寫在前面：

本文為我原創(chuàng)，旨在配合《虛數(shù)不虛》的最后一集，幫助大家走進復(fù)變多值函數(shù)。我喜歡將復(fù)雜的概念用通俗的語言講清楚，但是創(chuàng)作不易，如果你覺得我的文章有所幫助，請多多支持！這是我第一次嘗試。如果你發(fā)現(xiàn)本文需要勘誤，請及時留言告知，我感激不盡。

一、什么是多值函數(shù)？

這是我們最熟悉的多值函數(shù)，它是f(z)=z2的逆函數(shù)：

f(z)=±√z

在實數(shù)域里，平方根函數(shù)由兩個單值函數(shù)組合而成，一支為正，一支為負。通常我們選擇正的一支（圖中黑色曲線）來觀察分析，這個過程這就是把多值函數(shù)單值化的過程。在實數(shù)域中，這一切自然而然，一步到位。關(guān)鍵是每一個單值化的函數(shù)在定義域中都是連續(xù)函數(shù)，直接就可以拿來研究。但是，當我們把實數(shù)域拓展到復(fù)數(shù)域，這種劃分方法得到的單值函數(shù)還能保持連續(xù)性嗎？帶著這個問題，我們來探討多值函數(shù)在復(fù)數(shù)域的單值化問題。它與我們將要介紹的黎曼面有密不可分的關(guān)系。

二、映射，研究復(fù)變函數(shù)的鑰匙

現(xiàn)在我們的定義域和值域都是復(fù)數(shù)，我們需要四個變量來描述這個函數(shù)。由于我們生活在三維世界，維度有限。因此要了解函數(shù)的結(jié)構(gòu)，最好的方法是從映射的角度入手，如果你還不熟悉這種方法，你可以閱讀這篇文章。

在上一節(jié)中，我們把每個象限先著色，然后映射到值域。我們得到了兩組對稱的圖像，他們組成了一朵美麗的花瓣。在這朵花瓣中，下半部分由函數(shù)的正支（√z）映射而來，上半部分由函數(shù)的負支（-√z）映射而來。我們仿照實數(shù)域的做法，選擇函數(shù)的正支進行研究。這是一個單值函數(shù)，也就是說定義域上每個點都與這個區(qū)域內(nèi)的每個點一一對應(yīng)。但是，這個單值函數(shù)是否繼承了實數(shù)域連續(xù)的特性呢？

檢驗的方法：路徑！我們在定義域隨便畫一條線（簡稱為路徑），如果這條線在映射后不發(fā)生斷裂，就說明我們的函數(shù)在定義域是連續(xù)的。而這正是我們在上一節(jié)所做的事情。我們先后用黑色、紅色繪制了兩條閉合路徑。有興趣的讀者可以點此參閱上節(jié)內(nèi)容。

可以看到，這兩條都橫跨了兩個分支。因此無論我們選擇哪一支，都會割裂了原本連續(xù)的路徑。這說明我們不能把兩個分支分開看待，這是復(fù)數(shù)域與實數(shù)域的最大不同。我們需要另辟蹊徑，尤其是從紅色路徑找尋啟示。

三、深入研究紅色路徑

我在上節(jié)給讀者留了一個問題，為什么紅色路徑在映射后只形成了一個閉合回路？

用心的讀者可以發(fā)現(xiàn)，這兩條路徑最大的區(qū)別在于紅色路徑有繞原點選轉(zhuǎn)一周。映射后的兩條紅色路徑各跨越了原來的分支，畫出了一個大大的閉合回路。通過探究其路徑的映射過程，對于揭示函數(shù)的結(jié)構(gòu)是一個很好的切入點。

與上一次不同，這次我們選擇了一條繞原點旋轉(zhuǎn)兩圈的路徑。作為改進，我將路徑繪制的過程用動畫分步展示，方便大家直觀感受映射后的路徑是如何一步步繪制出來的。

映射后的兩條路徑，如同兩位配合默契的“舞者”，在兩個分支間來回穿梭。要理解其中的規(guī)律，最好的方法是先選擇其中一位觀察。大家數(shù)數(shù)看，看看她究竟繞了幾圈？

顯然，這位舞者在值域旋轉(zhuǎn)一圈，需要在定義域轉(zhuǎn)兩圈。這是因為在平方根運算下，每個復(fù)數(shù)的幅角變?yōu)樵瓉淼囊话?，我們的舞者的轉(zhuǎn)角也隨之減半。但是如果我們把定義域和值域結(jié)合起來，這個性質(zhì)隱藏著一個不可思議的問題：

是什么結(jié)構(gòu)可以讓這位舞者旋轉(zhuǎn)兩圈后回到起點？

繞兩圈才能返回起點！這是這個函數(shù)最重要的性質(zhì)！

四、四維旋梯

在讀者嘗試在想象這個函數(shù)的形狀前，我們不妨從一個簡單點的情況入手：既然“舞者”旋轉(zhuǎn)了一圈并沒有返回起點，那么她會落在何處？

我們很容易用樓梯作為類比：

在上圖中，我們的定義域是地面。這個結(jié)構(gòu)可以很好解釋為何舞者繞一圈后沒有返回起點：僅僅是因為她在旋轉(zhuǎn)的同時向上運動。我們在地面看到是她的投影！

我們從中得到啟發(fā)，如果舞者再繞一圈后就會從“二樓”回到“一樓”，這個樓梯應(yīng)該怎么構(gòu)造？無論怎么嘗試，我們的上坡面都會與下坡面相交。這是一個只能在四維空間實現(xiàn)的結(jié)構(gòu)。

五、拼接平面

要理解這個四維旋梯，借助多值函數(shù)單值化，單值函數(shù)連續(xù)化的方法。我們先在值域作圖，把值域的每一個分支反向映射回定義域。

還記得f(z)=±√z的逆變換：f(z)=z2嗎？

正支和負支不斷合攏變大，恢復(fù)了我們熟悉的直角坐標平面。

我們通過逆映射得到了兩個平面。

因此值域的每一支都是由一張完整的平面映射而來。

接下來我們從頭到尾繞著這條路徑走一圈?？纯次覀兊穆窂绞侨绾卧谶@兩個平面間穿梭的。

注意觀察路徑跳躍的地方，在負實軸方向（兩個平面的第二象限和第三象限交界處），路徑從一個平面跳躍到另一個平面上，然后在另一個平面的負實軸方向跳躍回來。這揭示了兩個平面間不是孤立存在，而是連成一體。我們可以像下圖那樣，親自動手操作，把兩個平面“縫合”一體。這不正是我們要構(gòu)造“轉(zhuǎn)兩圈就回到原點”的四維旋梯嗎。

我們再來看看這個四維曲面，相信你已經(jīng)對此有了更深入的了解。這個類似于旋梯的結(jié)構(gòu)由兩個平面在四維粘接而成，她有一個大家都熟悉的名字：

黎曼面（Rieman Surface）

參考資料：

1.《虛數(shù)不虛》線下輔導(dǎo)教材

2.《復(fù)平方根函數(shù)》?(Marianne Freiberger)

https://plus.maths.org/content/maths-minute-choosing-square-roots

3.知乎用戶XXLU的回答：《如何理解多值函數(shù)和黎曼面的關(guān)系？》

https://www.zhihu.com/question/521800745

4.知乎用戶三川啦啦啦的專欄：《從復(fù)數(shù)乘法到代數(shù)基本定理——拓撲角度看復(fù)變》

https://zhuanlan.zhihu.com/p/468856548

后記：

寫到此處，想起了一句很深刻的話：

置身于四維空間中的人們看到的空間也是均勻和空無一物的，但有一種難以言表的縱深感，這種縱深不能用距離來描述，它包含在空間的每一個點中。

——劉慈欣《三體·死神永生》

????希望讀罷此文，你也能感受到！