定義? 設(shè)f是X中從x0到x1的一條道路，g是X中從x1到x2的一條道路。定義f與g的乘積f*g為道路h，??

? ? ? ? ? ? ? f(2s)，? ? ?當(dāng)s∈【0，1/2】，

h(s) =? ? ?

? ? ? ? ? ? ? g(2s-1)， 當(dāng) s∈【1/2，1】

映射h的定義是確切的，并且根據(jù)黏結(jié)引理，h是連續(xù)的，因此h是從x0到x2的一條道路?？梢园裩設(shè)想成這樣一條道路，前半段是f，后半段是g，

道路同倫類的運(yùn)算*滿足十分類似于群的公理的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)稱為*的廣群性質(zhì)，它與群的性質(zhì)的僅有的區(qū)別是； 對(duì)于任意兩個(gè)道路同倫類[f] 和 [g]，[f]*[g]并不總是有定義的，只有當(dāng)f(1)=g(0)時(shí)，[f]*[g]才有定義。

定理? ? 運(yùn)算*具有以下性質(zhì)；

1 結(jié)合律? 如果[f]*([g]*[h])有定義，則 （[f]*[g]）*[h]也有定義，并且它們相等。

2? 有右、左單位元? ?給定x∈X, 令ex?;? I→X? 表示將I變?yōu)辄c(diǎn)x的常值道路。如果f是X中從x0到x1的一條道路，則有

[f]*[ex1]=[f]? 和? [ex0]*[f] = [f]

3 有逆元? ?給定X中從x0到x1的一條道路f，由f^-1(s)=f(1-s)定義的道路f^-1稱為f的逆，這時(shí)有

[f]*[f^-1]=[ex0]? 和? [f^-1]*[f] = [ex1]

空間X中道路的道路同倫類的集合對(duì)于運(yùn)算*而言并不是一個(gè)群，因?yàn)閮蓚€(gè)道路同倫類的乘積并不總有定義。但是，如果我們?nèi)《╔中的點(diǎn)x0作為基點(diǎn)，并且只考慮那些起點(diǎn)和終點(diǎn)都是x0的道路，那么這種道路的道路同倫類的集合對(duì)于運(yùn)算*而言便構(gòu)成了一個(gè)群，這個(gè)群稱為X的基本群。