美國17歲高中生證明數(shù)學(xué)界27年未解難題 已被麻省理工大學(xué)錄取

https://news.creaders.net/us/2022/10/16/2536694.html

? ? ? ?只因在電視上多看了一眼數(shù)學(xué)家張益唐的紀(jì)錄片，美國中學(xué)生開始沉迷數(shù)論，還獨(dú)立發(fā)表了一篇“博士級別”數(shù)學(xué)論文。解決的數(shù)學(xué)問題，還是曾難住3位正經(jīng)數(shù)學(xué)家整整27年的那種。

　? 當(dāng)這3位數(shù)學(xué)家中的卡爾·波梅蘭斯（Carl Pomerance）本人，看到這篇出自17歲少年之手的論文時(shí)，也不禁感慨：這是一篇會讓任何一位數(shù)學(xué)家都為之自豪的論文。

At 17 years old, Daniel Larsen built upon the work of leading number theorists to prove a statement about where phony primes appear on the number line. @jordanacep reports: https://t.co/OT3z6KPxzQ

— Quanta Magazine (@QuantaMagazine) October 13, 2022

　　少年名叫丹尼爾·拉森（Daniel Larsen）。就在今年，他這篇有關(guān)卡邁克爾數(shù)的論文，已經(jīng)正式發(fā)表在《國際數(shù)學(xué)研究通告》上，還為他贏得了10萬美元（約合人民幣72萬元）獎學(xué)金。他本人也告別高中生活，成為了麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)的大一新生。

? ? ? 事實(shí)上，丹尼爾本人在家鄉(xiāng)早已是小有名氣的“神童”：一家子都是數(shù)學(xué)家，他本人13歲就在《紐約時(shí)報(bào)》上發(fā)表過填字游戲，是這個(gè)項(xiàng)目史上最年輕作者?？瓷先ヒ宦讽橈L(fēng)順?biāo)谂c外界交流時(shí)，他卻說，自己做啥都“像是在掙扎”。還自曝：喜歡走捷徑

? ? ? ?因張益唐“入坑”數(shù)論，屢挫屢戰(zhàn)。正如開頭所說，丹尼爾和數(shù)論的緣分，始于一部有關(guān)張益唐的紀(jì)錄片。

　　張益唐是傳奇美籍華裔數(shù)學(xué)家，因“孿生素?cái)?shù)猜想”一舉成名。但在功成名就之前，張益唐的經(jīng)歷可謂半生潦倒：博士畢業(yè)后因未拿到導(dǎo)師推薦信，學(xué)術(shù)道路坎坷，甚至不得不靠快餐店收銀員等工作糊口。但即便如此，張益唐也并未放棄對數(shù)論的鉆研，直到58歲終于大器晚成。

? ? ? ?一開始，他同樣把目光瞄向了“孿生素?cái)?shù)猜想”：張益唐的成果首次證明了存在無窮多對間隔有限的質(zhì)數(shù)，但他證明的間隔是7000萬，這個(gè)數(shù)字仍可以進(jìn)一步縮小。

　　陶哲軒和今年的新晉菲爾茲獎得主詹姆斯·梅納德，就都做過這方面的工作。

　　雖然只是一名中學(xué)生，丹尼爾還是試圖通過閱讀張益唐、陶哲軒和梅納德在這一問題上發(fā)表的論文，搞清楚背后的數(shù)學(xué)原理。但最終他不得不承認(rèn)：這對我來說幾乎是不可能的。他們的論文太復(fù)雜了。

　　盡管如此，丹尼爾并沒有被當(dāng)場勸退。相反，他一頭扎進(jìn)了數(shù)論論文的海洋，堅(jiān)持尋找能激發(fā)他靈感的那一個(gè)“巨人的肩膀”。終于在2021年2月，17歲的丹尼爾·拉森和卡邁克爾數(shù)邂逅了。

　　300小時(shí)攻克數(shù)論難題

　　卡邁克爾數(shù)的定義是：一個(gè)正合數(shù)n，對于所有跟n互質(zhì)的整數(shù)b，如果b^n-b都是n的倍數(shù)，那么n就是一個(gè)卡邁克爾數(shù)。

　　根據(jù)費(fèi)馬小定理，所有質(zhì)數(shù)都具備這種特質(zhì)，因此卡邁克爾數(shù)又被稱為“偽質(zhì)數(shù)”。

　　在1899年，數(shù)學(xué)家Alwin Korselt還提出了一種卡邁克爾數(shù)的等效定義，當(dāng)正合數(shù)n滿足以下三個(gè)性質(zhì)時(shí)：（1）必須包含不止一個(gè)質(zhì)因數(shù)；（2）質(zhì)因數(shù)均不重復(fù)；（3）對于每一個(gè)能整除n的質(zhì)數(shù)p，p-1也可以整除n-1。那么它就是一個(gè)卡邁克爾數(shù)。

　　舉個(gè)例子，最小的卡邁克爾數(shù)是561，561=3×11×17，而2、10和16均能整除560，所以561是一個(gè)卡邁克爾數(shù)。

　　1994年，雷德·阿爾福德（Red Alford）、安德魯·格蘭維爾（Andrew Granville），以及前文提到的卡爾·波梅蘭斯三位數(shù)學(xué)家，在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文，證明了卡邁克爾數(shù)有無窮多個(gè)。

　　三位數(shù)學(xué)家認(rèn)為，這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為這樣一種證明：給定一個(gè)足夠大的數(shù)字X，在X和2X之間一定存在一個(gè)卡邁克爾數(shù)。

　　遺憾的是，從1994年到2021年的27年之間，并沒有人完成這個(gè)證明。

　　難度可想而知。因此當(dāng)?shù)つ釥柕陌职帧〉诎布{大學(xué)路明頓分校數(shù)學(xué)教授邁克爾·拉森（Michael Larsen）得知兒子想要攻克這個(gè)問題時(shí)，他的第一反應(yīng)是“這可能會變成一段負(fù)面經(jīng)歷”。但丹尼爾的反應(yīng)卻是：你的意思是我仍有10%的機(jī)會！于是，他堅(jiān)定地投身其中。并且在約300個(gè)小時(shí)（12.5天）的努力之后，他的論文出爐了。

　　前面說到，一開始接觸數(shù)論，丹尼爾就研究過陶哲軒和梅納德的論文。而在這個(gè)有關(guān)卡邁克爾數(shù)的證明上，他巧妙地站在了前輩的肩膀上。他修改了梅納德在證明孿生素?cái)?shù)間隔時(shí)的用到的方法，將之與阿爾福德、格蘭維爾和波梅蘭斯的方法相結(jié)合。如此一來，就能夠確保他最終得到足以產(chǎn)生卡邁克爾數(shù)的素?cái)?shù)區(qū)間。

　　實(shí)際上，這篇論文不僅證明了卡邁克爾數(shù)一定會出現(xiàn)在X和2X之間，其證明方法還適用于更小的間隔。

　　另一位致力于偽質(zhì)數(shù)研究的數(shù)學(xué)家、沃福德學(xué)院的Thomas Wright就表示，“這篇論文改變了研究卡邁克爾數(shù)的許多事情”。

　　值得一提的是，卡邁克爾數(shù)與密碼學(xué)和通信安全息息相關(guān)。最典型的非對稱加密算法RSA中，生成公鑰的第一步就是選取一對很大的隨機(jī)質(zhì)數(shù)。而當(dāng)數(shù)字比較大時(shí)，想要判斷其是否為質(zhì)數(shù)就很麻煩，也很容易與其它數(shù)字混淆。這時(shí)候，卡邁克爾數(shù)的相關(guān)研究就能派上用場了。

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