今年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1卷選擇題第7題的曝光率已經(jīng)非常高了。因?yàn)閰⑴c比較的三項(xiàng)的大小非常接近、無(wú)法精確作圖、函數(shù)包含無(wú)理數(shù)無(wú)法直接計(jì)算，在高中課本的大框架內(nèi)基本上只能考慮構(gòu)造函數(shù)了。但是由于構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)比較的計(jì)算量較大，放在求解倒數(shù)第二題選擇題上耗時(shí)過(guò)多，所以B站上有不少博主都在講解簡(jiǎn)便計(jì)算的方法，其中包括用二級(jí)結(jié)論放縮、用蘊(yùn)含高等數(shù)學(xué)思想的泰勒展開或帕德逼近近似計(jì)算等。我自己也寫了個(gè)動(dòng)態(tài)講解：用泰勒展開求解2022高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1卷第7題。有主張用泰勒的人，自然也就有反對(duì)用泰勒的人。反對(duì)者的理由無(wú)非是“高考就應(yīng)該用高中范圍的知識(shí)解決”“出題者考察的目的就是看考生對(duì)于構(gòu)造函數(shù)這個(gè)技巧掌握得如何”“只有遵照出題者的目的才能選拔出真正的人才”這幾點(diǎn)。本文并不會(huì)主要從正面反駁這幾點(diǎn)，而是旨在展示泰勒公式的一些細(xì)節(jié)，以及闡述“為什么泰勒公式在許多理工科研究和生產(chǎn)中有非常實(shí)用和重要的地位”。

首先要強(qiáng)調(diào)的是，泰勒公式并不是對(duì)于所有近似計(jì)算都能得到很小的誤差。所以了解泰勒公式的誤差非常有助于理解它的適用范圍。泰勒公式：

泰勒公式描述的是：一個(gè)函數(shù)可以在x=x0處近似表示成包含函數(shù)值f(x0)與一系列(包含各階導(dǎo)數(shù)的項(xiàng))的和。如果包含導(dǎo)數(shù)的展開項(xiàng)取到n階導(dǎo)數(shù)，則誤差大小是一個(gè)O((x-x0)^(n+1))的項(xiàng)。這個(gè)符號(hào)可以理解為：這一項(xiàng)的大小主要由(x-x0)^(n+1)的大小決定。那么如果函數(shù)自變量x的值與展開點(diǎn)x0的值大于等于1，近似效果就會(huì)很糟糕，因?yàn)?x-x0)是一個(gè)≥1的量，所以在取n+1次方后會(huì)不變或者更大；反之，當(dāng)x與x0的距離＜1，則(x-x0)^(n+1)的值就會(huì)變得比(x-x0)^(n)小，而比(x-x0)小得多。這就是為什么此時(shí)O((x-x0)^(n+1))在近似計(jì)算中可以忽略。這就是為什么這道高考題的第一和第三比較項(xiàng)可以使用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算。

據(jù)我所知，在除開理論數(shù)學(xué)和理論物理的其余理學(xué)和工學(xué)專業(yè)中，不論是科研還是生產(chǎn)，結(jié)果往往都是有誤差的。也就是說(shuō)，近似計(jì)算是主旋律，而精確證明通常是特殊情況。而高考數(shù)學(xué)恰好是反過(guò)來(lái)的，即基本全都要求精確求解，只有可能極少數(shù)問(wèn)題例外。很多問(wèn)題如果不是涉及到不可精確計(jì)算的指數(shù)和對(duì)數(shù)，而是有理數(shù)可以直接進(jìn)行加減乘除，那解題過(guò)程將大大簡(jiǎn)化，因?yàn)橹苯佑?jì)算得出的結(jié)論就能取代繁瑣的構(gòu)造函數(shù)證明變化趨勢(shì)的過(guò)程。

以高考為導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生掌握嚴(yán)密的數(shù)理邏輯的能力，然而在有限的考試時(shí)間內(nèi)，過(guò)于復(fù)雜的題目和過(guò)大的計(jì)算量反而會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生高估初等數(shù)學(xué)的一些技巧的重要性，從而針對(duì)高階技巧部分花費(fèi)大量的時(shí)間，到頭來(lái)高級(jí)和基礎(chǔ)內(nèi)容都沒(méi)掌握牢，甚至還產(chǎn)生自我懷疑認(rèn)為自己沒(méi)有潛力接受好學(xué)校的高等教育。相反，在測(cè)試中如果能用高級(jí)技巧解題，不但能夠大量節(jié)省時(shí)間取得更高的分?jǐn)?shù)樹立信心，而且往往這些方法才是后續(xù)學(xué)習(xí)和生產(chǎn)中更流行的。

所以在此，我要向污名化泰勒公式的博主們說(shuō)：在高考以后的高等教育中，恐怕泰勒才占主流，因?yàn)閿?shù)值分析從入門到高階有很大一部分都是基于泰勒公式的。以機(jī)械工程/生物醫(yī)學(xué)工程為例，從飛機(jī)上天到火箭推進(jìn)，從天氣預(yù)報(bào)到傳熱預(yù)測(cè)，再到汽車加油、人體輸血，諸多涉及液體和氣體流動(dòng)的工程問(wèn)題其中一個(gè)重要研究方法就是數(shù)值模擬，即利用計(jì)算機(jī)帶著可控的誤差近似求解方程算得液體/氣體流動(dòng)的狀態(tài)。數(shù)值模擬可以說(shuō)處處無(wú)泰勒而又處處有泰勒。以下是簡(jiǎn)單的兩個(gè)例子，利用函數(shù)幾個(gè)相鄰點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)近似計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值：

給定一個(gè)函數(shù)f(x)和自變量區(qū)間[a,b]，工程上可以在在這個(gè)區(qū)間上等距取點(diǎn)觀察這些點(diǎn)的函數(shù)值。假設(shè)相鄰點(diǎn)的間距為h，則：f(x0+h)和f(x0-h)分別在x0處做泰勒展開：

1.用f(x0-h)、f(x0)、f(x0+h)表示f'(x0):

也就是說(shuō)，函數(shù)在x0處的一階導(dǎo)數(shù)可以近似由該點(diǎn)右邊的函數(shù)值f(x0+h)與左邊的函數(shù)值f(x0-h)還有間距的大小h表示。這種近似造成的誤差不大于O(h^2)。記住，h是個(gè)小于1的量，所以h^2比1更小。

2.用f(x0-h)、f(x0)、f(x0+h)表示f''(x0):

也就是說(shuō)，函數(shù)在x0處的二階導(dǎo)數(shù)可以近似由該點(diǎn)右邊的函數(shù)值f(x0+h)、該點(diǎn)的函數(shù)值f(x0)、以及左邊的函數(shù)值f(x0-h)還有間距的大小h表示。這種近似造成的誤差不大于O(h^2)。這里同樣有h是個(gè)小于1的量，所以h^2比1更小。

以上兩種方法把連續(xù)函數(shù)的微分轉(zhuǎn)化為了離散函數(shù)的差分。也許有人會(huì)問(wèn)，導(dǎo)函數(shù)一般不是可以直接精確計(jì)算出來(lái)嗎，為什么還要大費(fèi)周章進(jìn)行差分呢？因?yàn)閷?shí)際在工程上，大概有兩方面的原因：1.在計(jì)算導(dǎo)函數(shù)的時(shí)候，有時(shí)原函數(shù)直接求導(dǎo)過(guò)于復(fù)雜，用數(shù)值方法又快又有很好的精確度；2.以上的差分更多是運(yùn)用在數(shù)值求解微分方程上，也就是原函數(shù)本身待求，只知道原函數(shù)與原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的一些關(guān)系，需要反求原函數(shù)。就比如牛頓第二定律：

已知F(t)和m求v(t)或s(t)的過(guò)程就是解微分方程。如果自由落體運(yùn)動(dòng)考慮空氣阻力，且空氣阻力與速度正相關(guān)，則合力為變力，無(wú)法用初等數(shù)學(xué)解出運(yùn)動(dòng)方程。微分方程也是少數(shù)有求解析解的方法，而絕大多數(shù)是無(wú)法進(jìn)行理論求解的，只有用特殊方法近似求解或數(shù)值求解。

事實(shí)上，自然界中的很多過(guò)程都可以描述為微分方程。從物體的運(yùn)動(dòng)和變形到化學(xué)反應(yīng)的進(jìn)度，再?gòu)碾姶艌?chǎng)的作用到材料的破壞，甚至經(jīng)濟(jì)、金融的趨勢(shì)，其中的變量往往都能描述成變量與變化率的關(guān)系，因此就能用微分方程建模來(lái)求解。所以數(shù)值方法比什么構(gòu)造函數(shù)的使用范圍要廣得多。而從基礎(chǔ)到部分高端的數(shù)值方法，可謂處處無(wú)泰勒而處處有泰勒。這也就是為何我處理這道高考題的時(shí)候提筆就是泰勒展開。

最后，我要重申數(shù)值計(jì)算的應(yīng)用的廣泛性和泰勒展開的重要性。相比于泰勒，構(gòu)造函數(shù)精確求解更多應(yīng)用在分析學(xué)中，而理論數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與理論物理必須掌握這一項(xiàng)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)工具。在工程上，至少是機(jī)械工程和生物醫(yī)學(xué)工程領(lǐng)域，分析學(xué)據(jù)我所知沒(méi)有太多用武之地。在生產(chǎn)實(shí)踐中往往只關(guān)心近似值和誤差大小，甚至后者有時(shí)都可直接忽略。高考并不是選拔數(shù)學(xué)與物理專業(yè)的考試，而是選拔合格的學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步高等教育。以理論數(shù)學(xué)和理論物理專業(yè)去要求所有學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的掌握是不合適的，也會(huì)漏掉很多本來(lái)有能力學(xué)成其它專業(yè)的人才。我斗膽說(shuō)一句，普通人根本沒(méi)有那個(gè)天賦去學(xué)習(xí)理論數(shù)學(xué)和理論物理，所以普通人到了高等教育階段應(yīng)該學(xué)會(huì)知難而退淺嘗輒止，專攻自己擅長(zhǎng)的專業(yè)。所以請(qǐng)某些視角狹窄的B站老師們，把眼光放遠(yuǎn)一點(diǎn)，停止污名化泰勒展開等高級(jí)工具。同時(shí)我要說(shuō)，構(gòu)造函數(shù)可以高考不用，但不能不會(huì)?？紙?chǎng)外有充足時(shí)間還是應(yīng)該有能力用它解題的。而考場(chǎng)上做出來(lái)就是成功，你管我用什么方法？