所謂第二類基本分式，指的是：分母是一個二次多項式的正整數(shù)冪，分子是一個一次多項式的最簡分式。一般寫作：(Bx+M)/(x^2+px+q)^n的形式，其中n是正整數(shù)，p^2-4q<0。它有三個兒子。包括：

當(dāng)B=0,M=1時，得到的是它的“嫡子”1/(x^2+px+q)^n；在此基礎(chǔ)上，如果p=0, q=a>0，則得到它的“大兒子”；如果p=0, q=-a<0，則得到它的“小兒子”。

老黃是不是在胡弄玄虛呢？當(dāng)然不是，因為它們的不定積分公式，都有自己的形式，如果不給它們都取個名字，描述起來多麻煩啊。如果你不喜歡老黃這個命名方法，自己采取一套命名辦法就可以了。下面才是老黃要分享的重點，就是它們這一家子的不定積分公式。這些公式在《老黃學(xué)高數(shù)》系列學(xué)習(xí)視頻第294講中，有歸納。其中部分推導(dǎo)在第293講。

記In=∫(Bx+M)/(x^2+px+q)^n dx (n>0且n≠1, p^2-4q<0)。首先是老爸的遞推公式：

而當(dāng)n=2時，又可以得到一個特殊形式的公式：

在運用遞推公式時，難免要求I1，因此最后還需要I1的公式如下：

這三個公式，就保證了一切“第二類基本分式”的不定積分，都是可求的。舉一個例子：

例1：求∫(2x+5)/(x^2+3x+3)^4 dx.

上面的解題過程中，連續(xù)降了三次冪，得到I1，然后運用了I1公式，得到最后的結(jié)果。仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn)，第一次降冪后，就會得到“第二類基本分式”的“嫡子”。因此嫡子公式在運用降冪遞推公式求“第二類基本分式”的不定積分時，是一定會用到的。它自己的同類型不定積分也非常常見。因此最好推出它的公式，如下：

當(dāng)B=0,M=1時(嫡子)， In=∫1/(x^2+px+q)^n dx.

同時還推出了“嫡子”的I1公式?？梢钥吹?，嫡子公式要比老爸的公式簡便得多。接下來看看大兒子的積分遞推公式。

當(dāng)B=p=0, M=1, q=a>0時,(大兒子)

還有小兒子的積分遞推公式：當(dāng)B=p=0, M=1, q=-a時,(小兒子)

小兒子的遞推公式是直接從大兒子那里得到的。只需用-a代替a，就可以了。但這個方法，并不一定都是行得通的。比如I1公式，就不能這么處理。

接下來繼續(xù)看老爸的公式最終形態(tài)：

然后是嫡子的公式最終形態(tài)：

雖然這次的嫡子公式并不十分簡便，但比老爸的公式還是要簡潔很多。再看大兒子的公式：

注意了，接下來這個公式是錯誤的。就是直接由大兒子公式得到小兒子公式。你會發(fā)現(xiàn)，將a替換成-a之后，會得到一個與復(fù)數(shù)有關(guān)的公式，老黃稱之為“小兒子的復(fù)公式”。

它這個復(fù)公式解決例2試試看。

例2：求∫dx/(x^2-4)^3.

雖然公式有問題，但是這個結(jié)果卻是正確的。不過如果再解決例3，就會有問題了。

例3：求∫dx/(x^2-4)^2 .

雖然結(jié)果是錯誤的，但僅是得到了正確結(jié)果的相反數(shù)。而兩個不定積分唯一的區(qū)別是分母的指數(shù)不同。一個是奇指數(shù)3，一個是偶指數(shù)2.?因此，不妨猜想，這個“復(fù)公式”的錯誤，與分母的指數(shù)有關(guān)。

其實在《老黃學(xué)高數(shù)》第293講中，老黃分享過“小兒子”的另一個公式。是直接由它的遞推公式推導(dǎo)出來的。

用這個公式解決例2和例3，就都沒有問題：

例2兩個公式得到的結(jié)果都是正確的。例3則只有后面這個公式得到的結(jié)果才是正確的。

那么“小兒子的復(fù)公式”有沒有正確的形式呢？有，老黃下次再告訴你！