(shù)為 √x / 2*x

//如何用幾何的方法求導(dǎo)數(shù)

//利用小三角形的微小變化

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Part 4

我不想讓你死記硬背這些公式

我想讓你對(duì)每條法則的來(lái)源都有一副清晰的圖像

它是一個(gè)很好的熱身環(huán)節(jié) 是好好想清楚這個(gè)例子

將兩個(gè)函數(shù)相加 然后再求導(dǎo) 到底是什么意思

后面的乘積和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)會(huì)更復(fù)雜一些

因此更需要這樣的深刻思考

//組合函數(shù)的作圖方法

首先考慮函數(shù) f(x) = sin(x) + x^2

在每一個(gè)變量取值上 你就把 sin(x) 和x^2 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相加

`.` f(x) = sinx + x^2

df = 原函數(shù) f 的微小變化

`.` 前面推導(dǎo)過(guò) sin(x) 的導(dǎo)數(shù) = d(sin(x)) / dx = cos(x)

.`. d(sin(x)) * 1/dx = cos(x) --> d(sin(x)) = cos(x) * dx

//f(x) = 組合函數(shù) = 盒子面積

//用幾何推導(dǎo)了導(dǎo)數(shù)的乘積公式

//前導(dǎo)后不導(dǎo), 前不導(dǎo)后導(dǎo)

//常數(shù)

常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 0, 即d(2) / dx = 0, 也即d(2) = 0, 所以有 d(所有的數(shù)) = 0

無(wú)論常數(shù)的數(shù)值增加多少, 微小變化dx 變成超級(jí)變化, 例如 d(30), d(100), 依舊沒(méi)有變化率

.`. d(2) * sin(x) = 0 代入到幾何求導(dǎo)數(shù)的式子中即可

這里我再換另一種方法來(lái)可視化

因?yàn)槲蚁霃?qiáng)調(diào)一下 在富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)里 我們有不少選擇

//可以試著理解為: 函數(shù) f(x) = x^2 的輸入值增加了 dx 這個(gè)微小變化后, 輸出值 f(x) 的微小變化 df(x) 等于: f(x) 的導(dǎo)數(shù)乘以微小變化 dx

//速度(導(dǎo)數(shù) f(x) ) * 時(shí)間(微小變化 dx ) = 距離(微小變化 df(x)

// 鏈?zhǔn)椒▌t推導(dǎo)過(guò)程

了解鏈?zhǔn)椒▌t和乘法法則 完全不同于

能夠在最棘手的情況下靈活地運(yùn)用它們

不管你看了多少講微積分理論的視頻

都不可能代替你自己去做練習(xí)

否則沒(méi)法鍛煉你自己做計(jì)算的能力

我也很希望我能幫你完成這些

但是朋友 練習(xí)這件事恐怕要你自己來(lái)做

我能提供的 也是我希望我已經(jīng)做到的

是向你展示這些法則的來(lái)源

說(shuō)明它們并不是死記硬背的東西

而是很自然的規(guī)律

通過(guò)耐心地思考導(dǎo)數(shù)的意義 你也可以發(fā)現(xiàn)這些法則

不知道你是不是也一樣 但我自己一不小心就會(huì)只讀課本 聽(tīng)課

忘記花點(diǎn)時(shí)間真的動(dòng)手解決問(wèn)題

而且實(shí)際上解題才是收獲最大的一環(huán)

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Part 5

//在指數(shù)函數(shù)中, 并不是所有函數(shù)

//代數(shù)可以表示常數(shù): 代入越來(lái)越小的數(shù), 表達(dá)式趨近于0.6931

//比例常數(shù)隨著分子變化

你要是問(wèn) 為什么這么多常數(shù) 就 e 有這個(gè)性質(zhì)

就好像是在問(wèn)

為什么 pi 正好是圓的周長(zhǎng)比上它的直徑一樣

//pi: 有直徑 --> 立即求出周長(zhǎng)

//e: 有比例 --> 變?yōu)?

所有的指數(shù)函數(shù)都和它們的導(dǎo)數(shù)成比例

但是只有單單一個(gè) e, 是那個(gè)使比例系數(shù)為1的特殊數(shù)字

也就意味著 e^t 就等于它自身的導(dǎo)數(shù)

對(duì)數(shù) ( log_e(2) ) 是在問(wèn) e 的多少次方等于 2

//對(duì)數(shù): log_e(2) = 2 log e = ? (2 "對(duì)" e 等于多少 = 2 是 e 的幾次方) --> 等價(jià)于指數(shù): e^? = 2 (e "指" 多少等于 2 = 多少個(gè) e 相乘等于 2)

//除數(shù): 2 / e=? (2 除 e 等于多少 = 2 里面有多少個(gè) e) --> 等價(jià)于乘數(shù): e * ?=2 ( e 乘多少等于 2 = 多少個(gè) e 相加等于 2)

//對(duì)數(shù)的逆運(yùn)算意義

//加減乘除指對(duì), 這些運(yùn)算法則帶了一個(gè) ? 或者變成 x , 就都成了函數(shù). -對(duì)函數(shù)較容易理解的描述

//2^t = (e^log_e(2) )^t

//除法可以用乘法表示: a / b = a * 1/b

//指數(shù)可以用對(duì)數(shù)表示: 2^t = e^log_e(2)t

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Part 6

//先問(wèn)是不是, 再問(wèn)對(duì)不對(duì)

//先判斷是不是隱函數(shù)

//再問(wèn)隱函數(shù)如何求導(dǎo)

//隱函數(shù)求導(dǎo)小技巧: 把 y 看作 y(x)

//一個(gè)函數(shù)加上另一個(gè)函數(shù) = 一個(gè)新函數(shù)

//結(jié)論: 在梯子上后邊打滑, 后撤的速度比下降的速度快, 人可能會(huì)從梯子上直接趴下去

// dS含義

它實(shí)際是表示你從 (x, y) 點(diǎn)開(kāi)始 走了(dx, dy) 這一小段距離之后

原來(lái)的 S = x^2 + y^2 的值相應(yīng)的變化了多少

這是個(gè)近似值, 但是這個(gè)近似值會(huì)隨著 dx dy 越來(lái)越小而越來(lái)越精確

//用e^x 的導(dǎo)數(shù)求 log_e(x) = ln(x) 的導(dǎo)數(shù)

順便一說(shuō) 這集所有的內(nèi)容其實(shí)都是帶你入了一點(diǎn) "多元微積分" 的門(mén)

"多元微積分" 就是分析取多個(gè)變量的函數(shù)

分析它們?nèi)绾坞S多個(gè)取值的變化而變化

但要點(diǎn)總是一樣的 你必須在大腦里想清楚

這些變量是如何聯(lián)系在一起, (這些變量又是)如何變化的

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Part 7

//微小變化定義導(dǎo)數(shù)時(shí), 使用的方法: 最佳的直線近似求斜率, 這個(gè)方法離(用極限求)導(dǎo)數(shù)(的方法), 就差那么一點(diǎn)點(diǎn)

所有帶dx 的公式

已經(jīng)包含了求極限的概念

// 不能再使用 lim 前綴了

//極限來(lái)定義導(dǎo)數(shù)中, 不含 dx 的原因

用具體有限小的變化量來(lái)描述導(dǎo)數(shù) 這一整套的思想

其實(shí)和導(dǎo)數(shù)的正式定義是等價(jià)的

// 右邊式子詳細(xì)的描述了 df 的變化過(guò)程

// 左邊式子是求導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)化版式子, 隱藏了 df 的變化過(guò)程

我們討論的不是無(wú)窮小的變化量(對(duì)右邊式子)的影響

//變量 h -> 0 不等于 無(wú)窮小對(duì)式子的影響

//趨近于 0 的影響 Vesus 無(wú)窮小的影響

//隨著輸入值的縮小, 輸出值不能收縮到一個(gè)點(diǎn)上

//定義

這種將取值范圍在極限點(diǎn)附近收縮

然后觀察函數(shù)值是否收縮 以及其收縮后的范圍的方法

就是所謂的極限的 " ε-σ " 定義

常見(jiàn)希臘字母與讀音

Upper Case Letter / Lower Case Letter / Greek Letter Name / English Equivalent / Letter Name Pronounce

Α α Alpha a al-fa

Β β Beta b be-ta

Γ γ Gamma g ga-ma

Δ δ Delta d del-ta

Ε ε Epsilon e ep-si-lon

Ζ ζ Zeta z ze-ta

Η η Eta h eh-ta

Θ θ Theta th te-ta

Ι ι Iota i io-ta

Κ κ Kappa k ka-pa

Λ λ Lambda l lam-da

Μ μ Mu m m-yoo

Ν ν Nu n noo

Ξ ξ Xi x x-ee

Ο ο Omicron o o-mee-c-ron

Π π Pi p pa-yee

Ρ ρ Rho r row

Σ σ Sigma s sig-ma

Τ τ Tau t ta-oo

Υ υ Upsilon u oo-psi-lon

Φ φ Phi ph f-ee

Χ χ Chi ch kh-ee

Ψ ψ Psi ps p-see

Ω ω Omega o o-me-ga

//咬文嚼字

你總能在極限點(diǎn)附近 離 0 點(diǎn)距離為某 δ (delta) 的取值范圍內(nèi)

you will always be able to find a range of input around our limiting input

找到一系列取值點(diǎn)

some distance delta around 0

使得(兩個(gè) delta 的)范圍內(nèi)得任一取值點(diǎn)

so that any input within a delta(δ) of 0

它的函數(shù)值都處在距離12 為 ε (epsilon) 的范圍之內(nèi)

corresponds to an output within a distance epsilon(ε) of 12

//轉(zhuǎn)化

lim_(x->1) sin(πx) = -πx dx

lim_(x->1) [x^2-1] = 2 dx

// 求極限轉(zhuǎn)化成求微小變化

// df = df(a) / dx * dx = 導(dǎo)數(shù) * dx = 函數(shù) f, 因?yàn)檩斎胫?x 增加了 dx 這個(gè)微小變化, 導(dǎo)致函數(shù) f 的微小變化

// d = 微小變化, f = 函數(shù), f(x) = 一系列函數(shù)值

// 有 lim 沒(méi)有 dx, 有 dx 沒(méi)有 lim -數(shù)學(xué)式子: 一山不容二變化

//每次提到洛必達(dá)法則, 都要提到這是他花錢(qián)買(mǎi)的, 求一個(gè)這樣子的出名方式, 真滴是太諷刺了

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Part 8

//逆運(yùn)算

我想在這里說(shuō)明的 "顯而易見(jiàn)" 的就是 積分其實(shí)是求導(dǎo)的逆運(yùn)算

// 求微分 = 求導(dǎo) --> 積分其實(shí)是微分的逆運(yùn)算

//開(kāi)根號(hào)是取平方的逆運(yùn)算

// v(t) = t(8-t) 是怎么來(lái)的

//有可能就是選擇一個(gè)容易看出規(guī)律的函數(shù)

什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 t(8-t)

// d(?) / dx = x(8-x)

// 有一個(gè) x 未知數(shù)情況下, 再去求一個(gè)未知關(guān)系式 = 求"原函數(shù)"

//直觀感受 = 看得見(jiàn)的感覺(jué)

// 我在那一點(diǎn)上同意你的觀點(diǎn)

//司機(jī): 都像這樣子開(kāi)車就別干出租車這一行了, 自己難受別人看著還痛苦

// 開(kāi)始那點(diǎn)的速度函數(shù)的值, 也是 T 點(diǎn)的速度

// 在 T 點(diǎn)想知道走了多遠(yuǎn)的距離

//速度函數(shù)下的面積 = 汽車走過(guò)的距離 = 原函數(shù)在 t2 時(shí)刻的函數(shù)值 -(減去) 原函數(shù)在 t1 時(shí)刻的函數(shù)值

那就是 積分 即這些小矩形的和的極限

連續(xù)地遍歷了從下限到上限的每一個(gè)自變量的值

這也是我們用 '積分' 這個(gè)詞的原因

//總結(jié)

曲線下方的面積就是在實(shí)際的 時(shí)刻變化的速度下走過(guò)的距離

如你把這個(gè)面積也看做(新的)函數(shù)

其自變量是右端點(diǎn)

就可以推出 面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (找出面積的微小變化)

一定等于圖像所在點(diǎn)的高度

這正是關(guān)鍵所在!

這就是說(shuō) 求圖像下面積的函數(shù)

就是在求導(dǎo)數(shù)是 v(t) 的函數(shù)

// 求圖像下面積的函數(shù) = 求原函數(shù)

// 求圖像下面積的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) = 求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù) = 自身 = T 點(diǎn)的函數(shù)值

你會(huì)經(jīng)常見(jiàn)到這種說(shuō)法

積分算的并不是字面意義上的面積

而是圖像和橫軸所圍成的帶正負(fù)號(hào)的面積

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Part 9

// 數(shù)學(xué)與作家類似

// 對(duì)已經(jīng)存在的事物進(jìn)行解釋

// 提出問(wèn)題的時(shí)候就已經(jīng)知道一半的答案了

// 圖像的平均高度 = 函數(shù) sin(x) 取值的平均大小

// 面積的定義恰巧就是: 寬度乘高度 (底乘高)

想要計(jì)算積分

我們就需要求函數(shù)的原函數(shù)

// 求積分 = 求面積, 為了求原函數(shù)

// 求微分 = 求微小變化, 為了求導(dǎo)數(shù) (導(dǎo)數(shù)也可理解為: 函數(shù)的函數(shù); 或者由原函數(shù)變化而來(lái)的一個(gè)新的函數(shù), 盡管有些導(dǎo)數(shù)是常數(shù))

// 這里的另一個(gè)函數(shù)是指: (最佳直線近似的)斜率就是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 作為了一個(gè)新的函數(shù)

// 斜率代表 sin(x) 在 0 到 pi 之間 (函數(shù)值) 的平均值:

1. sin(x) 的原函數(shù)連續(xù)
2. 平均值 = 連續(xù)的函數(shù), 他們的函數(shù)值相減 除以 連續(xù)的區(qū)間長(zhǎng)度

所以函數(shù) sin(x) 的 (所有函數(shù)值的) 平均值

就是原函數(shù) -cos(x), 從 x=0 到 x=pi, 所有切線斜率的平均值

// 導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值 就是= 原函數(shù)的切線斜率值

// 導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的 平均值, 就是= 原函數(shù)的切線斜率值的 平均值

// 因?yàn)?sin(x) 是 -cos(x) 的導(dǎo)函數(shù), 所以 sin(x) 的所有函數(shù)值, 就是= -cos(x) 的所有導(dǎo)數(shù)值, 就是=所有的(最佳直線近似的) 切線斜率值

// 求導(dǎo)數(shù), 就是=求微小變化df, 就是=求斜率k, 就是=df/dx (輸出值f(x)的微小變化除以輸入值x的微小變化) = f(x+dx)-f(x) / x+dx - x, 就是= 下圖中, 小三角形的豎直角邊ds, 除以橫直角邊dt, 就是= ds(t)/dt

// 假如用一輛汽車的速度作為原函數(shù), 先加速后減速, 那么切線的終點(diǎn)與起點(diǎn)相連構(gòu)成的直線時(shí), 直線的斜率為 0, 是什么意思, 函數(shù)值的平均值可不是 0

在上一個(gè)視頻中 我講述了在什么情況下 應(yīng)該想到用積分

也就是說(shuō) 當(dāng)你覺(jué)得手上的問(wèn)題

可以通過(guò)細(xì)分然后再相加的方式估算的話 那么試一試積分

這里 我還希望大家記住第二種情況 應(yīng)該要想到積分

如果在有限個(gè)數(shù)量的情形 你懂得怎么用相加的方法解決問(wèn)題

例如求一些數(shù)的平均值

然后你想要把這個(gè)想法推廣到連續(xù)變量 也就是無(wú)限個(gè)數(shù)量中的話

你可以試試用積分來(lái)描述這個(gè)問(wèn)題

這種直覺(jué)時(shí)常出現(xiàn) 特別是在概率中 值得好好記住

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Part 10

//移位函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)們, 一起展示舞姿

// 求導(dǎo)數(shù)值, 就是=求斜率值

// d(df) = df2 - df1

// d(dx) = x+dx+dx - (x+dx) = dx

// (dx)^2 哪來(lái)的

//d(df) / dx = df2(df1 / dx) / dx 這個(gè)好理解

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Part 11

我們學(xué)習(xí)泰勒級(jí)數(shù) 很大程度上就是為了在某個(gè)點(diǎn)附近

用多項(xiàng)式函數(shù)去近似其他函數(shù)

其中的緣由就是 多項(xiàng)式比其他函數(shù)友好

多項(xiàng)式好計(jì)算, 好求導(dǎo), 還好積分

簡(jiǎn)直是各種好

// 情人眼里出西施

// 如此巧妙地利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似, 這個(gè)操作逐步限制了多項(xiàng)式曲線的畫(huà)法, 一次一次地掌控了曲線高地

// c0控制函數(shù)值相等, c1 控制一次導(dǎo)數(shù)值相等, c2 控制二次導(dǎo)數(shù)值相等, 發(fā)明者(泰勒)真是個(gè)人才

// 這些系數(shù)越多, 近似的函數(shù)值就越準(zhǔn)確, 因?yàn)榭刂频臄?shù)值多

// 如何近似不是 0 點(diǎn)處的函數(shù)值: 讓 x 與這個(gè)輸入值相減

// 容易得到最初的一個(gè)函數(shù)值, 首先讓其他所有的影響忽略, 一個(gè)一個(gè)地近似

//只要 0 這一點(diǎn)可以近似, 其他的函數(shù)輸入點(diǎn)只要平移到 0 就行了

// 哲學(xué)角度= 玄學(xué), 劉擎聽(tīng)了想罵人

// 只關(guān)注 0 那一點(diǎn)的近似, 結(jié)果用到了自身的函數(shù)值, 自己的兒子的函數(shù)值, 兒子的兒子的函數(shù)值...

// 泰勒就是愚公移山的活例子, 后人在學(xué)校開(kāi)設(shè)課程: 高等數(shù)學(xué)-第十二章-學(xué)習(xí)泰勒移山的精神

// 完全看不懂, 好像是我笨, 那我走

項(xiàng)數(shù)越多 近似也就越準(zhǔn)確

但代價(jià)是多項(xiàng)式也會(huì)變得越復(fù)雜

// 步驟

1. 先改寫(xiě)
2. 再計(jì)算

這樣泰勒多項(xiàng)式就能適用于所有的情況了

// 沒(méi)必要死記硬背, 到時(shí)候推導(dǎo)一下就出來(lái)了

// 圖像中小三角形的斜率, 就是= 原函數(shù)的二次導(dǎo)函數(shù)

// 為什么是在 a 點(diǎn)的二次導(dǎo)函數(shù): dx 非常小

// 泰勒多項(xiàng)式還可以近似求面積, 就是= 近似求原函數(shù)

// 教材是為了學(xué)校為了老師而編寫(xiě)的，不是為了學(xué)生自學(xué)

// 泰勒級(jí)數(shù)的可能會(huì)收斂

// 等于(=), 是函數(shù)的符號(hào). 在微分與積分, 多用近似(~), 趨向于(-->)

// 某個(gè)函數(shù)去聽(tīng)泰勒的相聲, 結(jié)果笑開(kāi)了花, 回到家都沒(méi)有人認(rèn)識(shí), 但其實(shí)還是原來(lái)的函數(shù)

// 任何一個(gè)很簡(jiǎn)潔的函數(shù), 到了泰勒的世界都會(huì)變得又難看又難算又難寫(xiě)...

// 泰勒: 掌握魔法力量的男人

// ln(x): 自由意志生生不息, 我是不會(huì)屈服于泰勒魔法的

// 另一種的泰勒級(jí)數(shù)

// 有發(fā)散的級(jí)數(shù), 可能有收斂半徑

但本系列最重要的目的 就是幫你建立基礎(chǔ)直覺(jué)(感覺(jué), 感受, 感性)

給你信心 給你自己學(xué)習(xí)的動(dòng)力 (新手入門(mén))

沒(méi)準(zhǔn)還能讓你發(fā)現(xiàn)一些微積分的內(nèi)容

而在泰勒級(jí)數(shù)中 我要大家建立并牢記的重要直覺(jué)就是

泰勒級(jí)數(shù)是利用函數(shù)某單個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) 來(lái)近似這個(gè)點(diǎn)附近函數(shù)的值

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