2023新高考Ⅰ卷數學逐題解析（3）

2023-06-15 13:22 作者:CHN_ZCY 0人讀過 | 我要投稿

封面：赤と青

作畫：支倉

https://www.pixiv.net/artworks/74471910

11. 已知函數 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 的定義域為 $%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BR%7D%7D$ ， $f%5Cleft(xy%5Cright)%3Dy%5E2f%5Cleft(x%5Cright)%2Bx%5E2f%5Cleft(y%5Cright)$ ，則

A.? $f%5Cleft(0%5Cright)%3D0$

B.? $f%5Cleft(1%5Cright)%3D0$

C.? $f%5Cleft(x%5Cright)$ 是偶函數

D.? $x%3D0$ 為 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 的極小值點

答案? ABC

解析??本題考察抽象函數，屬于中檔題.

A.? $f%5Cleft(0%5Cright)%3D0%2B0%3D0$ ，A說法正確.

B.? $f%5Cleft(1%5Cright)%20%3D%20f%5Cleft(1%5Cright)%20%2Bf%5Cleft(1%5Cright)%20%3D%202f%5Cleft(1%5Cright)$ ，所以 $f%5Cleft(1%5Cright)%20%3D%200$ ，B說法正確.

C.?對任意 $x%20%5Cneq%200$ ，都有 $f%5Cleft(x%5E2%5Cright)%3D2x%5E2f%5Cleft(x%5Cright)%3D2x%5E2f%5Cleft(-x%5Cright)$ ，即 $f%5Cleft(x%5Cright)%3Df%5Cleft(-x%5Cright)$ .

且 $f%5Cleft(0%5Cright)%3Df%5Cleft(0%5Cright)$ .

所以對任意 $x%20%5Cin%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BR%7D%7D$ ，都有 $f%5Cleft(x%5Cright)%3Df%5Cleft(-x%5Cright)$ . 所以 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 是偶函數，C說法正確.

C說法正確.

D.?取 $f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%0A0%2Cx%3D0%5C%5C%0Aax%5E2%5Cln%7B%5Cvert%20x%20%5Cvert%7D%2Cx%5Cneq0%0A%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.$ ，則 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 符合本題條件，且 $x%3D0$ 不是 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 的極小值點，故D說法不正確.

故選：ABC.

Remark.?D選項中構造函數的依據是，由題目條件可得：

對任意 $x%20%5Cneq%200$ ， $y%20%5Cneq%200$ ，都有 $%5Cfrac%20%7Bf%5Cleft(xy%5Cright)%7D%20%7Bx%5E2y%5E2%7D%3D%5Cfrac%20%7Bf%5Cleft(x%5Cright)%7D%20%7Bx%5E2%7D%20%2B%5Cfrac%20%7Bf%5Cleft(y%5Cright)%7D%20%7By%5E2%7D$ .

實際上，若要使 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 在非零實數范圍上連續(xù)，則符合條件的 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 有且僅有 $f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%0A0%2Cx%3D0%5C%5C%0Aax%5E2%5Cln%7B%5Cvert%20x%20%5Cvert%7D%2Cx%5Cneq0%0A%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.$ .?

12. 下列物體中，能被整體放入棱長為? $1$ （單位： $%5Cmathrm%7Bm%7D$ ）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）

內的有

A.?直徑為 $0.99%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的球體

B.?所有棱長均為 $1.4%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的四面體

C.?底面直徑為 $0.01%5Cmathrm%7Bm%7D$ ，高為 $1.8%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的圓柱體

D.?底面直徑為 $1.2%5Crm%7Bm%7D$ ，高為 $0.01%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的圓柱體

答案??ABD

解析??本題考察空間幾何體的位置關系，屬于難題.

A. 該正方體的內切球直徑為 $1%5Cmathrm%7Bm%7D%3E0.99%5Cmathrm%7Bm%7D$ ，因此直徑為 $0.99%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的球體能被整體放入該正方體容器中.

B. 該正方體的內接正四面體的邊長為 $%5Csqrt%7B2%7D%5Cmathrm%7Bm%7D%3E1.4%5Cmathrm%7Bm%7D$ ，因此所有棱長均為 $1.4%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的四面體能被整體放入該正方體容器中.

C. 該正方體及其內部的任意兩點間最大距離為其體對角線的長度，其為 $%5Csqrt%7B3%7D%5Cmathrm%7Bm%7D%3C1.8%5Cmathrm%7Bm%7D$ ，因此底面直徑為 $0.01%5Cmathrm%7Bm%7D$ ，高為 $1.8%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的圓柱體不能被整體放入該正方體容器中.

D. 記該正方體為正方體 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ ，設 $AB$ ， $BC$ ， $CC_1$ ， $C_1D_1$ ， $D_1A_1$ ， $A_1A$ 的中點分別為 $R_1$ ， $R_2$ ， $R_3$ ， $R_4$ ， $R_5$ ， $R_6$ ，則六邊形 $R_1R_2R_3R_4R_5R_6$ 是邊長為 $%5Cfrac%20%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%7B2%7D%20%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的正六邊形，其內切圓半徑為 $%5Cfrac%20%7B%5Csqrt%7B6%7D%7D%20%7B4%7D%3E0.6%5Cmathrm%7Bm%7D$ .

以該內切圓圓心 $P$ ，在六邊形平面上作一個半徑為 $0.6%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的圓 $P$ .

設 $H$ 為 $A_1B_1$ 的中點，連結 $R_1H$ ， $R_4H$ ，且連結 $R_1R_4$ 交圓 $P$ 于點 $M$ ， $N$ （ $M$ 靠近 $R_1$ ）.

過點 $N$ 作 $NI%20%5Cbot%20R_1R_4$ 交 $R_4H$ 于點 $H$ .

$R_4N%3D%5Cleft(%5Cfrac%20%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%7B2%7D%20-%200.6%5Cright)%5Cmathrm%7Bm%7D$ ， $NH%3D%5Cfrac%20%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%7B2%7DR_4N%3D%5Cleft(%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7D%20-%20%5Cfrac%20%7B3%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%7B10%7D%20%5Cright)%5Cmathrm%7Bm%7D$ .