設(shè)V是向量空間，F(xiàn)=【x1,x2,…xn】?V? 若對任意的 x∈V，都存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3…λn?。使得x=∑λixi，i=1…n。則稱F可以線性表示V，滿足這樣條件的F的最少個(gè)數(shù)稱為向量空間V的維數(shù)。我們用dimV表示向量空間V的維數(shù)。如果這樣的F不存在，則稱向量空間V是無限維向量空間。

實(shí)數(shù)域R上的向量空間V是指給定集合V及V的一個(gè)二元運(yùn)算加法+及R×V到V的運(yùn)算數(shù)乘·。滿足以下性質(zhì)

性質(zhì)1 （V，+）構(gòu)成一個(gè)Abel群，即對任意的a，b，c∈V，下面的性質(zhì)成立。

i 結(jié)合律? (a+b)+c=a+(b+c)

ii 0元的存在性; 存在元素0∈V 滿足對任意的a∈V，a+0=0+a=a；

iii? 負(fù)元存在性? 對任意的a∈V ，存在負(fù)元－a 使得a+(－a)=(－a)+a=0；

iv? ?交換律；? a+b=b+a

性質(zhì)2? 數(shù)乘·滿足如下性質(zhì)；

v? 對任意的a∈V，1·a=a；

vi 對任意的s，t∈R和任意的a∈V，s·(t·a)=(s·t)·a

性質(zhì)3

vii? 對任意的a，b∈V，對任意的s∈R，s·(a+b)=s·a+s·b

viii? 對任意的s，t?∈R，對任意的a∈V，(s+t)·a=s·a+t·a

設(shè)V是向量空間，L?V，若(L，+，·）也是向量空間（即L對+和·封閉），則稱L是V的向量子空間，記作L?V。

有關(guān)Abel群可詳細(xì)參考抽象代數(shù)