A-3-6波動(dòng)(1/2)

2023-09-05 19:39 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

3.6.1 多普勒效應(yīng)

一維情形

我們先考慮波源和接收者速度共線的情形，以簡(jiǎn)諧波為例，以向右為正方向，考慮右行波，對(duì)應(yīng)的波動(dòng)方程

$y%3DA%5Ccos(%5Comega%20t-kx)$

其中 $%5Comega%3D%5Cdfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D$ 為圓頻率 $%EF%BC%8Ck%3D%5Cdfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Clambda%7D$ 為波矢。則波速

$u%3D%5Cdfrac%7B%5Comega%7D%7Bk%7D$

當(dāng)波源在以向右的速度 $v_s$ 運(yùn)動(dòng)時(shí)，以波源為參考系，波的頻率 $%5Comega$ 不變，波速

$u'%3Du-v_s$

則任一點(diǎn)波動(dòng)方程

$y'%3DA%5Ccos(%5Comega%20t-%5Cdfrac%7B%5Comega%7D%7Bu-v_s%7Dx')$

在原參考系中

$y'%3DA%5Ccos%5B%5Comega%20t-%5Cdfrac%7B%5Comega%7D%7Bu-v_s%7D(x-v_st)%2B%5Cvarphi%5D$

即

$y'%3DA%5Ccos%5B%5Cdfrac%7Bu%7D%7Bu-v_s%7D%20%5Comega%20t-%5Cdfrac%7B%5Comega%7D%7Bu-v_s%7Dx%5D$

此時(shí)頻率

$f%3D%5Cdfrac%7Bu%7D%7Bu-v_s%7D%20%5Cdfrac%7B%5Comega%20%7D%7B2%5Cpi%7D%3D%5Cdfrac%7Bu%7D%7Bu-v_s%7D%20f_0$

波長(zhǎng)

$%5Clambda%3D%5Cdfrac%7B2%5Cpi(u-v_s)%7D%7B%5Comega%7D%3D%5Cdfrac%7Bu-v_s%7D%7Bf_0%7D$

假設(shè)波的接收者以v的速度向右運(yùn)動(dòng)，則此時(shí)接受者的波動(dòng)方程

$y''%3DA%5Ccos%5B%5Cdfrac%7Bu%7D%7Bu-v_s%7D%20%5Comega%20t-%5Cdfrac%7B%5Comega%7D%7Bu-v_s%7D(x%2Bvt)%5D$

即

$y''%3DA%5Ccos(%5Cdfrac%7Bu-v%7D%7Bu-v_s%7D%20%5Comega%20t-%5Cdfrac%7B%5Comega%7D%7Bu-v_s%7Dx)$

可見此時(shí)接收到的波的頻率

$%5Comega'%3D%5Cdfrac%7Bu-v%7D%7Bu-v_s%7D%20%5Comega$

代入

$%5Comega%3D2%5Cpi%20f$

得

$f'%3D%5Cdfrac%7Bu-v%7D%7Bu-v_s%7Df_0$

此即波的多普勒效應(yīng)，接收到的波的頻率與介質(zhì)中波速、波源速度以及接收者的速度有關(guān)。

例1.一頻率為1000Hz的聲源以10m/s的速度運(yùn)動(dòng)，若有速度為5m/s的風(fēng)朝聲源移動(dòng)的方向吹，已知聲速為C=340m/s.試求：（1）聲源前的波長(zhǎng)；（2）當(dāng)聲源離開一靜止的觀測(cè)者時(shí)，觀測(cè)者得到的頻率。

解析：（1）由于風(fēng)在運(yùn)動(dòng)，此時(shí)波速

$C'%3DC%2Bv_%E9%A3%8E%3D345m%2Fs$
波長(zhǎng)

$%5Clambda%3D%5Cdfrac%7BC'-v_s%7D%7Bf_0%7D%3D%5Cdfrac%7B345-10%7D%7B1000%7Dm%3D0.335m$
（2）以風(fēng)為參考系，對(duì)右行波，此時(shí)聲源速度

$v_s%3D-5m%2Fs$
觀測(cè)者速度

$v%3D5m%2Fs$
故頻率

$f'%3D%5Cdfrac%7BC-v%7D%7BC-v_s%7D%3D971.0%5Cmathrm%7BHz%7D$
該頻率不會(huì)隨慣性參考系的變化而變化。

二維情景

當(dāng)波源和接收者速度不共線時(shí)，我們只需要考慮二者沿著波傳播方向的分速度即可，此時(shí)接收到的頻率

$f'%3D%5Cdfrac%7Bu-v_%7B%2F%2F%7D%7D%7Bu-v_%7Bs%2F%2F%7D%7Df$

需要注意的是，波的傳播方向并不是二者剛開始的連線方向。而且，隨著運(yùn)動(dòng)，波傳播的方向發(fā)生變化，對(duì)應(yīng)頻率也會(huì)發(fā)生變化。

例2.兩輛汽車A與B，在t=0時(shí)從十字路口O處分別以速度 $v_A$ 和 $v_B$ 沿水平的、相互正交的公路勻速前進(jìn)，如圖所示設(shè)汽車A持續(xù)地以固定的頻率 $%5Cnu_0$ 鳴笛，求在任意時(shí)刻t汽車B的司機(jī)所檢測(cè)到的笛聲頻率。已知空氣中聲速為u，且當(dāng)然有 $u%3Ev_A%EF%BC%8Cv_B$ .

解析：在某時(shí)刻t，聲波從A傳到B的方向如圖。令聲音從A傳到B的時(shí)間為kt，

則

$(v_At)%5E2%2B%5B(1%2Bk)tv_B%5D%5E2%3D(ktu)%5E2$
即

$v_A%5E2%2B%5B(1%2Bk)v_B%5D%5E2%3D(ku)%5E2$
且

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Csin%5Calpha%3D%5Cdfrac%7Bv_A%7D%7Bku%7D%5C%5C%20%5Ccos%5Calpha%3D%5Cdfrac%7B(1%2Bk)v_B%7D%7Bku%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$
檢測(cè)到的頻率

$%5Cnu'%3D%5Cdfrac%7Bu-v_B%5Ccos%5Calpha%7D%7Bu%2Bv_A%5Csin%5Calpha%7D%5Cnu_0$
代入得

$%5Cnu'%3D%5Cdfrac%7Bku%5E2-(1%2Bk)v_B%5E2%7D%7Bku%5E2%2Bv_A%5E2%7D%5Cnu_0%3D%5Cdfrac%7Bv_A%5E2%2B(1%2Bk)v_B%5E2%7D%7B(1%2Bk)v_A%5E2%2B(1%2Bk)%5E2v_B%5E2%7D%5Cnu_0%20%3D%5Cdfrac%7B%5Cnu_0%7D%7B1%2Bk%7D$
由于

$(u%5E2-v_B%5E2)k%5E2-2v_B%5E2k-(v_A%5E2%2Bv_B%5E2)%3D0$
解得

$k%3D%5Cdfrac%7Bv_B%5E2%2B%5Csqrt%7Bu%5E2(v_A%5E2%2Bv_B%5E2)-v_A%5E2v_B%5E2%7D%7D%7Bu%5E2-v_B%5E2%7D$
故

$%5Cnu'%3D%5Cdfrac%7Bu%5E2-v_B%5E2%7D%7Bu%5E2%2B%5Csqrt%7Bu%5E2(v_A%5E2%2Bv_B%5E2)-v_A%5E2v_B%5E2%7D%7D%5Cnu_0$

3.6.2 干涉

由于波動(dòng)方程是線性方程，其解滿足疊加原理。即兩個(gè)波源整體產(chǎn)生的波等于兩個(gè)波源分別產(chǎn)生波的疊加，后面我們都可以直接使用這一疊加原理。

我們研究2個(gè)靜止的波源，波沿著波源連線傳播。當(dāng)2個(gè)波源頻率相同，振動(dòng)方向相同。 $%5Cvarphi_1%E3%80%81%5Cvarphi_2$ 分別為兩波源的初相位， $x_1%E3%80%81x_2$ 分別為兩波源到某點(diǎn)的距離，兩波源分別產(chǎn)生的波形為

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20y_1%3DA_1%5Ccos(%5Comega%20t-kx_1%2B%5Cvarphi_1)%5C%5C%20y_2%3DA_2%5Ccos(%5Comega%20t-kx_2%2B%5Cvarphi_2)%20%5Cend%7Bcases%7D$

那么在該位置的疊加波形

$y%3Dy_1%2By_2%3DA%5Ccos(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)$

其中參數(shù)由和角公式及輔助角公式可得：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20A%3D%5Csqrt%7BA_1%5E2%2BA_2%5E2%2B2A_1A_2%5Ccos%5Bk(x_1-x_2)-(%5Cvarphi_1-%5Cvarphi_2)%5D%7D%5C%5C%20%5Ctan%5Cvarphi%3D%5Cdfrac%7BA_1%5Csin(%5Cvarphi_1-kx_1)%2BA_2%5Csin(%5Cvarphi_2-kx_2)%7D%20%7BA_1%5Ccos(%5Cvarphi_1-kx_1)%2BA_2%5Ccos(%5Cvarphi_2-kx_2)%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$

對(duì)于任一個(gè)固定的位置，其振幅A一定，為穩(wěn)定的振動(dòng)。該現(xiàn)象稱為干涉現(xiàn)象。振幅最大時(shí)

$k(x_1-x_2)-(%5Cvarphi_1-%5Cvarphi_2)%3D2n%5Cpi%2Cn%5Cin%20Z$

對(duì)應(yīng)

$x_1-x_2%3D%5B%5Cdfrac%7B%5Cvarphi_1-%5Cvarphi_2%7D%7B2%5Cpi%7D%2Bn%5D%5Clambda$

位置為振動(dòng)最強(qiáng)的區(qū)域，同理

$x_1-x_2%3D%5B%5Cdfrac%7B%5Cvarphi_1-%5Cvarphi_2%7D%7B2%5Cpi%7D%2Bn-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5D%5Clambda$

為振動(dòng)最弱的區(qū)域。當(dāng)兩波源初相位相同時(shí)，上述結(jié)果更加簡(jiǎn)潔。

例3. $S_1$ 、 $S_2$ 是兩相干波源，相位相反，相距l(xiāng)=30m，頻率 $%5Cnu%3D100Hz$ ，波速v=400m/s，在 $S_1$ 、 $S_2$ 連線上兩波振幅相同，不隨距離變化. 求 $S_1$ 、 $S_2$ 連線上因干涉而靜止的點(diǎn)到 $S_1$ 的距離x.

解：波長(zhǎng)

$%5Clambda%3D%5Cdfrac%7Bv%7D%7B%5Cnu%7D%3D4m$
由干涉減弱條件

$%7Cx-(l-x)%7C%3D(2k-1)%5Cdfrac%7B%5Clambda%7D%7B2%7D$
其中k為正整數(shù)，解得

$x%3D(2k-1)m%2C1%5Cle%20k%5Cle%2015$

3.6.3 駐波

有兩列頻率相同，方向相反的波，方程分別為

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20y_1%3DA%5Ccos(%5Comega%20t%2Bkx)%5C%5C%20y_2%3DA%5Ccos(%5Comega%20t-kx)%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D$

疊加后形成的波為

$y%3D2A%5Ccos%20kx%5Ccos%5Comega%20t$

該疊加波中位置x和時(shí)間t互相分離，不再具有行波的性質(zhì)，波形不再進(jìn)行傳播。某一確定位置處的振幅 $2A%5Ccos%20kx$ 不發(fā)生變化。振幅最大的位置我們稱為波腹，振幅最小的位置我們稱為波節(jié)。

當(dāng)波在傳播過程中遇到界面反射時(shí)，反射波的頻率和振幅不變，傳播方向相反，剛好可以和入射波疊加形成駐波。需要注意的是，反射波的相位與邊界條件有關(guān)。

當(dāng)反射界面介質(zhì)固定時(shí)，該處對(duì)應(yīng)波節(jié)，反射波和入射波在反射界面疊加后振幅為0，由干涉結(jié)果可知，二者相位相差半個(gè)周期，稱反射波存在“半波損失”。

以橫波而言，比如一端固定的繩子，弦樂器的弦。以縱波而言，比如一端封口的試管。此時(shí)都存在半波損失。

另外，如果反射界面介質(zhì)自由，則不存在半波損失。半波損失的存在是能量守恒的必然結(jié)果，具體的我們以后再作討論。

例4.如圖所示，拉直的繩子左端固定于墻上，簡(jiǎn)諧繩波自x軸正方向的遠(yuǎn)處沿x軸負(fù)方向入射而來(lái)入射波在坐標(biāo)原點(diǎn)O的振動(dòng)為，O點(diǎn)與墻相距 $%20%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%5Clambda$ ，其中 $%5Clambda$ 為入射波的波長(zhǎng).入射波遇繩固定于墻的端點(diǎn)將發(fā)生反射，反射波的振幅仍為A，角頻率仍為 $%5Comega$ ，波長(zhǎng)仍為 $%5Clambda$ ，但相位有 $%5Cpi$ 突變，使繩的固定端合振動(dòng)為零。反射波與入射波在繩中將疊加成駐波，試導(dǎo)出駐波方程，即用x、t表示 $%5Cxi$ .

解：O為坐標(biāo)原點(diǎn)，入射波為左行波，波動(dòng)方程

$%5Cxi_1%3DA%5Ccos(%5Comega%20t%2Bkx)$
反射波

$%5Cxi_2%3DA%5Ccos(%5Comega%20t-kx%2B%5Cvarphi)$
考慮半波損失，

$-k(%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%5Clambda)%2B%5Cvarphi%20%3Dk(%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%5Clambda)%2B%5Cpi$
得

$%5Cvarphi%3D6%5Cpi$
如果不利用半波損失的結(jié)論，由反射點(diǎn)為波節(jié)，振幅為0，可得到相同的結(jié)論.

兩列波疊加之后為

$%5Cxi%3D2A%5Ccos(kx-%5Cdfrac%7B%5Cvarphi%7D%7B2%7D)%5Ccos(%5Comega%20t%2B%5Cdfrac%7B%5Cvarphi%7D%7B2%7D)$
由于在端點(diǎn) $x%3D-%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%5Clambda$ 處為波節(jié)，振幅為零。代入 $k%3D%5Cdfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Clambda%7D$ 恒有

$%5Ccos%5B%5Cdfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Clambda%7D(-%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%5Clambda)%20-%5Cdfrac%7B%5Cvarphi%7D%7B2%7D%5D%3D0$
解得

$%5Cvarphi%3D0$
故駐波方程

$%5Cxi%3D2A%5Ccos(%5Cdfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Clambda%7Dx)%5Ccos(%5Comega%20t)$

例5.有一口豎直井，井底有水，它可與f≥7Hz的某些頻率發(fā)生共鳴．若聲波在該井里的空氣中的傳播速度為347.2m/s，求這口井的最低深度 $h_%7Bmin%7D$ .

解：共鳴的時(shí)候，形成了駐波。

此時(shí)井深h與波長(zhǎng) $%5Clambda$ 的關(guān)系為

$h%3D%5Cdfrac%7B2n%2B1%7D%7B4%7D%5Clambda$
而

$%5Clambda%3D%5Cdfrac%7Bv%7D%7Bf%7D%3D%5Cdfrac%7B347.2%7D%7B7%7Dm%3D49.6m$
故井的最低深度

$h_%7Bmin%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Clambda%7D%7B4%7D%3D12.4m$