向量究竟是什么？

向量的線性組合，基與線性相關(guān)

矩陣與線性相關(guān)

矩陣乘法與線性變換復(fù)合

三維空間中的線性變換

行列式

逆矩陣，列空間，秩與零空間

克萊姆法則

非方陣

點(diǎn)積與對偶性

叉積

以線性變換眼光看叉積

基變換

特征向量與特征值

抽象向量空間

快速計(jì)算二階矩陣特征值

張量，協(xié)變與逆變和秩

目錄

非方陣

點(diǎn)積與對偶性

非方陣

“在一個小測驗(yàn)里，我讓你們?nèi)ビ?jì)算一個2*3矩陣的行列式，讓我感到非?？尚Φ氖?，你們當(dāng)中竟然有人嘗試去做”?–佚名

???????前面章節(jié)我們討論的線性變換矩陣都是方陣，作用于二維空間的2*2矩陣，輸入輸出都是2維向量，以及作用于三維空間的的3*3矩陣，輸入輸出都是三維向量，今天我們就來看一下非方陣的幾何意義。

????先說結(jié)論：非方陣對應(yīng)的變換，是將輸入映射到不同維度的輸出。變換后的空間，如果虛擬的網(wǎng)格仍然等間距，且原點(diǎn)不變，那就可以認(rèn)為非方陣對應(yīng)的變換仍然是線性變換，如下圖所示，二維向量被映射成三維向量。

其對應(yīng)的幾何意義如下圖所示，左側(cè)對應(yīng)輸入的二維向量空間，右側(cè)對應(yīng)輸出的三維向量空間。

用非方陣代表的變換和前面方陣的方法相同，仍然是需要找到變換后的基向量的坐標(biāo)，如下圖所示，然后把基向量變換后的坐標(biāo)作為矩陣的列。

如上圖，該矩陣是個三行兩列的非方陣，根據(jù)前面秩的概念可知，該矩陣的列空間可以張成過三維空間原點(diǎn)的一個面，所有輸出向量都會落在這個面上，雖然如此，但該矩陣仍是滿秩，因?yàn)榱锌臻g的維數(shù)與輸入空間的維數(shù)相同，輸入空間維數(shù)是2，列空間維數(shù)也是2。

總結(jié)一下就是一個3*2的矩陣幾何意義是：將二維空間映射到三維空間上，該矩陣有兩列，代表輸入空間有兩個基向量，兩個基向量就代表是二維的，該矩陣有三行，代表每一個基向量變換后都要用三個獨(dú)立的分量來表示，三個坐標(biāo)分量也就是三維坐標(biāo)，所以符合開頭我們講的該矩陣是二維到三維的變換。

同樣，如上圖所示，一個2*3的矩陣，該矩陣有三列，代表輸入空間有三個基向量，三個基向量代表是三維空間，該矩陣有兩行，代表每一個基向量變換后都要用兩個獨(dú)立的坐標(biāo)分量來表示，也就是二維空間，所以一個2*3的矩陣是從三維到二維的映射。

點(diǎn)積與對偶性

???????向量的點(diǎn)積是非常重要且常見的操作，一般會在線性代數(shù)課程的一開始就講解點(diǎn)積，因?yàn)槔斫恻c(diǎn)積只需要知道向量的概念就夠了，我們把它放在這里，大家也不用奇怪，因?yàn)橹挥袕木€性變換的角度來理解點(diǎn)積才能理解其真正的含義，而線性變換需要前面章節(jié)的鋪墊，

如上圖所示，向量點(diǎn)積的概念就是：將向量相應(yīng)的坐標(biāo)配對，然后求乘積，最后將所有結(jié)果相加，我們還是從幾何的角度來理解向量的點(diǎn)積，如下圖所示，兩個向量的點(diǎn)積就是一個向量在另一個向量投影長度與另一個向量長度的乘積，投影向量與被投影向量的方向決定了結(jié)果的正負(fù)，這個屬性經(jīng)常會用來判斷兩個向量的方向。

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除了上述兩種情況，還有一種是兩個向量垂直，則結(jié)果為0，這里還要說明一下，通過投影的方式求點(diǎn)積的過程，與誰向誰投影無關(guān)，結(jié)果都是一樣的，這個可以從幾何角度進(jìn)行證明。

我們前面討論過非方陣對應(yīng)的是不同維度的空間變換，例如，將二維空間變換到一維空間：

如下圖，在二維空間有一系列等距分布的點(diǎn)，對其施加2維到一維的線性變換，這些點(diǎn)仍然是等距分布在數(shù)軸上。

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根據(jù)前面所學(xué)的知識，這些線性變換也完全由變換后的基向量，的位置決定的，只不過這次兩個基向量落到了一維的數(shù)軸上，同樣，如下圖所示，我們把，的坐標(biāo)寫道矩陣的列中，因?yàn)槭且痪S的，所以最終的矩陣是一個1*2的矩陣：[1，-2]

現(xiàn)在有了變換矩陣[1，-2]，那讓我們看看一個向量經(jīng)過變換后的位置，向量變換后，仍然可以用變換后的基向量來表示：4*i_treanformed+3*j_transformed ,我們已經(jīng)知道變換矩陣[1,-2]，那經(jīng)過變換后的坐標(biāo)為：4*1+3*-2=-2。

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其實(shí)向量點(diǎn)積就是一種特殊的矩陣向量乘法，一個1*2的矩陣與一個二維向量相乘，該1*2矩陣的兩個列向量就是變換后基向量的坐標(biāo)，該矩陣實(shí)現(xiàn)二維到一維的變換。

這樣1*2矩陣與二維向量就有很好的關(guān)聯(lián)了，將豎著寫的向量橫著寫就變成了矩陣，將橫著寫的矩陣豎著寫就變成了向量，矩陣是一種變換，是一個動詞，向量代表是個事物，是一個名詞，將空間中向量變換為數(shù)軸上的數(shù)的線性變換本身和空間中的某個向量本身有著對應(yīng)關(guān)系。

一開始我們通過投影的方式計(jì)算點(diǎn)積，那為什么會將點(diǎn)積與投影聯(lián)系起來呢？這就需要挖掘更深層次的東西：對偶性。

我們假設(shè)一條傾斜的一維數(shù)軸，在二維空間里，有個向量u落在數(shù)軸上，長度為1，我們假設(shè)有一個線性變換將二維空間投影到了這個傾斜的數(shù)軸上，接下來就是找到變換后的基坐標(biāo)。

通過幾何對稱性，我們可以計(jì)算出變換后的坐標(biāo)

同理，也可以計(jì)算出變換后的坐標(biāo)，那么就可以得到變換矩陣,對于一個未知向量，其經(jīng)過變換后的坐標(biāo)為：

可見該未知向量經(jīng)過線性變換投影到一維數(shù)軸上，也就相當(dāng)于投影到向量u上，其投影長度與u長度的乘積與上面點(diǎn)積形式相同。

看，這就是我們開頭說的，向量的點(diǎn)積等于一個向量投影到另一個向量的長度與另一個向量長度的乘積。