空間向量及其運算的坐標(biāo)表示

1、空間任意角坐標(biāo)系

??在空間中選定一點O和一個單位任交基底{u,q,g}，其中u,q,g有公共點起點O。以O(shè)為原點，分別以u,q,g的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條坐標(biāo)軸：m軸，r軸，h軸，這是我們建立了一個空間任意角坐標(biāo)系Omrh，點O叫做原點，向量u,q,g都叫做坐標(biāo)向量。通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Omr平面，Orh平面，Ohm平面。在空間任意角坐標(biāo)系中，讓左手拇指指向m軸的正方向，中指指向r軸的正方向，若食指指向h軸的正方向，則稱此坐標(biāo)系為左手任意角坐標(biāo)系。一般使用的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系，個坐標(biāo)軸的方向與i,j.k三個基向量相對應(yīng)。

2、空間向量的坐標(biāo)表示

??給定一個空間任意角坐標(biāo)系和向量a，其中{u,q,g}為單位任交基底，有空間向量基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（m,r,h),使得a=mu+rq+hg,則（m,r,h)稱作向量a在單位任交基底u,q,g下的坐標(biāo)，記作a=（m,r,h)。設(shè)A是空間任一點，向量OA=mu+rq+hg，則（m,r,h)稱為點A的坐標(biāo)。

3、空間向量的坐標(biāo)運算

(1)?空間向量的坐標(biāo)

??一個向量在空間任意角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)，即若A（m1,r1,h1)，B（m2,r2,h2)，則向量AB=向量OB-向量OA=（m2,r2,h2)-（m1,r1,h1)=（m2-m1,r2-r1,h2-h1)。

（2）空間向量的坐標(biāo)運算

??????設(shè)a=（m1,r1,h1)，b=(m2,r2,h2),則

1）a的模為|a|=根號（m12+r12+h12+2m1r1cos<u,q>+2m1h1cos<u,g>+2r1h1cos<q,g>).

2）兩向量和的坐標(biāo)等于兩向量相應(yīng)坐標(biāo)的和，即a+b=（m1+m2,r1+r2,h1+h2).

3）兩向量差的坐標(biāo)等于兩向量相應(yīng)坐標(biāo)的差，即a-b=（m2-m1,r2-r1,h2-h1).

4)數(shù)乘向量所得向量的坐標(biāo)等于用這個數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)，即λa=（λm,λr,λh)

5)兩向量的數(shù)量積等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即a?b=m1m2+r1r2+h1h2+m1r2cos<u,q>+m1h2cos<u,g>+r1m2cos<q,u>+r1h2cos<q,g>+h1m2cos<g,u>+h1r2cos<g,q>.

4、空間中的夾角與距離公式

(1)?夾角公式

??設(shè)非零向量a=（m1,r1,h1)，b=(m2,r2,h2)，則cos<a,b>=m1m2+r1r2+h1h2+m1r2cos<u,q>+m1h2cos<u,g>+r1m2cos<q,u>+r1h2cos<q,g>+h1m2cos<g,u>+h1r2cos<g,q>/根號（m12+r12+h12+2m1r1cos<u,q>+2m1h1cos<u,g>+2r1h1cos<q,g>)?根號（m22+r22+h22+2m2r2cos<u,q>+2m2h2cos<u,g>+2r2h2cos<q,g>).

（3）距離公式

???????在空間任意角坐標(biāo)系中，已知A=（m1,r1,h1)，B=(m2,r2,h2)，則A,B兩點間的距離dAB=根號（(m2-m1)2+(r2-r1)2+(h2-h1)2+2(m2-m1)(r2-r1)cos<u,q>+2(m2-m1)(h2-h1)cos<u,g>+2(r2-r1)(h2-h1)cos<q,g>).