為了便于大家搜索問題，我們將問題文字表述如下，大家可以跳過，直接看題目圖片。

證明：√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)≥√2倍(a+b+c)

證明：根號(a^2+b^2)+根號(b^2+c^2)+根號(c^2+a^2)≥根號2倍(a+b+c)

證明：根號(a2+b2)+根號(b2+c2)+根號(c2+a2)≥根號2倍(a+b+c)

證明：根號(a*a+b*b)+根號(b*b+c*c)+根號(c*c+a*a)≥根號2倍(a+b+c)

一、?代數(shù)法證明

首先觀察，我們發(fā)現(xiàn)要證明的不等式左側(cè)根號下總共含有兩個a、兩個b、兩個c，于是我們可以設(shè)法在右側(cè)也構(gòu)造兩個a、兩個b、兩個c。于是問題就轉(zhuǎn)化為求證：√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)≥√2倍[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/2。

經(jīng)過觀察分析，發(fā)現(xiàn)，只需要證明√(a^2+b^2)≥√2倍(a+b)/2。

二、?數(shù)形結(jié)合法證明

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如上圖所示，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=AC=a+b+c，AC=√2AB=√2倍(a+b+c)。

其中藍色的輔助線分別垂直于AB和BC。AD=CG=c，DE=FB=a，EB=GF=b。DM=BF=a，NG=EB=b，MH=DE=a，NH=GF=b，所以，在Rt△ADM中AM=√(c2+a2)，在Rt△MHN中MN=√(a2+b2)，在Rt△NGC中AM=√(b2+c2)。

根據(jù)“兩點間直線距離最短”，已知AM+MN+NC≥AC，也即√(c2+a2)+√(a2+b2)+√(b2+c2)≥√2倍(a+b+c)，上述不等式得證。

三、?小結(jié)

大家發(fā)現(xiàn)，做數(shù)學題，不管是哪種解法，首先在于觀察思考。其次，要善于利用聯(lián)想類比的思想，然后將問題轉(zhuǎn)化簡化。最后，要學會總結(jié)歸納，在日積月累中形成一種數(shù)學直覺。不管如何，扎實的數(shù)學基礎(chǔ)和良好的解題習慣是不可或缺的。

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《初中數(shù)學高中數(shù)學帶根號的不等式的證明-代數(shù)法證明》：

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《初中數(shù)學高中數(shù)學帶根號的不等式的證明-數(shù)形結(jié)合法》：

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