群論的構(gòu)造

2022-05-20 19:03 作者:子瞻Louis 0人讀過 | 我要投稿

起源

眾所周知，群論起源于代數(shù)方程的根式解問題。直接來考慮一個代數(shù)方程

$a_nx%5En%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B%5Cdots%2Ba_1x%2Ba_0%3D0$

它有n個根 $x_1%2C%5Cdots%2Cx_n$ ?，由韋達(dá)定理可以寫出：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Blcl%7D%20%20x_1%2B%5Cdots%2Bx_n%3D-%5Cfrac%7Ba_%7Bn-1%7D%7D%7Ba_n%7D%5C%5C%20%20x_1x_2%2Bx_1x_3%2B%5Cdots%2Bx_%7Bn-1%7Dx_n%3D%5Cfrac%7Ba_%7Bn-2%7D%7D%7Ba_n%7D%5C%5C%20%5Cdots%5C%5Cx_1%5Cdots%20x_%7Bn-1%7D%2B%5Cdots%2Bx_%7B2%7D%5Cdots%20x_%7Bn%7D%3D(-1)%5E%7Bn-1%7D%5Cfrac%7Ba_1%7D%7Ba_n%7D%5C%5Cx_1%5Cdots%20x_n%3D(-1)%5En%5Cfrac%7Ba_0%7D%7Ba_n%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

由此我們可以隨意將任意一個根在上式中與另幾個根互相交換位置，上式總是不會變的。將根交換的操作其實就是雙射

? $%5Csigma%3A%5C%7Bx_1%2C%5Cdots%2Cx_n%5C%7D%5Clongleftrightarrow%20%5C%7Bx_1%2C%5Cdots%2Cx_n%5C%7D$ ?

像這樣的雙射通常也叫做置換，將這些根的所有置換組成的集合記為? $X$ ?，在這個集合上添加一個二元映射? $(%5Csigma%2C%5Ctau)%5Cmapsto%5Csigma%5Ccirc%5Ctau$ ?，不難驗證：

$%5Cforall%20%5Csigma%2C%5Ctau%20%5Cin%20X%2C%5Csigma%5Ccirc%5Ctau%5Cin%20X$
$%5Cforall%20%5Csigma%2C%5Ctau%2C%5Cupsilon%20%5Cin%20X%2C(%5Csigma%5Ccirc%5Ctau)%5Ccirc%5Cupsilon%3D%5Csigma%5Ccirc(%5Ctau%5Ccirc%5Cupsilon)$
$%5Cexists%20e%5Cin%20X%2C%5Cforall%20%5Csigma%5Cin%20X%2Ce%5Ccirc%5Csigma%3D%5Csigma%5Ccirc%20e%3D%5Csigma$
$%5Cforall%20%5Csigma%5Cin%20X%2C%5Csigma%5E%7B-1%7D%5Cin%20X$

事實上，我們所列舉的這些正是后文將提到的群的定義，當(dāng)然這些置換令人直覺上認(rèn)為它和能否用根式求解一個代數(shù)方程沒有什么關(guān)系，但顯然Galois并不是這樣認(rèn)為的，它不僅不這樣認(rèn)為，還從這個角度出發(fā)解決了代數(shù)方程能否用根式求解的問題。

接下來，讓我們一步步地將群構(gòu)造出來

帶有運算的集合

從一個非空集合 S 出發(fā)，在這上面定義一個二元運算：

$*%3AS%5Ctimes%20S%5Cto%20S$

稱這個運算是封閉的，即對任意? $a%2Cb%5Cin%20S%2Ca*b%5Cin%20S$ ?，有時也會將運算符號略去。一般將像這樣帶上一個運算的集合記為? $(S%2C*)$ ?，或不引起混淆時直接將它記為 $S$ 。

既然有二元運算，當(dāng)然還有n元運算，一般將它們統(tǒng)稱為運算。帶上至少一個運算的非空集合，就可以將它稱為代數(shù)結(jié)構(gòu)。

下面開始列舉? $(S%2C*)$ ?的一些初步信息：

若對任意? $x%2Cy%2Cz%5Cin%20S$ ?，都有? $x(yz)%3D(xy)z$ ?，則稱運算 *?滿足結(jié)合律。
若對任意? $x%2Cy%5Cin%20S$ ?，都有? $xy%3Dyx$ ?，則稱運算 * 滿足交換律，或稱? $(S%2C*)$ ?交換。
若對任意? $x%2Cy%2Cz%5Cin%20S$ ?，當(dāng)? $zx%3Dzy$ ?時， $x%3Dy$ ?，則稱運算 *?滿足左消去律，同樣也有右消去律。
若對任意? $x%5Cin%20S$ ?，某個元素? $e%5Cin%20S$ ?，滿足? $e*x%3Dx*e%3Dx$ ?，則稱? $e$ ?為? $(S%2C*)$ ?的幺元或單位元。
幺元是唯一的：若? $e%2Ce'$ ?都是 S 的幺元，則? $e%3De*e'%3De'$
若對? $x%5Cin%20S$ ?，存在? $y%5Cin%20S$ ?，使得? $xy%3Dyx%3De$ ?，則稱? $x$ ?是可逆的，? $y$ ?是它的逆元，并記作? $y%3Dx%5E%7B-1%7D$ ?（在加法中常記作 $-x$ ?）。
逆元也是唯一的：若? $x%5E%7B-1%7D%2Cx%5E%7B-1'%7D$ ?都是? $x$ ?的逆元，則? $x%5E%7B-1%7D%3Dx%5E%7B-1'%7Dxx%5E%7B-1%7D%3Dx%5E%7B-1'%7D$
對? $S$ ?的子集? $A%2CB$ ?，定義
$AB%3D%5C%7Bab%7Ca%5Cin%20A%2Cb%5Cin%20B%5C%7D%5Csubset%20S$
對獨點集? $%5C%7Bx%5C%7D$ ?，可直接寫成? $Ax%2CxB$ ?。

正如加法和乘法中的結(jié)合律一樣，對于滿足結(jié)合律的二元運算結(jié)構(gòu)，任意多個元素運算的結(jié)果與運算中括號的位置無關(guān)，這不難用歸納法證明。

還有一點就是這里的運算并不一定是指加法和乘法，比如：在非零整數(shù)集上可定義運算

$*%3A(a%2Cb)%5Cmapsto%20a%5Eb$

顯然，它不滿足交換律，結(jié)合律，消去律中任何一個。

還有一個更“怪”的例子：在一個二元集合 $A%3D%5C%7Ba%2Cb%5C%7D$ 上定義運算：

$%5Cbegin%7Baligned%7Da*b%3Da%2C%5C%5Cb*a%3Db%2C%5C%5Ca*a%3Da%2C%5C%5Cb*b%3Db.%5Cend%7Baligned%7D$

可以驗證這是一個滿足結(jié)合律的運算。

從這兩個例子中我們不難得知對任意一個集合都可以定義無限多種運算，但若不加一些限制而直接去考慮這些一般的代數(shù)結(jié)構(gòu)難以得出具體、有實際意義的結(jié)論，所以抽象代數(shù)中所研究的是一些相對來說比較自然的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

下面開始正式定義群

半群與群

對帶上了一個二元運算的代數(shù)結(jié)構(gòu)，如果該運算滿足結(jié)合律，就稱該代數(shù)結(jié)構(gòu)為半群。

若一個半群中存在幺元，則稱之為幺半群。

若幺半群中的所有元素都可逆，則稱之為群。

現(xiàn)在將所有構(gòu)造的條件整理起來就是：

對一個代數(shù)結(jié)構(gòu)? $(G%2C%5Ccdot)$ ?，稱它為群，如果它滿足以下條件：

運算? $%5Ccdot$ ?滿足結(jié)合律
? $%5Cexists%20e%5Cin%20G%2C%5Cforall%20x%5Cin%20G%2Ce%5Ccdot%20x%3Dx%5Ccdot%20e%3Dx$
? $%5Cforall%20x%5Cin%20G%2C%5Cexists%20x%5E%7B-1%7D%5Cin%20G%2Cx%5Ccdot%20x%5E%7B-1%7D%3Dx%5E%7B-1%7D%5Ccdot%20x%3D1$

群? $(G%2C%5Ccdot)$ ?作為集合時它的基數(shù)? $%7CG%7C$ ?稱為該群的階，若它是有限的，則稱?G?為有限群，反之則稱為無限群。

來看幾個例子：

在整數(shù)集上定義一般的加法，顯然得到的? $(%5Cmathbb%20Z%2C%2B)$ ?是一個無限交換群。

在實數(shù)集上定義一般的加法，? $(%5Cmathbb%20R%2C%2B)$ ?是一個交換群，但若將加法換成乘法，? $(%5Cmathbb%20R%2C%5Ctimes%20)$ ?將只是幺半群。

考慮整數(shù)集作為一個集合，它有著一些子集：? $2%5Cmathbb%20Z%2C3%5Cmathbb%20Z%2C%5Cdots$ ?，并且注意到這些子集對加法依然構(gòu)成群，由此我們引入：

對幺半群? $(S%2C*)$ ?，若? $S'$ ?作為集合? $S'%5Csubset%20S$ ?，并且? $(S'%2C*)$ ?也是幺半群，則稱?S'?為 S?的子幺半群。

同樣的，也可定義：

對群? $G$ ?，若子集? $H%5Csubset%20G$ ?帶上? $G$ ?中的二元運算后是群，則稱? $H$ ?是? $G$ ?的子群，將它記為? $H%5Csubseteq%20%20G$

在集合? $%5C%7B%5Cpm1%5C%7D$ ?上定義一般的乘法，則? $(%5C%7B%5Cpm1%5C%7D%2C%5Ctimes%20)$ ?是一個有限交換群。其中非幺元滿足? $(-1)%5E2%3D(-1)%5Ctimes%20(-1)%3D1$ ?，這時我們稱元素 -1?在該群上的階為2，更一般的：

設(shè)? $(G%2C%5Ccdot)$ ?是群， $x%5Cin%20G$ ?，若存在最小的 $m%5Cin%5Cmathbb%20N$ ? ，使得 $x%5Em%3D1$ ?，則稱元素 $x%5Cin%20G$ ?是有限階元素，其階為 m?，記為 $%5Ctext%7Bord%7D(x)%3Dm$ ?，若不存在這樣的 m ，則稱? $x$ ?為無限階元素。

接下來將目光轉(zhuǎn)向兩類特殊的群：

（循環(huán)群）設(shè)? $(G%2C%5Ccdot)$ ?是群，? $G%5Cni%20x%20%5Cneq1$ ?，則? $x%5E%7B-1%7D%5Cin%20G%2Cx%5E2%3Dx%5Ccdot%20x%5Cin%20G$ ?，再像這樣對該元素不斷作運算，我們可以得到? $%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%20Z%2Cx%5En%5Cin%20G$ ?，此時我們就已經(jīng)給出了一個子群：

$%5Clangle%20x%5Crangle%3A%3D%5C%7Bx%5En%7Cn%5Cin%5Cmathbb%20Z%5C%7D%5Csubseteq%20G$

稱它為由元素 $x$ ?生成的循環(huán)群， $x$ ?稱為該群的生成元。如果 x 的階有限，則該群的階有限，且它的階就等于 x 的階。

循環(huán)群的例子有很多，例如? $(%5C%7B%5Cpm1%5C%7D%2C%5Ctimes%20)$ ?正好就給出了一個循環(huán)群，其生成元為 -1?。

還有正整數(shù)加法群? $(%5Cmathbb%20Z%2C%2B)$ ?也是一個循環(huán)群，并且其生成元既可以是 1 ，也可以是 -1?，從這個例子可以看出循環(huán)群的生成元并不總是唯一確定的，但我們可以證明對循環(huán)群? $G$ ?的任意兩個生成元 x,y 都有? $%5Cexists%20n%5Cin%5Cmathbb%20Z%2Cy%3Dx%5En$ ?。