(錄制的視頻在：

1） https://www.bilibili.com/video/BV1aL411S7ez/

2）https://www.bilibili.com/video/BV1TV4y1Q7yw/ )

MIMO 檢測中， maximum likelihood (ML)? 是最優(yōu)的檢測，其數(shù)學表達式為：

?表示星座圖的集合.? Y 是接收到的數(shù)據(jù).



而 zero forcing (ZF) 是基于下面這個思想：

公式 (2) 與公式 (1) 的區(qū)別在于對? X? 的限制，公式 (1) 中的 X 要在調(diào)制的 constellation 星座圖的點中選擇，而公式 (2) 沒有這個限制，可以自由選擇，顯然公式 (2) 的解會偏離公式 (1) 的解。



公式 (2) 的解，再用 maximum likelihood 方式進行解調(diào)：

由公式 (2) 得到的最優(yōu)解為(當 H 是方陣且可逆)：

將 (4) 代入 (3) 有：

這里假定 H 是方陣且可逆的，則 H 的逆矩陣也可以做 SVD 分解：

則公式 5 中的：

我們把? 看成一個向量，則矩陣? U 因為是單位正交矩陣，所以，是一個剛性旋轉(zhuǎn)，不改變被作用的向量的長度，因此 公式 (7) 可以繼續(xù)推導為：

公式 (8) 中，我們把? Y- HX? 看成一個向量，記為 Z，則?? 是對這個向量 Z 做旋轉(zhuǎn)，不改變向量長度，旋轉(zhuǎn)后的向量記為 ， 則? 矩陣，是對向量各個分量進行縮放：

情況一： 所有特征值都相等

當? 時，公式 (8) 可以寫成：

因為? 是單位正交的矩陣，因此，是一個剛性旋轉(zhuǎn)，不改變后面向量的長度，因此公式 (9) 可以寫成：

這種情況下， Zero Forcing 算法就與 Maximum Likelihood 算法的性能一致。



情況二：噪聲非常小，趨近于 0

那么公式 (8) 中，一定能找到一個 X 向量，使得? Y - HX 為 0 向量，因為是 0 向量，所以，這個就是最小值，不可能找到另外一個向量 X' ，使得? (8) 的結(jié)果比 0 小。所以，在噪聲為 0 的情況下，Zero Forcing 算法就與 Maximum Likelihood 算法的性能一致。



情況三：特征值不全都相等，也含有噪聲



則公式 (8) 可以寫成：


公式 （11） 中第一個等號那里，相當于對向量? Y-HX 先做旋轉(zhuǎn)，然后再在各個維度上做縮放，例如都是都是逆時針旋轉(zhuǎn)一個固定角度，兩個維度分別是放大三倍和縮小一倍（以二維向量為例子，方便畫圖理解），則不同的向量，即使長度相同，但是角度不同，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和縮放后，長度將會不同.



下圖藍色是初始向量，旋轉(zhuǎn)? 后變成綠色向量，然后經(jīng)過 X 軸放大 三倍， Y 軸縮小 1/2 ，變成右邊紫色向量。

用相同的旋轉(zhuǎn)和縮放，對下圖藍色初始向量進行操作，得到右邊紫色向量。

從上面兩個實例可以看出，旋轉(zhuǎn)縮放前，第一個圖的原始向量要比第二個圖的原始向量要短，但是做了同樣的旋轉(zhuǎn)縮放后，第一個圖的結(jié)果向量反而比第二個圖的結(jié)果向量要長，可見，旋轉(zhuǎn)縮放后，會改變向量長度的大小關(guān)系，進而影響 Zero Forcing 算法達不到 Maximum Likelihood 算法的效果，即可能找到的不是最優(yōu)解。



現(xiàn)在我們來對比一下公式 (1) 和公式 (5) 中的第二行，為了討論方便，我都列在這里：

這兩個公式看起來很像，都是在 X 的所有可能取值中進行遍歷，找對應向量長度的最小值，但是，從幾何意義上，這兩者有本質(zhì)性的區(qū)別，我們接下來分析一下，并且能看出來? Zero Forcing 算法為什么比 Maximum Likelihood 算法的性能要差了。

我們以 H 矩陣是方陣且可逆的， H 做 SVD 分解為：

其中 U ,V 都是單位正交矩陣，在幾何上就是對向量做旋轉(zhuǎn)，而? 是對角矩陣，對角線上的元素是其特征值。



公式 (12) 的含義是，發(fā)送的某個特定數(shù)據(jù)，經(jīng)過 H 矩陣作用，然后加高斯噪聲，得到的結(jié)果是 Y，然后遍歷所有 X 的可能取值，對每個取值同樣做 H 矩陣的作用，然后與收到的 Y 比較，最近的那個就是最佳估計。



公式 (13) 的含義，是收到的數(shù)據(jù) Y? (發(fā)送的某個特定數(shù)據(jù)，經(jīng)過 H 矩陣作用，然后加高斯噪聲，得到的結(jié)果是 Y,? Y = HX + W) 通過 H 的反作用回到發(fā)送時的情況，然后再與 X 的各種取值進行比較。那么這個反作用的時候，是把噪聲 W 也反作用了。本來噪聲在各個天線上（體現(xiàn)在空間中的各個維度上），是同性分布的，即相同的概率分布，但是經(jīng)過 H 的反作用后，噪聲就會有的被放大，有的被縮小，導致各個維度上的概率分布是不同的。



我們以 2x2 MIMO 為例子，用 BPSK 調(diào)制，那么每根天線上發(fā)送的要么是 +1, 要么是 -1，則兩根天線上發(fā)的數(shù)據(jù)就有四種組合，我們把在某個時刻兩個天線上發(fā)送的數(shù)據(jù)看成一個向量，則這個向量是二維的，那么我們就可以在二維空間上來理解.



那么，我們發(fā)送的向量，在二維空間中，只有四個向量，分別在四個象限的中間點上，以 橫坐標為第一個維度，縱坐標為第二個維度，則四個向量在二維空間中的坐標分別為 [+1,+1],? [-1,+1], [-1, -1], [+1, -1]. 如下圖所示，以先旋轉(zhuǎn)一個角度，再橫坐標放大為原來的 3 倍，縱坐標縮小為原來的 1/2， 然后再做已給旋轉(zhuǎn)。我們來看公式 (12)? 和 (13) 對應的效果。

旋轉(zhuǎn)拉伸之后的

原始噪聲的分布

反變換之后的噪聲分布

下圖是仿真結(jié)果，用 4x4 的 MIMO.