周?chē)泻芏嗤瑢W(xué)有這樣的疑惑，就是如果一個(gè)線(xiàn)性微分方程的階數(shù)特別高，有很多的實(shí)根和虛根，還涉及重根、單根的問(wèn)題，就糊涂了，不知道通解長(zhǎng)什么樣。我簡(jiǎn)單翻了一下同濟(jì)版的高等數(shù)學(xué)教材，上面似乎只講了二階線(xiàn)性微分方程的通解的內(nèi)容，所以這里我對(duì)任意n階線(xiàn)性微分方程的通解形式進(jìn)行一下補(bǔ)充。由于我也是學(xué)生，有問(wèn)題請(qǐng)指正哈。

先引入問(wèn)題，這是一個(gè)八階齊次線(xiàn)性微分方程的特征根方程，那么通解長(zhǎng)什么樣？

其實(shí)，不管多少階，我們按照以下方法來(lái)分析：

1、n階特征根方程一定有 n 個(gè)根，求出這 n 個(gè)根。

2、將所有不重復(fù)的所有實(shí)根放在一塊，這些實(shí)根組成了通解的一部分，它們是：

3、接下來(lái)討論重復(fù)的實(shí)根。對(duì)于任何一個(gè)實(shí)根 r ，如果它的重?cái)?shù)是 m，那么其構(gòu)成通解的那一部分是：

4、最后討論虛根，要記?。禾摳豢梢詥为?dú)討論，因?yàn)槿绻粋€(gè)方程有虛根 a + bi，那么它一定也有共軛虛根 a - bi，它們是一對(duì)的。所以，對(duì)于任何一對(duì)虛根 a ± bi，如果它們的重?cái)?shù)是 m，那么其構(gòu)成的通解的那一部分是：

將這些通解的部分都加起來(lái)，就得到了整個(gè)通解。

讓我們回到問(wèn)題，在這個(gè)問(wèn)題中，r 有 8 個(gè)根，顯然它有兩個(gè)實(shí)根 √2 和 -√2，此外，它有六個(gè)虛根，三個(gè)i，三個(gè)-i。

兩個(gè)實(shí)根組成的通解部分是：

有六個(gè)虛根，三個(gè)i，三個(gè)-i，也就是有一對(duì)虛根 ±i，重?cái)?shù)為3，所以組成的通解部分為：

因此，本題的答案是：

非齊次線(xiàn)性微分方程不過(guò)就是在齊次線(xiàn)性微分方程通解的基礎(chǔ)上加上特解，這個(gè)同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)上面有求法，也就是分為 p(x)expαx 和 [p(x)cosβx + q(x)sinβx]expαx兩種情況，這個(gè)如果不會(huì)，請(qǐng)看書(shū)。

值得一提的是，如果方程右側(cè)部分不是一個(gè)f(x)的方程，而是多個(gè)關(guān)于x的方程，例如：

顯然，等式右側(cè)是 f(x) = x^2 和 g(x) = sin2x 組成的，這個(gè)時(shí)候只要分別求?y(2) + y(1) + y?= f(x) 和?y(2) + y(1) + y?=?g(x) 的特解，然后將這兩個(gè)特解相加，就是整個(gè)方程的特解了。加上對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性微分方程的通解，就是本題的通解。這個(gè)原因很簡(jiǎn)單，請(qǐng)自己去想。