圓周運(yùn)動(必修二第六章，總結(jié)筆記)

2023-03-27 10:41 作者:syr56 0人讀過 | 我要投稿

1.圓周運(yùn)動；2.向心力；3.向心加速度；4.生活中的圓周運(yùn)動

1.圓周運(yùn)動

（1）線速度

定義：物體做圓周運(yùn)動，在一段很短的時(shí)間 $%E2%80%8B%5CDelta%20t$ 內(nèi)，通過的弧長為 $%5CDelta%20s$ 。則 $%5CDelta%20s$ 與的比值 $%E2%80%8B%5CDelta%20t$ 叫作線速度，公式： $v%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20s%7D%7B%5CDelta%20t%7D$ 。

意義：描述做圓周運(yùn)動的物體運(yùn)動的快慢。單位：米每秒，符號為 $m%2Fs$ 或 $m%5Ccdot%20s%5E%7B-1%7D$ 。

方向：為物體做圓周運(yùn)動時(shí)該點(diǎn)的切線方向。線速度是物體做圓周運(yùn)動的瞬時(shí)速度，線速度越大，物體運(yùn)動得越快。

勻速圓周運(yùn)動(uniform circular motion)：物體沿著圓周運(yùn)動，并且線速度的大小處處相等，這種運(yùn)動叫作勻速圓周運(yùn)動。線速度的方向是時(shí)刻變化的，所以是一種變速運(yùn)動，這里的“勻速”是指速率不變。

（2）角速度(angular velocity)

定義：連接物體與圓心的半徑轉(zhuǎn)過的角度 $%5CDelta%20%5Ctheta$ 與轉(zhuǎn)過這一角度所用時(shí)間 $%5CDelta%20t$ 的比值，公式： $%5Comega%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20%5Ctheta%7D%7B%5CDelta%20t%7D$ 。

意義：描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動的快慢,角速度越大，物體轉(zhuǎn)動得越快。

單位：弧度每秒，符號是 $rad%2Fs$ 或 $rad%5Ccdot%20s%5E%7B-1%7D$ 。勻速圓周運(yùn)動是角速度不變的運(yùn)動。

線速度與角速度的關(guān)系：在圓周運(yùn)動中，線速度的大小等于角速度大小與半徑的乘積，即 $v%3D%5Comega%20r$ 。

（3）周期(period)

周期：做勻速圓周運(yùn)動的物體，運(yùn)動一周所用的時(shí)間，單位：秒(s)；一般用符號T表示；單位：秒(s)。

轉(zhuǎn)速：物體轉(zhuǎn)動的圈數(shù)與所用時(shí)間之比；一般用符號n表示；單位：轉(zhuǎn)每秒(r/s)或轉(zhuǎn)每分(r/min)。

當(dāng)單位時(shí)間取1s時(shí)， $f%3Dn$ 。頻率和轉(zhuǎn)速對勻速圓周運(yùn)動來說在數(shù)值上是相等的，但頻率具有更廣泛的意義，兩者的單位也不相同。

周期、頻率合轉(zhuǎn)速間的關(guān)系： $T%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bf%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D$ (n的單位為r/s)。

（4）對勻速圓周運(yùn)動的理解

①由于勻速圓周運(yùn)動是曲線運(yùn)動，其速度方向沿著圓周上各點(diǎn)的切線方向，所以速度的方向時(shí)刻在變化。

②勻速的含義：速度的大小不變，即速率不變。

③運(yùn)動性質(zhì)：勻速圓周運(yùn)動是一種變速運(yùn)動，其所受合外力不為零。

④勻速圓周運(yùn)動具有周期性，每經(jīng)過一個(gè)周期，線速度大小和方向與初始時(shí)刻完全相同。

（5）描述勻速圓周運(yùn)動各物理量之間的關(guān)系

① $v%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20s%7D%7B%5CDelta%20t%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%20r%7D%7BT%7D%3D2%5Cpi%20n%20r$ ；② $%5Comega%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20%5Ctheta%7D%7B%5CDelta%20t%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D%3D2%5Cpi%20n$ ；③ $v%3D%5Comega%20r$ 。

物體做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，由 $%5Comega%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D%3D2%5Cpi%20n$ 可知，加速度、周期、轉(zhuǎn)速三個(gè)物理量，只要其中一個(gè)物理量確定了，其余兩個(gè)物理量也確定了。

由線速度大小 $v%3D%5Comega%5Ccdot%20r$ 可知，r一定時(shí)， $v%5Cpropto%20%5Comega$ ；v一定時(shí)， $%5Comega%5Cpropto%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D$ ； $%5Comega$ 一定時(shí)， $v%5Cpropto%20r$ 。

（6）同軸轉(zhuǎn)動合皮帶傳動問題

【同軸轉(zhuǎn)動】

如下圖，A、B兩點(diǎn)在同軸的一個(gè)圓盤上。

特點(diǎn)：加速度、周期相同。規(guī)律：線速度大小與半徑成正比，即 $%5Cfrac%7Bv_A%7D%7Bv_B%7D%3D%5Cfrac%7Br%7D%7BR%7D$ 。

【皮帶傳動】

如下圖，兩個(gè)輪子用皮帶連接(皮帶不打滑)，A、B兩點(diǎn)分別是兩個(gè)輪子邊緣上的點(diǎn)。

特點(diǎn)：線速度大小相等。角速度與半徑成反比，即 $%5Cfrac%7B%5Comega_A%7D%7B%5Comega_B%7D%3D%5Cfrac%7Br%7D%7BR%7D$ 。

【齒輪傳動】

如下圖，兩個(gè)齒輪嚙合，A、B兩點(diǎn)分別是兩個(gè)齒輪邊緣上的點(diǎn)。

特點(diǎn)：線速度大小相等。規(guī)律：加速度與半徑成反比，即 $%5Cfrac%7B%5Comega_A%7D%7B%5Comega_b%7D%3D%5Cfrac%7Br_2%7D%7Br_1%7D$ 。

2.向心力

（1）向心力(centripetal force)

定義：做勻速圓周運(yùn)動的物體所受的合力總指向圓心，這個(gè)指向圓心的力叫作向心力。

方向：無論是否為勻速圓周運(yùn)動，其向心力總是沿著半徑指向圓心，方向時(shí)刻改變，故向心力是變力。

向心力的大小： $F_n%3Dm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D%3Dm%5Comega%5E2r%3Dm(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D)%5E2r$ 。

向心力作用效果：改變線速度的方向。由于向心力始終指向圓心，其方向與物體運(yùn)動方向始終垂直，故向心力不改變線速度的大小。

【向心力來源】

根據(jù)力的作用效果命名的，它由某個(gè)力或者幾個(gè)力的合力提供，也可以是某個(gè)力的分力提供。

①當(dāng)物體做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，由于物體線速度大小不變，沿切線方向的合外力為零，物體受到的合外力一定指向圓心，以提供向心力。

②當(dāng)物體做非勻速圓周運(yùn)動時(shí)，其向心力為物體所受的合外力在半徑方向上的分力，而合外力在切線方向的分力則用于改變線速度的大小。

【求解勻速圓周運(yùn)動問題的一般步驟】

①確定研究對象、軌跡圓周(含圓心、半徑和軌道平面)。

②受力分析，確定向心力的大小(合成法、正交分解法等)。

③根據(jù)向心力公式列方程，必要時(shí)列出其他相關(guān)方程。

④統(tǒng)一單位，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，求出結(jié)果或進(jìn)行討論。

【幾種常見的勻速圓周運(yùn)動】

這里列舉了四種，如下表。

（2）變速圓周運(yùn)動和一般的曲線運(yùn)動

【變速圓周運(yùn)動】

受力特點(diǎn)：變速圓周運(yùn)動中合力不指向圓心，合力F產(chǎn)生改變線速度大小和方向兩個(gè)作用效果，如下圖所示。

$F_t$ 方向與物體的運(yùn)動方向相同，跟圓周相切的分力，會改變線速度的大小； $F_n$ 指向圓心分力，會改變線速度的方向。

某一點(diǎn)的向心力仍可以用公式 $F_n%3Dm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D%3Dm%5Comega%5E2r$ 求解。

【一般的曲線運(yùn)動】

一般的曲線運(yùn)動的運(yùn)動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運(yùn)動。

一般曲線運(yùn)動的處理方法：可以把曲線分割為許多很短的小段，每一小段可以看作圓周運(yùn)動的一部分，分析質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過曲線上某位置的運(yùn)動時(shí)，可以采用圓周運(yùn)動的分析方法來處理。

①合外力方向與速度方向夾角為銳角時(shí)，速率越來越大。

②合外力方向與速度方向夾角為鈍角時(shí)，力為阻力，速率越來越小。

3.向心加速度(centripetal acceleration)

（1）勻速圓周運(yùn)動的加速度方向

定義：物體做勻速圓周運(yùn)動時(shí)的加速度總指向圓心，這個(gè)加速度叫作向心加速度。

向心加速度的方向：總指向圓心，方向時(shí)刻改變。

向心加速度的作用效果：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。

（2）勻速圓周運(yùn)動的加速度大小

向心加速度公式： $a_n%3D%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D%3D%5Comega%5E2r$ 。拓展公式： $a_n%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2%7D%7BT%5E2%7Dr%3D4%5Cpi%5E2f%5E2r%3D%5Comega%20v$ 。

適用范圍：向心加速度的公式既適用于勻速圓周運(yùn)動，也適用于非勻速圓周運(yùn)動，v為某一位置的線速度，且無論物體做的是勻速圓周運(yùn)動還是非勻速圓周運(yùn)動，其向心加速度的方向都指向圓心。

向心加速度與半徑的關(guān)系，見下圖。

圓周運(yùn)動的性質(zhì)：不論向心加速度 $a_n$ 的大小是否變化，其方向時(shí)刻改變，所以圓周運(yùn)動的加速度時(shí)刻發(fā)生變化，圓周運(yùn)動是變加速曲線運(yùn)動。

變速圓周運(yùn)動的加速度并不指向圓心，該加速度有兩個(gè)分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度描述速度方向變化的快慢，切向加速度描述速度大小變化的快慢，所以變速圓周運(yùn)動中，向心加速度的方向也總是指向圓心。

（3）向心加速度公式的應(yīng)用技巧

向心加速度的每一個(gè)公式都涉及三個(gè)物理量的變化關(guān)系，必須在某一物理量不變時(shí)分析另外兩個(gè)物理量之間的關(guān)系。

①先確定各點(diǎn)是線速度大小相等，還是角速度相同。

②線速度大小相等時(shí)，向心加速度與半徑成反比；角速度相同時(shí)，向心加速度與半徑成正比。

4.生活中的圓周運(yùn)動

（1）火車轉(zhuǎn)彎

【鐵軌彎道的特點(diǎn)】

①彎道處外軌略高于內(nèi)軌。

②在修筑鐵路時(shí)，要根據(jù)彎道的半徑和規(guī)定的行駛速度，適當(dāng)選擇內(nèi)外軌的高度差，使轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力幾乎完全由重力G和彈力 $F_N$ 的合力來提供，若火車按規(guī)定的速度 $v_0$ 行駛，則有 $mgtan%5Ctheta%3Dm%5Cfrac%7Bv_0%5E2%7D%7BR%7D%EF%BC%8Cv_0%3D%5Csqrt%7BgRtan%5Ctheta%7D$ ，如圖6所示，其中R為彎道半徑，θ為軌道平面與水平面間的夾角。

③火車轉(zhuǎn)彎時(shí)鐵軌對火車的支持力不是豎直向上的，而是斜向彎道的內(nèi)側(cè)。支持力與重力的合力指向圓心，如圖6所示。

若鐵軌彎道的內(nèi)外軌一樣高，火車轉(zhuǎn)彎時(shí)，由外軌對輪緣的彈力提供向心力，由于質(zhì)量太大，故需要很大向心力，靠這種方法得到向心力，不僅鐵軌和車輪極易受損，還可能使火車側(cè)翻。

【速度與軌道壓力的關(guān)系】

①當(dāng)火車行駛速度v等于規(guī)定速度 $v_0$ 時(shí)，所需向心力僅由重力和支持力的合力提供，此時(shí)內(nèi)外軌道對火車無擠壓作用。

②當(dāng)火車行駛速度 $v%3Ev_0$ 時(shí)，外軌道對輪緣有側(cè)壓力。③當(dāng)火車行駛速度 $v%3Cv_0$ 時(shí)，內(nèi)軌道對輪緣有側(cè)壓力。

（2）拱形橋

分為拱形橋和凹形橋兩種情形，

【汽車過拱形橋】

汽車通過最高點(diǎn)時(shí)，向心力大?。?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=F_n%3Dmg-F_N%3Dm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D" alt="F_n%3Dmg-F_N%3Dm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D">；對橋的壓力： $F_N'%3Dmg-m%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D$ 。

推論：①當(dāng) $v%3D%5Csqrt%7BgR%7D$ 時(shí)， $F_N%3D0$ ；②當(dāng) $0%5Cleq%20v%3C%5Csqrt%7BgR%7D$ 時(shí)， $0%3CF_N%5Cleq%20mg$ ；③當(dāng) $v%3E%5Csqrt%7BgR%7D$ 時(shí)，汽車將脫離橋面做平拋運(yùn)動，易發(fā)生危險(xiǎn)。

結(jié)論：汽車通過最高點(diǎn)時(shí)，向心加速度向下，對橋的壓力小于汽車的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力越小，此時(shí)汽車處于失重狀態(tài)。

【汽車過凹形橋】

向心力大?。?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=F_n%3DF_N-mg%3Dm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D" alt="F_n%3DF_N-mg%3Dm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D">；對橋的壓力： $F_N'%3Dmg%2Bm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D$ 。

結(jié)論：當(dāng)汽車通過凹形橋的最低點(diǎn)時(shí)，向心加速度向上，汽車對橋的壓力大于汽車的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力越大，此時(shí)汽車處于超重狀態(tài)。由于汽車對橋面的壓力大于其自身重力，故凹形橋易被壓垮，因而實(shí)際中拱形橋多于凹形橋。

（3）航天器的失重現(xiàn)象

質(zhì)量為M的航天器在近地軌道運(yùn)行時(shí)，航天器重力提供向心力，滿足關(guān)系： $mg%3DM%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D$ ，則 $v%3D%5Csqrt%7BgR%7D$ 。

宇航員受到的地球引力與座艙對他的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律可得： $mg-F_N%3Dm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D$ ，即 $F_N%3Dmg-m%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D$ 。

完全失重狀態(tài)：座艙對宇航員的支持力 $F_N%3D0$ ，宇航員處于完全失重狀態(tài)，此時(shí) $v%3D%5Csqrt%7BgR%7D$ 。繞地球做圓周運(yùn)動的衛(wèi)星、飛船、空間站處于完全失重狀態(tài)，航天器內(nèi)的任何物體也都處于完全失重狀態(tài)。

（4）離心運(yùn)動

定義：做圓周運(yùn)動的物體沿切線飛出或做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動。

離心運(yùn)動產(chǎn)生原因：提供向心力的合力突然消失或合力不足以提供所需的向心力。

注意：物體做離心運(yùn)動并不是物體受到“離心力”作用，而是由于合外力不能提供足夠的向心力。所謂“離心力”實(shí)際上并不存在。

【合力與向心力的關(guān)系】

①如圖9，當(dāng) $F_%E5%90%88%3Dm%5Comega%5E2%20r$ 或 $F_%E5%90%88%3D%5Cfrac%7Bmv%5E2%7D%7Br%7D$ ，物體做勻速圓周運(yùn)動，供求平衡。

②當(dāng) $F_%E5%90%88%3Em%5Comega%5E2%20r$ 或 $F_%E5%90%88%3E%5Cfrac%7Bmv%5E2%7D%7Br%7D$ ，物體做近心運(yùn)動，供過于求。

③當(dāng) $0%3CF_%E5%90%88%3Cm%5Comega%5E2r$ 或 $0%3CF_%E5%90%88%3C%5Cfrac%7Bmv%5E2%7D%7Br%7D$ ，則合力不足以將物體“拉回”到原軌道上，而做離心運(yùn)動，需求大于供給。

④當(dāng) $F_%E5%90%88%3D0$ ，則物體沿切線方向做直線運(yùn)動。

（5）豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動

【繩模型】

如圖11所示，甲圖中小球受繩拉力和重力作用，乙圖中小球受軌道的彈力和重力作用，二者運(yùn)動規(guī)律相同，現(xiàn)以甲圖為例。

①在最低點(diǎn)處繩子拉力 $F_%7BT1%7D%3Dmg%2Bm%5Cfrac%7Bv_1%5E2%7D%7BL%7D$

②在最高處繩子拉力 $F_%7BT2%7D%3Dm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7BL%7D-mg$

③最高點(diǎn)最小速度：由于繩不可能對球有向上的支持力，只能產(chǎn)生向下的拉力，由 $F_%7BT2%7D%2Bmg%3D%5Cfrac%7Bmv_2%5E2%7D%7BL%7D$ 可知，當(dāng) $F_%7BT2%7D%3D0$ 時(shí)， $v_2$ 最小，最小速度為 $v_2%3D%5Csqrt%7BgL%7D$ 。