之間建立聯(lián)系。

????? ? 你能發(fā)現(xiàn)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”和集合的“并”運算的規(guī)定在形式上的一致性嗎？

????????對與集合的“并”有如下規(guī)定：若a∈P或a∈Q，則a∈P∪Q；若a?P且a?Q，則a?P∪Q。把命題p、q分別對應(yīng)于集合P、Q，“真”“假”V"分別對應(yīng)于“∈”“?“∪”，那么上述關(guān)于“或”與“并”的規(guī)定就具有形式的一致性。具體地說，就是“p真命題”對應(yīng)于“a∈P”，“q是真命題”對應(yīng)于“a∈Q”，“pVq是真命題”對應(yīng)于“a∈P∈Q”，“pVq是假命題”對應(yīng)于“a?P∪Q”。

????????邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”和集合的“補”又有什么關(guān)系呢？

????????再看一個具體的例子。

????????若以正數(shù)集為全集，則偶數(shù)集和奇數(shù)集互為補集，由“2是偶數(shù)”是真命題，可以得到“2是奇數(shù)”是假命題；由“3是偶數(shù)”是假命題，“3是奇數(shù)”是真命題。用集合的方式則可表達(dá)為：由2∈{偶數(shù)}，可以得到2?{奇數(shù)}；由3?{偶數(shù)}，可以得到3∈{奇數(shù)}。如果把“非“真”“假”分別對應(yīng)于“補”“∈”“?”，那么，命題p和它的否定非p可以對應(yīng)于集合P和它的補集CuP，“p是真命題”對應(yīng)于“a∈P”，“p的否定是假命題”對應(yīng)于“a?CuP”，“P是假命題”對應(yīng)于“a?P”，“p的否定是真命題”對應(yīng)于“a∈CuP”。

????????對于集合的“補”有如下規(guī)定：設(shè)U為全集，P是U的子集，若a∈P，則a?CuP；若a?P，則a∈CuP。

????????類比“且”與“交”的聯(lián)系，并結(jié)合上述例子，你能建立邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”與集合的“補”運算之間的對應(yīng)關(guān)系嗎？

????????對“非”的理解，可以回想集合中“補集”的概念，“非”有否定的意思，一個命題p經(jīng)過聯(lián)結(jié)詞“非”而構(gòu)成一個新命“非p”，若將命題p對應(yīng)于集合P，則命題“非p”就對應(yīng)集合P在全集U中的補集CuP。

????????從上述討論可以發(fā)現(xiàn)：命題與集合之間可以建立對應(yīng)關(guān)系。在這樣的對應(yīng)下，邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合度運算具有一致性，命題的“且”“或”“非”恰好分別對應(yīng)集合的“交”“并”“補”。因此，我們就可以從集合的角度進一步認(rèn)識有關(guān)這些邏輯聯(lián)結(jié)詞的規(guī)定。

????????????????????????????第四十章：數(shù)制、邏輯運算和邏輯函數(shù)

數(shù)制簡介：

????????數(shù)制，也稱為計數(shù)制，是一組用固定的符號和統(tǒng)一的規(guī)則來表示數(shù)值的方法。任何一個數(shù)值都包含兩個基本要素：基數(shù)和位權(quán)。

????????“量”才是本質(zhì)，數(shù)只是“量”在某個特定的符號系統(tǒng)中指稱，一個量可以在許多的種符號系統(tǒng)中表示出來，符號只是指稱。

????????我們最常見的運算是十進制，角度是六十進制，計算機里有二進制運算、八進制運算、十進制運算、十六進制運算（這里的基數(shù)應(yīng)該用漢字表示，而不該用數(shù)字表示）。

????????不同數(shù)制之間可以進行轉(zhuǎn)換。

數(shù)碼：

????????樹脂中表示的是基本數(shù)值大小的不同數(shù)字符號，例如，十進制有10個數(shù)碼：1、2、3、4、5、6、7、8、9。

計數(shù)規(guī)則：

????????在人們使用最多的進位計數(shù)制中，表示數(shù)的符號在不同的位置上所代表的數(shù)值是不同的。

位權(quán)：

????????數(shù)制中某一位上的1所表示數(shù)值的大小（所處的價值）。例如，十進制的123，1的位權(quán)是100，2的位權(quán)是10，3的位權(quán)是1。二進制中的1011（一般從左到右開始），第一個1的位權(quán)是8，0的位權(quán)是4，第二個1的位權(quán)是2，第三個1的位權(quán)是1。如果數(shù)值是小數(shù)則同理。

數(shù)制符號：

????????二進制：B????八進制：O????十進制：D????十六進制：H

進位制的描述：

????????在人們?nèi)粘Ｉ钪凶钍煜さ倪M位制是十進制。在十進制中，數(shù)用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個符號來描述，計數(shù)規(guī)則是逢十進一。

????????在計算機系統(tǒng)中采用的是進位計數(shù)制，在二進制中，數(shù)用0和1兩個符號來描述。計數(shù)規(guī)則逢二進一，借一當(dāng)二。

????????人們在計算機指令代碼和數(shù)據(jù)的書寫中經(jīng)常使用十六進制。在十六進制中，數(shù)用0，1，……，9和A，B，……F（或a，b，……，f）16個符號來描述，計數(shù)規(guī)則是逢十六進一。

按權(quán)展開式：

????????在位權(quán)的基礎(chǔ)上，我們把數(shù)湊整展開，例如120.58，將位權(quán)和湊整的概念結(jié)合起來，我們就可以得到一個算式：100+20+0+0.5+8（注意：∵每位數(shù)上的位權(quán)都有它自己的意義，∴各位上即使是0也不能省略不寫）。那么十進制的按權(quán)展開式就是1×102+2×10**1+10**0+（5×10**-1）+（5×10**-2），同理，二進制的按權(quán)展開式就是1×22+2×2**1+2**0+（5×10**-1）+（5×10**-2）。

數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換：

? ? ? ? 要將一個數(shù)的二進制轉(zhuǎn)換為十進制，只需把進制的按權(quán)展開式算出結(jié)果即可。其中的進制換成其它數(shù)制，則算法同理。

? ? ? ? 反之將一個數(shù)的十進制轉(zhuǎn)換為二進制，如果是整數(shù)，采用短除法，用原數(shù)除以2，得到相應(yīng)的余數(shù)，反復(fù)執(zhí)行下去，一直到商為0為止，其最后的余數(shù)倒序排列（從下往上抄下來）。其中無效數(shù)字省略不寫。上述是對于整數(shù)而言，如果是小數(shù)，采用“乘2取整”的原則，即用原數(shù)乘2，得到乘積，并記下乘積的小數(shù)部分，反復(fù)執(zhí)行下去，若乘積能得到1，則到此為止，否則只需得到循環(huán)即可，其最后的小數(shù)部分正序排列（從上往下抄下來）。其中無效數(shù)字省略不寫，循環(huán)節(jié)不能省略。

邏輯運算探究：

????????觀察下列算式，你發(fā)現(xiàn)到了什么不同點？

????? ? 第一組：0×0=0????0×1=0????1×0=0????1×1=1

????????第二組：0+0=0????0+1=1????1+0=1????1+1=2

????????第三組：0≠1????1≠0

????????第四組?：1×1=1????1×（-1）=-1

????????我們可以發(fā)現(xiàn)，在第一組算式中，只有當(dāng)兩個乘積都為1時，結(jié)果才為1，只要有1個0，結(jié)果就是0。在第二組算式中，只有兩個和都為0時，結(jié)果才為0，只要有一個數(shù)不為0時，結(jié)果就不是0。這里特別注意的是，我們講的是邏輯運算，是二進制的，∴這里的1+1的結(jié)果應(yīng)該是1，2是算術(shù)運算得出的結(jié)果。在第三組算式中，在二進制中的0和1相互取反，你是幾，我就不是幾。在第四組運算中，遵循了有理數(shù)的乘法法則，即同號得正異號得負(fù)。

????????我們由此可以得出以下結(jié)論：運算分為算術(shù)運算和邏輯運算，其中算數(shù)運算包括加減乘除，邏輯運算包括與運算、或運算、非運算、異或運算（它是兩個運算法則通過一部運算完成的運算法則）。運算時應(yīng)該先算異或運算，再算非運算，接著算或運算，最后算與運算。如果遇到括號要先算括號里的。

邏輯運算算式的表示法和讀法：

????????與運算：設(shè)A，B分別是0或1的數(shù)，則表示為AandB，讀作A與B?；蜻\算：設(shè)A，B分別是0或1的數(shù)，則表示為AorB，讀作A。非運算：設(shè)該數(shù)A是0或1，則表示為notA，讀作非A。異或運算：設(shè)A，B分別是0或1的數(shù)，則表示為A異或B，讀作A異或B。

邏輯運算律：

? ? ? ? 邏輯運算跟算術(shù)運算類似，根據(jù)與、或、非、異或運算的真值表，發(fā)現(xiàn)和算術(shù)運算律的交換律一模一樣，∴我們有與邏輯交換律：AandB=BandA。同樣的，我們也有或邏輯交換律：AorB=BorA，以及邏輯異或交換律：A異或B=B異或A。它們統(tǒng)稱邏輯運算交換律。

? ? ? ?然后我們再看看Aand（BandC）的真值表：

A? B? C? BandC? Aand（BandC）

0? ?0? 0? ? ? 0? ? ? ? ? ?? ? ? ?0

0? ?0? 1? ? ? 1? ? ? ? ? ?? ? ? ?0

0? ?1? 0? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ? 0

0? ?1? 1? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 0

1? ?0? 0? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ? 0

1? ?0? 1? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ? 0

1? ?1? 1? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 1

再看看AandBandC的真值表：

A? B? C? AandB? AandBandC

0? ?0? 0? ? ? ?0? ? ? ? ? ? ? ?0

0? ?0? 1? ? ? ?0? ? ? ? ? ? ? ?0

0? ?1? 0? ? ? ?0? ? ? ? ? ? ? ?0

0? ?1? 1? ? ? ?0? ? ? ? ? ? ? ?0

1? ?0? 0? ? ? ?0? ? ? ? ? ? ? ?0

1? ?1? 0? ? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ?0

1? ?1? 1? ? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ?1

可以看出Aand（BandC）=AandBandC，同樣的，也有Aor（BorC）=AorBorC。以上稱為邏輯運算結(jié)合律。

? ? ? ? 然后再看看邏輯對邏輯是否滿足分配律：

A? B? C? AorB? AorC? BorC （AorB）（AandC）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?andC? ? ?? ?or（

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?BandC）

?0? 0? 0? ? 0? ? ? ? ?0? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ?0

?0? 0? 1? ? 0? ? ? ? ?0? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ?0

?0? 1? 0? ? 1? ? ? ? ?0? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ?0

?0? 1? 1? ? 1? ? ? ? ?0? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ?1

?1? 0? 0? ? 1? ? ? ? ?0? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ?0

?1? 0? 1? ? 1? ? ? ? ?1? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ?1

?1? 1? 0? ? 1? ? ? ? ?0? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ?0

?1? 1? 1? ? 1? ? ? ? ?1? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ?1

果然有（AorB）andC=（AandC）or（BandC），以上稱為邏輯運算分配律。

? ? ? ? 類似的，通過真值表對比，我們還可以得出邏輯運算吸收律：Aor（AandB）=A，Aand（AorB）=A，Aor（notAandB）=Aand（notAorB）=AandB。

? ? ? ? ?此外邏輯運算還滿足演律：not（AandB）=notAornotB，not（AorB）=notAandnotB。演律同樣可以通過真值表推導(dǎo)出來，以not（AorB）=notandAnotB為例：

A B? ?notA notB AandB not（ A? notAndnotB

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?andB）

0 0? ? ? ?1? ?1? ? ? ?1??? ? ? ?1? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ?1

0 1? ? ? ?0? ?1? ? ? ?0? ? ? ? ?1? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ?1

1 0? ? ? ?0? ?1? ? ? ?0? ? ? ? ?1? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ?1

1 1? ? ? ?0? ?0? ? ? ?0? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ?0

通過真值表看出，確定有not（AorB）=notAandnotB。

? ? ? ? 最后還有邏輯運算還原律：notnotA=A，我們用真值表證明

A? ?notA? ? notnotA

0? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? 0

1? ? ? ?0? ? ? ? ? ? ?1

通過真值表觀察發(fā)現(xiàn)，0否定2次后又回到0，1否定2次后又回到1。這類似我們說的雙重否定句，兩次否定變原來肯定。還原律可以無限循還執(zhí)行，用周期問題可以充分證明：0，1，0，1，0，1……同理1，0，1，0，1，0。綜上所述，邏輯運算還原律得證。

邏輯函數(shù)的定義：

????????邏輯函數(shù)的表達(dá)式為：F（f）=（A1，A2，……An）。其中：A1，A2，……，An為輸入邏輯變量，取值是0或1，F(xiàn)為輸出邏輯變量，取值是0或1，F(xiàn)稱為A1，A2，……An的輸出邏輯函數(shù)。邏輯函數(shù)有“最小項之和”及“最大項之積”兩種標(biāo)準(zhǔn)形式。

表示方法：

????????布爾代數(shù)法：按一定規(guī)律進行運算的代數(shù)。與普通代數(shù)不同，布爾代數(shù)中的變量是二元值的邏輯變量。

????????真值表法：采用一種表格來表示邏輯函數(shù)的運算關(guān)系，其輸入部分列出輸出邏輯變量的所有可能組合，輸出部分給出的相應(yīng)的輸出邏輯變量值。

????????邏輯圖法：采用規(guī)定的符號，來構(gòu)成邏輯函數(shù)運算關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)圖形。

????????卡諾圖法：卡諾圖是一種幾何圖形，可以用來表示和化簡邏輯函數(shù)表達(dá)式。

????????波形圖法：一種表示輸入輸出變量動態(tài)變化的圖形，反映了函數(shù)值隨時間變化的規(guī)律。

????????點陣圖法：是早期可編程邏輯器件中直觀描述函數(shù)的一種方法。

????????硬件設(shè)計語言法：是采用計算機高級語言來描述邏輯函數(shù)并進行邏輯設(shè)計的一種方法，它應(yīng)用于可編程邏輯器件中。目前采用最廣泛的硬件設(shè)計語言有ABLE-HDL、VHDL等。

邏輯函數(shù)表達(dá)式：

????????布爾表達(dá)式：以三變量為例，類比于或運算，邏輯函數(shù)表達(dá)式為F=A+B+C。此式說明，當(dāng)邏輯變量A、B、C為例，當(dāng)邏輯變量A、B、C同時為1時，邏輯函數(shù)輸出F才為1。其他情況下，F(xiàn)均為0。類比或運算，邏輯函數(shù)表達(dá)式為F=ABC，此式說明，當(dāng)邏輯變量A、B、C中任何一個為1時，邏輯函數(shù)F輸出等于1。類似于非運算，邏輯函數(shù)表達(dá)式為F=非A。此式說明，輸出變量時輸入變量的相反狀態(tài)。類比于與非運算，邏輯函數(shù)表達(dá)式為F=非AB。類比于或非運算，邏輯函數(shù)表達(dá)式為F=非（A+B）。與或非運算是“先與后或在非”三種運算的組合。以四變量為例，表達(dá)式為F=非（AB+CD）。表達(dá)式說明：當(dāng)輸入變量A、B同時為1或C、D同時為1時，輸出F的值才等于為0。與或非運算是先或運算后非運算的組合。類比于異或運算，表達(dá)式為F=A異或B，即兩個輸入變量值不同時F=1。類比于同或運算，表達(dá)式為F=A同或B=A異或BB，即兩個輸入變量值相同時F=1。在邏輯運算中，與、或、非三種運算才是最本質(zhì)的，其他邏輯運算式其中兩種或三種的組合。

正負(fù)邏輯：

????????正邏輯：門電路的輸入、輸出電壓的高電平定義為邏輯“1”低電平定義為邏輯“1”，低電平定義為邏輯“0”。

????????負(fù)邏輯：門電路的輸入、輸出電壓的低電平定義為邏輯“1”，高電平定義為邏輯“0”。

????????同一個邏輯門電路，在正邏輯定義下如實現(xiàn)與門功能，在負(fù)邏輯定義則是實現(xiàn)先負(fù)邏輯功能。 數(shù)字系統(tǒng)中，不是采用正邏輯就是采用負(fù)邏輯，而不能混合使用。

邏輯函數(shù)的化簡：

????????邏輯函數(shù)的化簡方法有公式法和卡諾圖兩種。邏輯函數(shù)，是一類返回值為邏輯值true或邏輯值false的函數(shù)。ture：代表判斷后是真的，正確的，也可以用1表示；false：代表判斷后的結(jié)果是假的，錯誤的。也可以用0表示?？ㄖZ圖是一種幾何圖形，可以用來表示和化簡邏輯函數(shù)表達(dá)式。

真值表化為邏輯表達(dá)式：

????????先從真值表中找出所有輸出變量Y為1的表達(dá)式。找到后，在分別看每行的輸出變量，如果輸出變量為0，則對這個變量進行否定，輸出變量為1的進行肯定。最后把每組表達(dá)式相乘，同時把這些個邏輯表達(dá)式加起來，與Y合成一個形成新的邏輯表達(dá)式。

邏輯表達(dá)式化為真值表：

????????當(dāng)給出一個邏輯表達(dá)式和有輸入變量的真值表時。這是需要填入輸出變量。我們把每一行的輸入變量帶入到邏輯表達(dá)式進行計算，得到輸出的變量Y，填入真值表的Y中。

邏輯圖化為邏輯表達(dá)式：

????????由邏輯電路圖輸出端開始，逐級寫出個門電路的邏輯表達(dá)式。依次寫出Y1、Y2、Y3的邏輯表達(dá)式。根據(jù)電路的狀態(tài)確定是相加還是相乘。

邏輯表達(dá)式化為邏輯圖：

????????根據(jù)邏輯表達(dá)式中邏輯運算的優(yōu)先級（邏輯運算的優(yōu)先級是非——與——或，有括號先算括號）用相應(yīng)的門電路實現(xiàn)相對應(yīng)的邏輯運算。

真值表化為卡諾圖：

????????當(dāng)知道真值表時，畫出一個圖表，將每個輸入變量標(biāo)在邊上，輸入名稱標(biāo)在角上，結(jié)合有序數(shù)對，將輸入變量填入到對應(yīng)的表格。

????????????????????????????第四十一章：數(shù)列

數(shù)列的概念：

????????數(shù)列是指按一定的次序排列的一定數(shù)。項是數(shù)列之中的一個重要概念。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項。排在第一位的數(shù)成為這個數(shù)列的1項（通常也叫做首項），排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項……排在第n位的數(shù)成為這個數(shù)列的第n項。

數(shù)列在函數(shù)上的理解：

????????數(shù)列可以看成是一組特殊的函數(shù)。它的特殊體現(xiàn)在其定義域和值域上。數(shù)列可以看做一個定義域為整數(shù)集N*或有限子集{1，2，3……n}的函數(shù)，其中的{1，2，3……n}不能省略。

????????用函數(shù)的觀點認(rèn)識數(shù)列是重要的思想方法，函數(shù)有三種表示方法，數(shù)列也不例外，通常也有三種表示方法：a列表法；b圖像法；c解析法。其中解析式包括以通項公式給出數(shù)列和以遞推公式給出數(shù)列。

????????他們都有自己的規(guī)律，函數(shù)不一定有解析式，同樣數(shù)列也并非有通項公式。

數(shù)列中一些常用的概念：

????????數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，……，an，a（n+1）簡記為{an}。

????????“有窮數(shù)列”?是項數(shù)有限的數(shù)列? ，“無窮數(shù)列”? ?是項數(shù)無限的數(shù)列正項數(shù)列是數(shù)列的各項都是正數(shù)的數(shù)列。

????????遞增數(shù)列是從第2項起，每一項大于它前一項的數(shù)列；如1，2，3，4，5，6，7?；遞減數(shù)列是從第2項起，每一項都小于它前一項的數(shù)列，如8，7，6，5，4，3，2，1?；擺動數(shù)列是從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項大于它的后一項的數(shù)列。周期數(shù)列（如三角函數(shù)）是各項呈周期性變化的數(shù)列；常數(shù)列是各項相等的數(shù)列（如，2，2，2，2，2，2）

????????數(shù)列的第n項an與項的序數(shù)n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示an=f（n）來表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。需要注意的是一個數(shù)列的通項公式可能不唯一

????????如果數(shù)列{an}的第n項與它前一項或前幾項的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式。

????????數(shù)列中項的總數(shù)為數(shù)列的項數(shù)。特別地，數(shù)列可以看成正整數(shù)集N*的函數(shù)（或它的有限子集{1，2，……n}）為定義域的函數(shù)，an=f（n）。如果用一個公式來表示，則它的通項公式是a（n）=f（n）。

????????并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項公式。例如，π的不同近似值，根據(jù)精確的程度，可以形成一個數(shù)列3，3.1，3.14，3.141……它沒有通項公式。

????????數(shù)列中的項必須是數(shù)，它可以是實數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。

????????用符號{an}表示數(shù)列，只不過是“借用”集合的符號，他們有本質(zhì)上的區(qū)別：1、集合中的元素是互異的，而數(shù)列中的項可以是相同的。2、集合中的元素是無序的，而數(shù)列中的項必須按一定的順序排列，也就是必須是有序的。

數(shù)列的表示方法：

????????如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。如an=（-1）*[*（n+1）+1]。

數(shù)列通項公式的特點：

????????（1）有些數(shù)列的通項公式可以有不同形式，既不唯一。（2）不是所有的數(shù)列都有通項公式。

????????如果數(shù)列{an}的第n項與它前一項或幾項的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式。如an=2a（n-1）+1（n＞1）.

數(shù)列遞推公式的特點：

????????（1）有些數(shù)列的遞推公式可以有不同形式，既不唯一。

????????（2）不是所有的數(shù)列都有遞推公式，有些數(shù)列沒有遞推公式。

????????有遞推公式不一定有通項公式。

等差數(shù)列的概念：

????????等差數(shù)列是指如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差等于同一個數(shù)的常數(shù)的數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，前N項和用Sn表示。

等差中項：

????????由三個數(shù)a、A、b組成的等差數(shù)列可以堪稱最簡單的等差數(shù)列，這時，A叫做a與b的等差中項。

????????三個數(shù)之間的關(guān)系為：A=（a+b）/2。

? 等差數(shù)列通項公式：

????????an=a1+（n-1）d

????????a1=S1（n=1）時

????????an=Sn-Sn-1（n≥2）時

????????an=kn+b（k，b為常數(shù)）推導(dǎo)過程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b則得到an=kn+b

等差數(shù)列前n項和：

????????倒序相加法推導(dǎo)前n項和公式：

????????Sn=a1+a2+a3+……+an=a1+（a1+d）+（a2+2d）+……+[a1+（n-1）d]（1）

????????Sn=an+（an-d）+（an-2d）+……+[an-（n-1）d]（2）

????????由（1）+（2）得2Sn=（a1+an）+……+（a1+an）（n個）=n（a1+an）

????????故Sn=n（a1+an）/2

????????等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與乘積項數(shù)的一半：

????????Sn=n（a1+an）/2=n×a1+n（n-1）d/2，Sn=（d/2）×n2+（a1-d/2）n。且任意兩項an，an的關(guān)系為an=am+（n-m）d。它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。

????????從等差數(shù)列的定義、通項公式，前n項和公式還可以推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……+ak+an-k+1，k∈{1，2……n}

????????若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq，p，q可以不同，也可以相同，但以下不成立：若m+n=p，則am+an≠ap。

????????S2n-1=（2n-1）an，S2n+1=（2n+1）（an+1），Sk，S2-Sk，S3-S2k，……，Snk-S（n-1）k成等差數(shù)列，等等。

????????前n項和=（首項+末項）×項數(shù)÷2，項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1，首項=2×前n項和÷項數(shù)-末項，末項=2×前n項和÷項數(shù)-首項。設(shè)a1，a2，a3為等差中項，則2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。

等差數(shù)列日常中的應(yīng)用：

????????平常的生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別時，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數(shù)列分級。

????????快速算出從26到132之間6的整倍數(shù)有多少個？

????????算法不止一種，這里介紹用數(shù)列算。令等差數(shù)列首項a1=24（24為4的6倍），等差d=6；于是，令an=24+（n-1）×6≤132即可解出n=19。

等比數(shù)列的概念：

????????等比數(shù)列是指如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)的數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用q表示。

等比中項：

????????如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，這樣的話G叫做a與b的等比中項。

????????二者之間的關(guān)系為：G=ab；G=±（a+b）**（1/2）。

????????需要注意的是：兩個非零同號的實數(shù)的等比中項只有兩個，它們互為相反數(shù)，∴G2=ab是a，G，b三數(shù)成等比數(shù)列的必要不充分條件。

等比數(shù)列通項公式：

????????an=a1q**（n-1）（其中首項是a1，公比是q）；an=Sn-S（n-1）（n≥2）。

等比數(shù)列前n項和：

????????當(dāng)q≠1時，等比數(shù)列的前n項和的公式為Sn=a1（1-q**n）/（1-q）=（a1-an×q）/（1-q）（q≠1）。

????????當(dāng)q=1時，等比數(shù)列的前n項和為Sn=na1。

????????前n項和與通項的關(guān)系：a=a1=s1（n=1），sn-sn-1（n≥2）。

等比數(shù)列的性質(zhì)：

? ?????（1）若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq。（2）在等比數(shù)列中，依次每k項之和仍成等比數(shù)列。（3）從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：a1·an=a2·a（n-1）=a3·a（n-2)=……=k∈{1，2……n}。（4）等比中項：aq·ap=ar2，則為ap，aq等比中項。記πn=a1a2……an，則有π2n-1=（2n-1），π2n+1=（an+1）2n+1。除此之外，一個各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列各項取同底指數(shù)冪后構(gòu)成的一個等差數(shù)列；反過來，以任一個正數(shù)C為底，用同一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造Can，那個就是等比數(shù)列。在這個意義下，我們認(rèn)為：一個正向之和等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。（5）在等比數(shù)列中，首項a1和公比q都不為0。需要注意的是：上述公式的an表示A的n次方。

高中數(shù)列公式定理口訣：

????????等差等比兩數(shù)列，通項公式n項和。兩個有限求極限，四則運算順序換。數(shù)列問題多變幻，方程話歸整體算。數(shù)列求和比較難，錯位相交巧轉(zhuǎn)換。取長補短高斯法，列項求和公式算。歸納思想非常好，編個程序好思考。一看二算三聯(lián)想，猜測證明不可少。還有數(shù)學(xué)歸納法，證明步驟程序化。

????????????????????????????????????第四十二章：概率

概率簡說：

????????概率，又稱然律，機會率、可能性，概率是數(shù)學(xué)概率論的基本概念，是在一個0到1之間的實數(shù)，是對隨機事件發(fā)生的可能性的度量。用來表示一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)，叫做該事件的概率。它是隨機事件出現(xiàn)的可能性的量度，同時也是概率論的基本概念之一。人們常說這些都是概率的實例。但如果一件發(fā)生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次事件，而是至此事件發(fā)生的頻率接近于1/n這個數(shù)值。

事件：

????????在數(shù)學(xué)中，事件說白了就是某一件事情，它是一個廣義的概念，可以以任何學(xué)科作為參考。事件分為確定性事件和不確定性事件，不可能事件和必然事件屬于確定性事件，隨機事件屬于不確定事件。確定性事件是指一定發(fā)生的事件，隨機事件是指可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，不肯能事件是指一定不可能發(fā)生的時間。判斷哪種事件時，還要結(jié)合生活實際來回答。

概率的嚴(yán)格定義：

????????在初中數(shù)學(xué)中，概率有著嚴(yán)格的定義。即一句話概括概率的定義：可能性的大小叫做概率。在高中數(shù)學(xué)中，又引入了幾乎必然事件和幾乎不可能事件。雖然這兩種事件都屬于隨機事件，但為了嚴(yán)格地定義，幾乎必然事件定義為幾乎一定發(fā)生的時間（或說概率非常大的隨機事件），幾乎不可能時間是幾乎不可能發(fā)生的事件（或說概率非常小的隨機事件）。

概率的計算：

????????公式為：m/n，其中n是所有可能的數(shù)量，m是事件發(fā)生的數(shù)量，數(shù)的大小在0到1內(nèi)。這樣我們就可以得出一個結(jié)論：不可能事件的概率為0，隨機事件0到1之間，必然事件的概率為1。

????????求一個隨機事件的概率，有枚舉法、列表法、樹狀圖，也是我們最常用的方法。枚舉法是直接利用題目中給出的已知條件，套入導(dǎo)公式中求出概率。列表法是先列出一個表格，把涉及到的對象寫在角上，每個對象相對應(yīng)的事件枚舉在邊上，利用“有序數(shù)對判斷位置”的原則把所有可能都列舉在最里邊的表格上，最后統(tǒng)計所有可能的數(shù)量和事件發(fā)生的數(shù)量，套入公式求出概率。樹狀圖現(xiàn)在最上方寫“開始”，然后利用幾條斜線的分支把所有第一組對象都列舉出來，再接下來每個對象順著上一層所分支的對象繼續(xù)往下全部分別畫分支的斜線把第二組對象都列舉出來，每一行要標(biāo)記第幾次，即代表第幾次枚舉的對象。最后一行的所有對象就是全部可能。結(jié)合題意，先數(shù)出有多少種可能，順著樹狀圖分支的順序找到符合題意的可能有多少種，即事件發(fā)生的數(shù)量。最后套入公式。

????????如果問題只涉及到一個對象，那么就用枚舉法；如果問題涉及到兩個對象，那么就要用列表法；如果問題涉及到三個或三個以上的對象，那么就要用樹狀圖，∵三個對象如果還用列表法就畫成空間的了，三個對象以上顯然無法用表格列舉。

????? ?需要注意的是，?在計算概率之前，一定要看原題是否說到“摸完后不放回”這樣的條件。如果是不放回，那么用列表法求概率時對角線保留，如果是放回，對角線劃掉；換成是樹狀圖的話，如果是不放回，有重復(fù)的分支保留，如果是放回，有重復(fù)的分支省略掉，否則得到的概率必然是錯誤的。另外在統(tǒng)計事件的數(shù)量時，不能做標(biāo)記，否則題目會判錯。再然后概率只能用分?jǐn)?shù)或小數(shù)表示，而不能用百分?jǐn)?shù)表示，這也是數(shù)學(xué)中的一個規(guī)定。最后，計算出的概率如果是分?jǐn)?shù)，能約分的一定要約分，否則題目也判錯。這四點也都是易錯點。

游戲公平性：

????????判斷一個游戲是否公平，首先要用列表法或樹狀圖列舉出所有可能，再通過概率的計算判斷每一方獲勝的概率是否相等（有平局還需要考慮平局）。如果每方獲勝概率概率相等，則游戲就公平，反之只要有一方概率不相等，游戲就不公平。

????????在寫答語的時候，有兩種方法。一種是先說“根據(jù)列表法可知”，再直接分別算出雙方的概率，然后比較大小，最后寫出∵幾等于幾（或幾不等于幾），∴公平（或不公平）。另一種是先說“根據(jù)列表發(fā)可知”再算出任意一方的概率，然后1減去這一方獲勝的概率，得到另一方獲勝的概率，接著比較大小，最后寫出∵幾等于幾（或幾不等于幾），∴公平（或不公平）。但如果是用樹狀圖，就只能用第一種了。

????????歷屆中考試卷壓軸題：小敏的爸爸買了一張某項體育比賽的門票，她和哥哥兩人都想去觀看，可門票只有一張，哥哥想了一個辦法，她拿了8張撲克牌，將數(shù)字2，5，3，9的4張牌給了小敏，將數(shù)字分別為4，6，7，8的4張牌留給了自己。并按如下規(guī)則做游戲：曉敏和哥哥各自從這8張牌中抽出1張，然后將2張撲克牌的點數(shù)相加。若和為偶數(shù)則曉敏去，若和為奇數(shù)則哥哥去。

????????（1）列出全部可能。

????????（2）哥哥設(shè)計的游戲公平嗎？如果公平，請說出原因；如果不公平，請對調(diào)2個點數(shù)或更改留哥哥的撲克牌的一個點數(shù)，使游戲公平。

????????分析與解答：（1）對于任何問題，都是問法越簡潔答起來越簡單。怎么才能讓問法更簡潔一些呢？“列”我們能想到列舉，“可能”我們會想到“事件的數(shù)量”。那么這個顯然是道概率題。問題中涉及到了2個對象，即小敏及其小敏的撲克牌、哥哥及其哥哥的撲克牌。∴我們用列表法列舉出所有可能。具體如下：

????????列表（1）

????????????哥哥????2? ???3????5? ? ??9

小敏

4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6? ? 7? ?? 9? ? ? 13

6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8? ? 9? ? 11? ? ? 15

7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9? ? 10? ?12? ? ?14

8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?10? 11? ? 13? ? ?17

????????（2）我們先考慮如何更改點數(shù)。第3行有3個和是偶數(shù)，其余3行都只有1個和是偶數(shù)，那么就有3+1+1+1=6個偶數(shù)，16-6=10個偶數(shù)，到這里就充分證明了不公平。我們知道，兩個數(shù)相加，只要加數(shù)加1，和就會加1，以此類推，減法同理，且奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，∴每行的偶數(shù)和（奇數(shù)和）更改前數(shù)量與更改后的數(shù)量絕對是互補的，∴更改點數(shù)不可靠。那對調(diào)點數(shù)又會怎樣呢？如果7那行的9與其他數(shù)對調(diào)，不會改變奇數(shù)和和偶數(shù)和的可能。∴點數(shù)7排除。如果8那行和5或6其中一行的總點數(shù)對調(diào)，奇數(shù)和一定是不行的，∴這種方法排除。那么一奇一偶呢？這樣只會變動數(shù)字的位置，不會改變數(shù)字的大小，∴這種方法也不行，排除。最后剩下偶數(shù)和偶數(shù)了。根據(jù)移多補少的原理，如果10和第一行或第二行的偶數(shù)和對調(diào)，偶數(shù)和反倒比奇數(shù)和多了，∴10和第一行或第二行的偶數(shù)和對調(diào)的方法排除。這時只剩下4和6了。那么4和6對調(diào)一定能使游戲公平！如圖所示：

????????列表（2）

????????????哥哥????2????3????5????9

小敏

6????????????????????8????9? ? 11? ?12

4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6? ? 7? ? ?9? ? 10

7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9? ?10? ? 12? 14

8? ? ? ? ? ? ? ? ? ?10? 11? ? 13? 17

?????????答：根據(jù)列表（1）可知，一共有16種可能，其中抽到和為奇數(shù)有10種，抽到和為偶數(shù)有6種，∴P（抽到和為奇數(shù)）?=3/8，P（抽到和為偶數(shù)）=5/8，又∵3/8≠5/8，∴不公平。根據(jù)列表（2）可知，把4點和6點對調(diào)后游戲公平，∵把4點和6點對調(diào)后，P（抽到和為奇數(shù)）??=P（抽到和為偶數(shù)）=1/2，一共有16種可能，其中抽到和為奇數(shù)有8種可能，抽到和為偶數(shù)有8種，該結(jié)論得證。

概率的頻率定義：

????????隨著人們遇到問題的復(fù)雜程度的增加，等可能性逐漸暴露出它的弱點，特別是對于同一事件，可以從不同的等可能性角度算出不同的概率，從而產(chǎn)生了種種悖論。另一方面，隨著經(jīng)驗的積累，人們慢慢認(rèn)識到，在做大量重復(fù)實驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率，總在一個固定數(shù)的附近擺動，米澤斯把這個固定數(shù)定義為該事件的概率，這就是概率的頻率定義。從理論上來講，概率的頻率定義是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)??？聽柲缏宸蛴?933年給出了概率的公理化定義。

用頻率估計概率：

????????有些時間我們無法通過計算來求出概率，這時就要用頻率來估計概率。當(dāng)重復(fù)試驗的次數(shù)n逐漸增大時，頻率fn（A）呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，逐漸穩(wěn)定與某個常數(shù)，頻率越接近這個常數(shù)，概率越接近準(zhǔn)確值。

概率的意義：

????????上面提到過，概率只能用分?jǐn)?shù)或小數(shù)表示，而不能用百分?jǐn)?shù)表示，那么我們?yōu)槭裁雌綍r描述概率都用百分?jǐn)?shù)表示呢？現(xiàn)在按下暫停鍵，請大家思考1分鐘。是不是在我們生活中沒有百分?jǐn)?shù)的約束呢，還是人們習(xí)慣了用百分?jǐn)?shù)，還是生活中規(guī)定用百分?jǐn)?shù)，還是經(jīng)濟學(xué)中有一個百分點的術(shù)語？1分鐘結(jié)束，請看大屏幕：“概率”這個字本身就有“率”字，而小數(shù)、分?jǐn)?shù)都不能本身體現(xiàn)“率”字，正是數(shù)學(xué)中規(guī)定了“不能用百分?jǐn)?shù)表示概率”才把概率中的“率”字體現(xiàn)出來了，而概率與頻率有一定關(guān)系，概率只能估計頻率，沒有直接的公式，采用百分?jǐn)?shù)表示的，生活中也是如此?！辔覀兤綍r平時描述概率都用百分?jǐn)?shù)。∴我們一定要區(qū)分開。

概率的統(tǒng)計定義：

????????在一定條件下，重復(fù)做n次試驗，na為n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，如果隨著n的逐漸增大，頻率na/n逐漸穩(wěn)定在某一數(shù)值p附近，則數(shù)值p稱為事件A在該條件下發(fā)生的概率，記作P（A）=p。這個定義稱為概率的統(tǒng)計定義。

????????從概率的統(tǒng)計可以看到，數(shù)值p就是在該條件下刻畫事件A發(fā)生可能性大小的一個數(shù)量指標(biāo)。

????????由于頻率na/n總是介于0和1之間，從概率的統(tǒng)計定義可知，對任意事件A，皆有0≤P（A）≤1，P（Ω）=1，P（ζ）=0。

古典概率：

????????古典概論討論的對象局限于隨機試驗所有等可能的情形，即基本空間有無限個元素或基本時間組成，其個數(shù)記為n，每個基本事件發(fā)生的可能性是相同的。

????????若事件A包含m個基本事件，則定義事件A發(fā)生的概率為p（A）=m/n，也就是說事件A的概率等于事件A所包含的基本事件個數(shù)除以基本空間的基本事件的總個數(shù)，這是拉普拉斯的古典概率定義，或稱之為概率的古典定義。

幾何概率相關(guān)：

????????若隨機實驗中的基本事件有無窮多個，且每個基本事件發(fā)生時等可能的，，這時就不能使用古典概率，于是產(chǎn)生了幾何概率。幾何概率的基本思想是事件與幾何區(qū)域相對應(yīng)，利用幾何區(qū)域的度量來計算事件發(fā)生的概率，布豐投針問題是應(yīng)用幾何概率的一個經(jīng)典例子。

幾何概率的嚴(yán)格定義：

????????設(shè)某一事件A（也是S中某一區(qū)域），S包含A，它的量度大小為米尤（A），若以P（A）表示事件A發(fā)生的概率，考慮到“均勻分布”性，事件A發(fā)生的概率取為P（A）=米尤（A）/米尤（S），這樣計算的概率稱為幾何概率。

????????若ζ是不可能事件，即ζ為Ω中的空的區(qū)域，其量度大小為0，故其概率P（ζ）=0。

獨立試驗序列：

????????假如一串試驗具備下面的三個條件：

????????（1）每一次試驗只有兩個結(jié)果，一個記為“成功”，一個記為“失敗”，P（成功）=p，P（失?。?1-p=q。

????????（2）成功的概率p在每次試驗中保持不變。

????????（3）試驗與試驗之間是相互獨立的。

????????則這連串的試驗稱為獨立試驗序列，也稱bernoulli模型。

事件的嚴(yán)格的分類：

????????一次實驗連同其中可能出現(xiàn)一個結(jié)果成為一個基本事件。

????????一般一次實驗中的某一事件由基本事件組成。如果一次實驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，即此試驗由n個基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等。

????????不可能發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件。

????????必有一個發(fā)生的互斥事件叫做對立事件。

概率的基本性質(zhì)：

????????（1）P（ζ）=0

????????（2）有限可加性：當(dāng)n個事件A1，……，An兩兩不相容時，P（A1∪……∪An）=P（A1）+……+P（An）。

????????（3）對于任意一個事件A：P（A）=1-P（非A）。

????????（4）當(dāng)事件A，B滿足A包含于B時：P（B-A）=P（B）-P（A），P（A）≤P（B）。

????????（5）對于任意一個事件A，P（A）≤1。

????????（6）對任意兩個事件A和B，P（B-A）=P（B）-P（AB）。

????????（7）加法公式：對任意兩個事件A和B，P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）。

條件概率：

????????條件概率是指事件A在事件B發(fā)生的條件下發(fā)生的概率。條件概率表示為：P（A|B），讀作“A在B發(fā)生的條件下發(fā)生的概率”。若只有兩個事件A，B，那么P（A|B）=P（AB）/P（B）。

概率測度：

????????如果事件B的概率P（B）＞0，那么Q（A）=P（A|B）在所有事件A上所定義的函數(shù)Q就是概率測度。如果P（B）=0，P（A|B）沒有意義。條件概率可以用決策樹進行計算。

聯(lián)合概率：

????????表示兩個事件共同發(fā)生的概率。A與B的聯(lián)合概率表示為P（AB）或者P（A，B），或者P（A∩B）。

邊緣概率：

????????是某個事件發(fā)生的概率，而與其它事件無關(guān)。邊緣概率是這樣的得到的：在聯(lián)合概率中，把最終結(jié)果中不需要的那些事件合并成起事件的全概率而消失（對離散型隨機變量用求和的全概率，對連續(xù)型隨機變量用積分的全概率）。這稱為邊緣化。A的邊緣表示為P（A），B的邊緣概率表示為P（B）

????????需要注意的是，在這些定義中A與B之間不一定有因果或者時間順序關(guān)系，A可能會先于B發(fā)生，也可能相反，也可能二者同時發(fā)生。A可能會導(dǎo)致B的發(fā)生，也可能相反，也可能二者之間沒有因果關(guān)系。例如考慮一些可能是新的信息的概率條件性可以通過貝葉斯定理實現(xiàn)。

條件概率基本定理：

????????定理1：設(shè)A，B是兩個事件，且A是不可能事件，則稱P（B|A）=P（AB）/P（A）為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。一般地，P（B|A）≠P（B），且它滿足以下三條件：（1）非負(fù)性；（2）規(guī)范性；（3）可列可加性

????????定理2：設(shè)E為隨機試驗，Ω為樣本空間，A，B為任意兩個事件，設(shè)P（A）＞0，稱P（B|A）=P（AB）/P（A）為在“事件A發(fā)生”的條件下發(fā)生B的條件概率。

????????上述乘法公式可推廣到任意有窮多個事件時的情況。

????????設(shè)A1，A2……An為任意個事件（n≥2），且P（A1A2……An）＞0，則P（A1A2……An）=P（A1）P（A2|A1）……P（A1|A2……A（n-1））。

????????定理3：設(shè)B1，B2，……Bn是一組事件，若（1）至少有一個i≠j∈{1,2，……，n}，BinBj=?（2）B1∪B2∪……∪Bn=Ω，則稱B1，B2，……，Bn樣本空間Ω的一個完備事件組。

????? ? 設(shè)事件組{Bi}是樣本空間的一個劃分，且P（Bi）＞0（i=1，2，……n）則對任意事件有P（A）=n劃分i=1P（Bi）P（A|Bi）。

????????定理4：貝葉斯公式：設(shè)B1，B2，……Bn是一完備事件組，則對任意事件A＞0，有P（Bi|A）=P（ABi）/P（A）=[P（Bi）·P（A|Bi）/n劃分i=1P（Bi）P（A|Bi）]。

條件概率的獨立性：

????????當(dāng)且僅當(dāng)兩個隨機事件A與B滿足P（A∩B）=P（A）P（B）的時候，它們才是統(tǒng)計獨立的，這樣聯(lián)合概率可以表示為各自概率的簡單乘積。同樣，對于兩個獨立事件A與B有P（A|B）=P（A）以及P（B|A）=P（B）。換句話說，如果A與B是相互獨立的，那么A在B這個前提下的條件概率就是A自身的概率；同樣，B在A的前提下的條件概率就是B自身的概率。

條件概率的互斥性：

????? 當(dāng)且僅當(dāng)A與B滿足?P（A∩B）=0，且P（A）≠0，P（B）≠0的時候，A與B是互斥的。因此，P（A|B）?=0，P（B|A）=0。換句話說，如果B已經(jīng)發(fā)生，由于A不能和B在同一場合下發(fā)生，那么A發(fā)生的概率為0；同樣，如果A已經(jīng)發(fā)生，那么B發(fā)生的概率為0。

分布列簡介：

? ? ? ? 分布列分為一維分布列和二維分布列，含有一個隨機變量的分布列叫做一維分布列，含有兩個隨機變量的分布列叫做二維分布列。三維分布列同理。

? ? ? ? 一維分布列是一個單式的表格，二維分布列是一個復(fù)式的表格，三維分布列是一個立體的表格。

? ? ? ? 一維分布列又叫單維分布列，二維分布列和二維以上的分布列統(tǒng)稱多維分布列。列一維分布列時要把隨機變量的取值和概率區(qū)分開，列二維分布列時，如果是聯(lián)合分布列，還要用X和Y，如果是離散分布列，要拆成E（X）和E（Y）的兩個一維分布列。

數(shù)學(xué)期望：

????????數(shù)學(xué)期望（或均值，簡稱期望）是試驗中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和，它反映隨機變量平均取值的大小。公式為E（P）=x1p1+x2p2+……+xnpn。

服從二項分布的隨機變量取何值時概率最大：

????????二項分布是應(yīng)用最廣泛的離散型隨機變量概率模型，對于二項分布有關(guān)的一些問題的探究是很有意義的。我們可以提出這樣的問題：

????????如果某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，每次射擊的結(jié)果相互獨立，那么他在10次射擊中，最多可能擊中目標(biāo)幾次？

? ? ????設(shè)他在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X。由于射擊中每次射擊的結(jié)果是相互獨立的，因此X~B（10，0.8）。于是恰好k次擊中目標(biāo)的概率為P（X=k）=C（k,10）×0.8

? ×0.2**（10-k），k=0，1，2?，?……，10。從而[P（X=k）/P（X=k-1）]?=[（10-k+1）×0.8/（k×0.2）]? =1+（11×0.8-k）/（k×0.2），k=0，1，2?，?……，10。于是，當(dāng)k＜8.8時，P（X=k-1）＜P（X=k）；當(dāng)k＞8.8時，P（X=k-1）＞P（X=k）。

????????由以上分析可知，他在10次射擊中，最多有可能8次擊中目標(biāo)。

????????如果X~B（n，p），其中0＜p＜1，那么當(dāng)k由0增大到n時，P（X=k）是怎樣變化的？k取何值時，P（X=k）最大？

????????∵X~B（n，p），其中0＜p＜1，∴P（X=k）=C（k，n）p

**（n-k），k=0，1，2，……，n。由p（n=k）≥p（n=k-1），p（n=k）≥p（n=k+1）得

C（k，n）p**（n-k）≥

C（k-1，n）p**（k-1）

（1-p）**（n-k+1），

C（k，n）p**（n-k）≤

C（k+1，n）p**（k+1）

（1-p）**（n-k+1）。

解得p（n+1）-1≤k≤p（n+1），

∴當(dāng)p（n+1）是整數(shù)時，k=p（n+1）-1或k=p（n+1）時，p（X=k）最大；當(dāng)p（n+1）不是整數(shù)時，k=[p（n+1）]時，p（X=k）最大。當(dāng)k由0增大到n時，P（X=k）的值是由小到大，然后由大到小。綜上，當(dāng)p（n+1）是整數(shù)時，k取p（n+1）-1或p（n+1）時，p（X=k）最大；當(dāng)p（n+1）不是整數(shù)時，k取[p（n+1）]時，p（X=k）最大。（[]表示取整。）

????????????????????????第四十三章：平面向量

?向量的概念：

????????既有方向又有大小的量叫向量（物理學(xué)中叫矢量），向量可以用小寫字母a，b，c……表示。只有大小沒有方向的量叫數(shù)量（物理學(xué)中叫標(biāo)量）。在自然界中，有許多量既有大小有有方向，如力、速度等。為了研究這些量的這個共性，在它們的基礎(chǔ)上提出了向量這個概念。這樣，研究清楚了向量的性質(zhì)，當(dāng)然用來研究其他量，就會方便許多。

向量與標(biāo)量的區(qū)別：

??????????既有方向又有大小的量叫向量（物理學(xué)中叫矢量）， 只有大小沒有方向的量叫數(shù)量（物理學(xué)中叫標(biāo)量）。

向量的幾何表示：

????????具有方向的線段叫有向線段，以A為起點，B為終點的有向線段記作AB。

????????有向線段AB的長度叫向量的模，記作|AB|。

????????有向線段包含3個因素：起點、方向、長度。

????????相等向量、平行向量、共線向量、零向量、單位向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a、b平行，記作a∥b，零向量與任意向量平行，即0/a。在向量中共線向量就是平行向量。長度等于0的向量叫做零向量。

????????零向量的方向是任意的，且零向量與任何向量都平行且垂直。

????????模等于1個單位長度的向量叫做單位向量。

平面向量的坐標(biāo)表示：

? ? ????在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。任作一個向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a=xi+yj，?我們把（x，y）? 叫做向量a的（直角）?坐標(biāo)，記作a（x，y）。

????????其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量的坐標(biāo)表示。

????????在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)唯一表示。

????????注意：平面向量的坐標(biāo)與點的坐標(biāo)不一樣，平面向量的坐標(biāo)是相對的。而點的坐標(biāo)是絕對的。若一向量的起點在原點，例如該向量為（1，2），那么該向量上的所有點都可以用（a，2a）表示。即，若一向量的起點在原點，則該向量的任意一點的橫縱坐標(biāo)比例關(guān)系是相同的。

向量的加法：

????????已知向量a、b，在平面上任取一點A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，則向量AC叫做a與b的和，記作a+b=AB+BC=AC。

????????AB+BC=AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。同樣，AB=a，且AD=BC，再作平行于AD的BC=b，連接DC，∵AD∥DC，且AD=BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，AC叫做a與b的和，表示為AC=a+b。這種方法叫做向量加法的平行四邊形法則。

????????一直兩個從同一點O出發(fā)的兩個向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

????????對于零向量的任意向量a，有：0+a=a+0=a。

????????||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。

????????向量的加法滿足所有的加法運算律。

向量的減法：

????????AB-AC=CB，這種計算法則叫做向量減法的三角形法則。

????????與a長度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，-（-a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

????????a+（-a）=（-a）+a=0。a-b=a+（-b）。

向量的數(shù)乘：

????????實數(shù)蘭姆達(dá)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作蘭姆達(dá)a，|蘭姆達(dá)a|=|蘭姆達(dá)||a|，當(dāng)蘭姆達(dá)＞0時，蘭姆達(dá)a的方向與a的方向相同，當(dāng)蘭姆達(dá)＜0時，蘭姆達(dá)a的方向和a的方向相反。當(dāng)蘭姆達(dá)=0時，蘭姆達(dá)a=0。

????????設(shè)蘭姆達(dá)、米尤是實數(shù)，那么：（1）（蘭姆達(dá)米尤）a=蘭姆達(dá)（米尤a）。（2）（蘭姆達(dá)+米尤）a=蘭姆達(dá)a+米尤a。（3）蘭姆達(dá)（a±b）=蘭姆達(dá)a±蘭姆達(dá)b。（4）（-蘭姆達(dá)）a=-（蘭姆達(dá)a）=蘭姆達(dá)（-a）。

????????向量的加法運算、減法運算、數(shù)乘運算統(tǒng)稱線性運算。

向量的坐標(biāo)運算：

????????已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（x1+x2，y1+y2），a-b=（x1-x2，y1-y2）。這就是說，兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。

????????由此可以得到：一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點減去始點的坐標(biāo)。

????????根據(jù)上面的結(jié)論又可得若a=（x，y），則蘭姆達(dá)a=（蘭姆達(dá)x，蘭姆達(dá)y）。

????????這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。

向量的數(shù)量積：

????? ? （1）向量a與向量b的夾角：已知兩個非零向量，過O點作向量OA=a。向量OB=b，則∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角。

????????（2）數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a·b，θ是a與b的夾角，|a|cosθ叫做向量a在b的方向上的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。

????????（3）數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a·與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

????????兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和。即若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2＋y1y2。

????????（4）向量的數(shù)量積的性質(zhì)：a·a=|a2|≥0。a·b=b·a。k（ab）=（ka）b=a（kb）。a·（b+c）=a·b+a·c。a·b=0←→a⊥b。a=kb←→a∥b。e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ。

向量的向量積：

????? （1）?向量a與向量b的夾角：已知兩個非零向量，過O點作向量OA=a。向量OB=b，則∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角。記作<a，b>?。

??????（2）已知兩個非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積。若a，b不共線，a×b是一個向量，其模是|a×b|=|a|×|b|×sin<a，b>；a×b的方向垂直于a和b，且a、b和a×b按次序構(gòu)成右手系，若a、b共線，則a×b=0。

????????（3）向量積的幾何意義：|a×b|是以a和b為平行四邊形的面積。

????????（4）向量積的性質(zhì)：a×a=0。a||b←→a×b=0，a×b=-b×a。（蘭姆達(dá)a）×b=蘭姆達(dá)（a×b）=a（蘭姆達(dá)b）。（a+b）×c=a×c+b×c。

????????????????????????????????????????第四十四章：空間向量

空間向量的概念：

????????在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不變性。

空間向量的運算：

????????與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算如下。

????????向量OB=向量OA+向量AB=向量a+向量b。向量BA=向量OA-向量OB=向量a-向量b。向量OP=蘭姆達(dá)向量a（蘭姆達(dá)∈R）。

????????運算律：（1）加法運算律：向量a+向量b=向量b+向量a。加法結(jié)合律：（向量a+向量b）+向量c=向量a+（向量b+向量c）。數(shù)乘分配律：蘭姆達(dá)（向量a+向量b）=蘭姆達(dá)向量a+蘭姆達(dá)向量b。

????????運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則。

共線向量：

????? ?（1）?如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，向量a平行于向量b，記作向量a∥向量b。

????????（2）共線向量定理：空間任意兩個向量a、向量b（向量b≠0），向量a∥向量b存在實數(shù)蘭姆達(dá)，使向量a=蘭姆達(dá)向量b。

????????（3）三點共線：A、B、C三點共線<=>向量AB=蘭姆達(dá)向量AC<=>向量OC=x向量OA+y向量OB（其中x+y=1）。

????????（4）與向量a共線的單位向量為±向量a/|向量a|

共面向量：

????????（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩個向量都是共面的。

????????（2）共面向量基本定理：如果兩個向量a，向量b不共線，向量p與向量b共面的條件是存在實數(shù)x，y，使向量p=x向量a+y向量b。

????????（3）四點共面：若A、B、C、P四點共面<=>向量AP=x向量AB=y向量AC<=>向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC（其中x+y+z=1）。

????????????????????????????????????第四十五章：排列組合

排列組合的概念：

????????所謂排列，就是從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進行排序，組合則是從給定個數(shù)的元素中僅僅取出指定個數(shù)的元素，不考慮排序。

????????排列組合的中心問題是研究給定的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。

排列的定義及其計算公式：

????????從n個不同元素中，任取m（m≤n，m與n均為自然數(shù)）個元素按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；?從n個不同元素中，任取m（m≤n，m與n均為自然數(shù)）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號A（m，n）表示。A（m，n）=n（n-1）（n-2）……（n-m-1）=n！/（n-m）！，此處規(guī)定0！=1。

組合的定義及其計算公式：

???????從n個不同元素中，任取m（m≤n）各元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合?；從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個元素中取出m個元素的組合數(shù)。用符號C（m，n）表示。C（m，n）=A（n，m）/m??；C（m，n）=C（n，n-m）。（n≥m）

其他排列與組合公式：

????????從n個元素中取出m個元素的循環(huán)排列數(shù)=A（n，m）/m=n！/m（n-m）！，n個元素被分成k類，每類的個數(shù)分別是n1，n2……nk，這n個元素的排列數(shù)為n！/（n1！×n2！×……×nk！）k類元素，每類的個數(shù)無限，從中取出m個元素的組合數(shù)為C（m+k-1，m）。

排列組合的符號：

????????C——組合數(shù)????A——排列數(shù)（在舊教材為P）????N——元素的總個數(shù)????M——參與與選擇的元素個數(shù)????！——階乘

加法計數(shù)原理：

????????做一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N=m1+m2+……=mn種不同的方法。

????????每一類中的每一種方法都可以獨立地完成任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類。要求分類不重不漏。

乘法計數(shù)原理：

???????做一件事，可以有n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N=m1×m2×……×mn種不同的方法。要求分步不重不漏。

????????任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且連續(xù)完成這n?步才能完成此任務(wù)；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的辦法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同。

二項式定理：

????????（a+b）**n=

????????無窮（0-＞n）

? ? ? ? C（in）a**

?????????（n-1）**

????????????b**i

????????通項公式：

????????a（i+1）=

????????=C（in）a

????????**（n-i）b

????????**i

????????二項式系數(shù)：

????????C（in）

楊輝三角：

????????兩端是1，除1外的每個數(shù)是肩上兩數(shù)之和。

????????系數(shù)的性質(zhì)：（1）和首末兩端等距離的系數(shù)相等。

????????????????????????????（2）當(dāng)末指數(shù)是奇數(shù)時，中間兩項最大且相等。

????????????????????????????（3）? 當(dāng)末指數(shù)是奇數(shù)時，中間一項最大。

????????????????????????????（4）奇數(shù)項與偶數(shù)項相同，都是2**（n-1）。

????????????????????????????（5）所有系數(shù)總和是2**n。

組合數(shù)的奇偶：

????????對組合數(shù)C（n，k）（n≥k）：將n，k分別化為二進制，若某二進制位對應(yīng)的n為0，而k為1，則C（n，k）為偶數(shù)，否則為奇數(shù)。

排列、組合、二項式定理口訣：

????????加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關(guān)是組合，要求有序是排列。兩個公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應(yīng)用問題需轉(zhuǎn)化。排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。不重不漏多思考，捆綁插孔是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。關(guān)于二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式，函數(shù)賦值變換式。

????????????????????????????????第四十六章：導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)的概念：

? ? ? ? ? ? ? ? ??

????????

????????