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圖片來源｜網(wǎng)絡(luò)

1．提到概率，大概率有陷阱

2．題不難，解題思路難

3．「遲到區(qū)間（相遇區(qū)間）」的本質(zhì)

4．這道題很簡(jiǎn)單呀？怎么正確率這么低

5．「分步驟」概率題的最常用技巧

封面圖片來源：https://unsplash.com/photos/nJdwUHmaY8A

本文包括了近年來和「概率」有關(guān)的5道難題，其正確率均在40%以下，很值得用來測(cè)試自己的實(shí)戰(zhàn)水平。

各位小伙伴不妨仔細(xì)看看之前的系列文章，認(rèn)真學(xué)習(xí)后再去做，用心檢驗(yàn)下自己能否吃透這類高難度題型。

一、提到概率，大概率有陷阱

【2018廣西省考52題】某種商品出廠編號(hào)的最后三位為阿拉伯?dāng)?shù)字?，F(xiàn)有出廠編號(hào)最后三位為001~100的產(chǎn)品100件。

從中任意抽取1件，出廠編號(hào)后三位數(shù)字之和為奇數(shù)的概率比其為偶數(shù)的概率：
（A）高2%
（B）低2%
（C）高4%
（D）低4%

從中任意抽取1件，出廠編號(hào)后三位數(shù)字之和為奇數(shù)的概率比其為偶數(shù)的概率：
（A）高2%
（B）低2%
（C）高4%
（D）低4%

正確率27%，易錯(cuò)項(xiàng)C

本題條件非常簡(jiǎn)單，但數(shù)據(jù)很多，所以建議大家不要搞什么騷操作來「快速秒殺題目」（比如直接從2%、4%入手代入到100個(gè)數(shù)據(jù)中），老老實(shí)實(shí)逐步解析即可做對(duì)。

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①001~100共100個(gè)數(shù)
②求后三位數(shù)字之和為奇數(shù)的概率比其為偶數(shù)的概率（高／低做少）

分析后可知，「后三位數(shù)字之和」其實(shí)分為三種情況。

第一種：編號(hào)為一位數(shù)，共9個(gè)，從001~009

前面的兩個(gè)「0」對(duì)和沒有影響。

因此總和為奇數(shù)的有5個(gè)（1、3、5、7、9），總和為偶數(shù)的有4個(gè)（2、4、6、8）。

第二種：編號(hào)為兩位數(shù)，共90個(gè)，從010到099

前面的一個(gè)「0」對(duì)和沒有影響。

不難發(fā)現(xiàn)，從10~19，奇5偶5；20~29，偶5奇5……90~99，奇5偶5。

因此「每10個(gè)數(shù)」數(shù)字之和為奇數(shù)、偶數(shù)的都是5個(gè)，即90個(gè)數(shù)中有45奇數(shù)，45偶數(shù)。

第三種：編號(hào)為三位數(shù)，共1個(gè)，為100

該種情況有1個(gè)奇數(shù)，即100。

因此總共有45+5+1=51個(gè)奇數(shù)，奇數(shù)概率為51%；總共有45+4=49個(gè)偶數(shù)，偶數(shù)概率為49%。

即「數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為51%，為偶數(shù)的概率為49%，高2%」，A「高2%」正確。

本題其實(shí)和概率關(guān)系不大，但正應(yīng)了那句話，「提到概率，就大概率有陷阱」。這里有兩個(gè)陷阱：

第一個(gè)：本題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單而數(shù)據(jù)多，很多考生都想要找解題的「捷徑」，但最好的「捷徑」就是一步一步根據(jù)題目問法來，沒必要投機(jī)取巧。

第二個(gè)：本題問的是「奇數(shù)的概率比偶數(shù)的概率」，而不是「奇數(shù)的數(shù)量比偶數(shù)的數(shù)量」。如果問法是「數(shù)量」，那么C「4%」就符合要求了。

平淡的題目，樸實(shí)的解題思路，看似簡(jiǎn)單的陷阱——和特別低的正確率，這就是「概率題」。

二、題不難，解題思路難

【2015河南省考38題】 甲、乙兩名實(shí)力相當(dāng)（即每一局兩人中任意一人獲勝的概率相同）的棋手進(jìn)行了7局4勝制的比賽，前3局賽完后，甲以2：1領(lǐng)先于乙。

甲獲得最后勝利的概率是多少？
（A）2/3
（B）3/4
（C） 5/8
（D）11/16

甲獲得最后勝利的概率是多少？
（A）2/3
（B）3/4
（C）5/8?
（D）11/16?

正確率29%，易錯(cuò)項(xiàng)C

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：

①7局4勝，甲乙實(shí)力相當(dāng)
②甲2：1領(lǐng)先乙
③求甲獲得最后勝利的概率

根據(jù)①「7局4勝」和②「甲2：1領(lǐng)先乙」可知，甲需要在「輸給乙3局前」再「贏下2局乙」。列出所有可能：

（1）甲贏2局
（2）甲在2局中「贏1輸1」，再贏1局
（3）甲在3局中「贏1輸2」，再贏1局

直接將概率計(jì)算相加即可。由于4個(gè)選項(xiàng)都是分?jǐn)?shù)，我們可以將甲乙獲勝的概率用分?jǐn)?shù)1/2表示。

第1種

1/2×1/2=1/4

第2種

C（2，1）×1/2×1/2×1/2=1/4

第3種

C（3，1）×1/2×1/2×1/2×1/2=3/16

合計(jì)概率為1/4+1/4+3/16=11/16，D「11/16」正確。

這道題的解析關(guān)鍵是「列出所有可能性」，尤其是「甲必須贏最后一局，在此之前必須贏一局，最多可以輸兩局」這個(gè)點(diǎn)必須清楚，否則是不可能做對(duì)的。

題目結(jié)合了「排列組合公式」和「概率」，不過非常簡(jiǎn)明，我們只需要知道「把甲贏的局插入輸?shù)木种校褂媒M合數(shù)公式計(jì)算」即可做對(duì)。

本題不難，但如果沒有認(rèn)識(shí)到解題思路，就可能花半天時(shí)間也做不出來。

三、「遲到區(qū)間（相遇區(qū)間）」的本質(zhì)

【2020年8月聯(lián)考】某公司職員預(yù)約某快遞員上午9點(diǎn)30分到10點(diǎn)在公司大樓前取件，假設(shè)兩人均在這段時(shí)間內(nèi)到達(dá)，且在這段時(shí)間到達(dá)的概率相等。約定先到者等后到者10分鐘，過時(shí)交易取消。

快遞員取件成功的概率為：
（A）1/3
（B）2/3
（C）5/9
（D）7/9

快遞員取件成功的概率為：
（A）1/3
（B）2/3
（C）5/9
（D）7/9

正確率39%，易錯(cuò)項(xiàng)B

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①兩人約定9點(diǎn)30分到10點(diǎn)
②兩人在這段時(shí)間內(nèi)到達(dá)概率相等
③先到者等后到者10分鐘
④求等到的概率

本題還是兩個(gè)思路，如果熟悉「直角坐標(biāo)系」法，畫出總面積和陰影面積計(jì)算即可，大部分公考培訓(xùn)機(jī)構(gòu)都是這個(gè)思路，如圖：

作圖后可知大正方形總面積為30×30=900，兩個(gè)白色三角形（雙方?jīng)]有等到對(duì)方，取件失?。┑拿娣e為20×20÷2×2=400，因此取件成功的面積為900-400=500，概率為5/9。

如果不熟悉「直角坐標(biāo)系」法，我們還是可以用類似「遲到區(qū)間」的方式計(jì)算*。

*具體思路可參照《概率題的二三事（2）——「簡(jiǎn)化模型」的極致應(yīng)用》

解題思路如下：

雙方約定時(shí)間的「區(qū)間」為30分鐘，相互最多等10分鐘，則可以將「區(qū)間」分為3部分，1部分10分鐘。

從「職員」的角度看在前中后10分鐘出現(xiàn)的幾率均為1/3，這時(shí)候再結(jié)合「等10分鐘」的條件代入快遞員出現(xiàn)的幾率，即可得出「能夠等到」的幾率，最后將3部分相加即可。

（1）職員在0~10分鐘來

由于職員可以「等10分鐘」，則：

職員在第0分鐘來時(shí)，快遞員在第0~10分鐘來均符合條件，概率為1/3。
職員在第10分鐘來時(shí)，快遞員在0~20分鐘來均符合條件，概率為2/3。

因此該區(qū)間的平均概率為（1/3+2/3）÷2=1/2

（2）職員在10~20分鐘來

由于職員和快遞員都可以「等10分鐘」，則職員在該區(qū)間任意一個(gè)時(shí)段來，快遞員都有20分鐘的「能夠等到」區(qū)間，概率為2/3。

（3）職員在20~30分鐘來

由于快遞員可以「等10分鐘」，則：

職員在第20分鐘來時(shí)，快遞員在第10~30分鐘來均符合條件，概率為2/3。
職員在第30分鐘來時(shí)，快遞員在20~30分鐘來均符合條件，概率為1/3。

因此該區(qū)間的平均概率為（2/3+1/3）÷2=1/2

因此「能夠等到」的總概率為：

1/3×1/2+1/3×2/3+1/3×1/2
=1/6+2/9+1/6
=2/6+2/9
=1/3+2/9
=5/9，C「5/9」正確。

其實(shí)從本質(zhì)上講，「求遲到區(qū)間（或者相遇區(qū)間）」的方法和「直角坐標(biāo)系」法是相同的，只不過找特定區(qū)間的方法更加容易理解，所以比較推薦大家用這種方法解題。

和《概率題的二三事（2）——「簡(jiǎn)化模型」的極致應(yīng)用》不同的是，之前那篇文章介紹的題目是「坐公交車」，無論是乘客還是公交車，到車站后都會(huì)在原地等到時(shí)間結(jié)束；而本題更加復(fù)雜一些，雙方只有10分鐘的「等待區(qū)間」，因此符合條件的「相遇區(qū)間」就更狹窄、更復(fù)雜一些。

在本題中，可以把時(shí)間分為3部分。中間10分鐘，雙方各有對(duì)對(duì)方的10分鐘等待時(shí)間，因此「相遇區(qū)間」就有20分鐘；而前10分鐘和后10分鐘，「相遇區(qū)間」是有變化的，開頭和結(jié)尾都只有1/3，而最靠近中間的時(shí)間段有1/3，因此總概率要取平均值。最后，將3部分概率相加即可。

總的來說，此類題目計(jì)算量并不大，計(jì)算過程也很簡(jiǎn)單，但找到正確解題思路很難，因此考生得分普遍較低，建議大家好好學(xué)習(xí)下。

理解「概率」的本質(zhì)，就能理解為什么可以劃分不同的區(qū)間來分段解析概率。

四、這道題很簡(jiǎn)單呀？怎么正確率這么低

【2015浙江選調(diào)村官考試29題】古代邊防傳遞信息用烽火臺(tái)，已知每個(gè)烽火臺(tái)發(fā)出的信號(hào)被下一個(gè)烽火臺(tái)傳遞的概率是0.9，而每個(gè)烽火臺(tái)不可能跳過前一個(gè)烽火臺(tái)傳遞信號(hào)。

信號(hào)從第一個(gè)烽火臺(tái)發(fā)出后，傳遞到第幾個(gè)烽火臺(tái)的概率開始小于0.5?
（A）第五個(gè)?
（B）第六個(gè)
（C）第七個(gè)
（D）第八個(gè)

信號(hào)從第一個(gè)烽火臺(tái)發(fā)出后，傳遞到第幾個(gè)烽火臺(tái)的概率開始小于0.5?
（A）第五個(gè)?
（B）第六個(gè)
（C）第七個(gè)
（D）第八個(gè)

正確率29%，易錯(cuò)項(xiàng)C

信號(hào)從第1個(gè)烽火臺(tái)開始傳遞，傳到第2個(gè)概率為0.9，依此類推（為方便計(jì)算，保留2位小數(shù)即可，除非結(jié)果特別接近0.5）：

第3個(gè)：0.81
第4個(gè)：0.729≈0.73
第5個(gè)：0.657≈0.66
第6個(gè)：0.594≈0.59
第7個(gè)：0.531≈0.53
第8個(gè)：0.477

由于0.477距離0.5相當(dāng)遠(yuǎn)，因此之前的簡(jiǎn)化過程不會(huì)對(duì)結(jié)果有本質(zhì)影響，D「第八個(gè)」正確。

這本來是一道送分題，但絕大部分考生被出題者戲耍了，誤選了易錯(cuò)項(xiàng)C。

這道題和一個(gè)經(jīng)典笑話很像。

據(jù)說有個(gè)著名的心算大師，從來沒有誰難倒過他。有一次，他在表演「心算」的時(shí)候，臺(tái)下一個(gè)聽眾提出了一道簡(jiǎn)單的心算題，說一輛公交車在行駛的過程中，在A站上了10人，下了8人；B站上了5，下了7人……說完之后，心算大師自信滿滿地說出了公交車現(xiàn)有人數(shù)，結(jié)果聽眾的問題卻是「公交車停了多少站」，心算大師當(dāng)場(chǎng)傻眼。

本題也是如此，它雖然題干中帶有「概率」兩個(gè)字，解題思路也超級(jí)簡(jiǎn)單，但出題者考的不是考生算的準(zhǔn)不準(zhǔn)（事實(shí)上最后概率為0.47+，距離0.5還挺遠(yuǎn)的），而是測(cè)試考生在行測(cè)考場(chǎng)的緊張環(huán)境下能否冷靜地審題。

不難看出，信號(hào)傳遞到第2個(gè)烽火臺(tái)時(shí)，概率才從「0.9」開始降低，而不是從第1個(gè)烽火臺(tái)開始就是「0.9」了。絕大部分考生誤選了C，就錯(cuò)在這個(gè)看似極為簡(jiǎn)單的陷阱上面。

因?yàn)閺?fù)雜的計(jì)算過程轉(zhuǎn)移了注意力，所以這種類似「腦筋急轉(zhuǎn)彎」的陷阱也有很強(qiáng)的殺傷力……

五、「分步驟」概率題的最常用技巧

【2021山東省考38題】進(jìn)入某比賽四強(qiáng)的選手通過抽簽方式隨機(jī)分成2組進(jìn)行半決賽，已知小王在面對(duì)任何對(duì)手時(shí)獲勝的概率都是60%，小張?jiān)诿鎸?duì)任何對(duì)手時(shí)獲勝的概率都是40%。

小王和小張均在半決賽中獲勝的概率為：
（A）2/15
（B）4/15
（C）3/25
（D）4/25

小王和小張均在半決賽中獲勝的概率為：
（A）2/15
（B）4/15
（C）3/25
（D）4/25

正確率24%，易錯(cuò)項(xiàng)C

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①半決賽，隨機(jī)抽簽
②小王勝率60%，小張勝率40%
③小王、小張均勝利的概率

根據(jù)③可知小王、小張不能成為半決賽的對(duì)手。

由于半決賽4個(gè)位置沒有區(qū)別，因此先將小王任意固定一個(gè)位置，可知沒有抽中小張的概率為2/3（即小王、小張不是半決賽對(duì)手的概率為2/3）。

在此基礎(chǔ)上，將雙方均勝利的概率相乘，得：

2/3×60%×40%
=2/3×3/5×2/5
=4/25，D「4/25」正確

本題的解析關(guān)鍵為「先固定一個(gè)位置」。由于題干沒有對(duì)半決賽的其他對(duì)手或半決賽的賽程作出特殊限制，因此小王（或小張）固定一個(gè)位置后，對(duì)概率不會(huì)產(chǎn)生任何影響，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)解析即可輕松得出正確答案。

「固定一個(gè)位置」是分步驟「概率題」的最常用技巧，一定要掌握并學(xué)會(huì)在實(shí)戰(zhàn)中應(yīng)用。