相對論中的若干佯謬的解釋
本文從廣義相對論的角度解釋相對論中出現(xiàn)的若干佯謬。廣義相對論的物理圖像總結(jié)起來就是五件事情：1.時空流形（背景，4維偽Riemann流形，廣義協(xié)變原理），其參數(shù)化，其局部的幾何（度規(guī)張量），世界線，等等；2.（廣義協(xié)變的）物理量，即張量場，其運算，即協(xié)變導(dǎo)數(shù)等；3.觀測，即局部Fermi-Walker標(biāo)架下的投影；4.運動，即測地方程，或廣義協(xié)變的牛頓第二定律；5.Einstein場方程。
雙生子佯謬（Twin paradox）
一對孿生子hina和sayo，sayo登上宇宙飛船作長程太空旅行，而hina則留在地球。結(jié)果當(dāng)旅行者回到地球后，sayo發(fā)現(xiàn)自己比留在地球的hina更年輕。
這大概對于初學(xué)狹義相對論的人來說比較容易迷惑住，因為他們的觀點局限在長度收縮、時間膨脹這類比較表觀的現(xiàn)象上邊。這里當(dāng)然不能用時間膨脹，因為旅行者既然要回來，就必須經(jīng)歷一個加速度，所以他所在的必然不是慣性系。
但是這種解釋有點隔靴搔癢的意思，只是說時間膨脹不能用，但是沒有切中要害。切中要害的解釋是，hina走的是類時測地線，sayo不是，所以hina經(jīng)歷的固有時是最長的。不管你從哪個參考系去看，這點都不變，沒有任何悖論產(chǎn)生。
隨便把時空流形找一個參數(shù)化，然后隨著世界線積分算出hina和sayo的固有時，就可以算出兩人相遇的時候年齡差了多少。
值得一提的是雖然這個佯謬解釋起來非常簡單，但是在50年代還是有一場很大的論戰(zhàn)，主要是
物理學(xué)家Herbert Dingle（可能因為年老癡呆變成民科；雖然此人此前也一直有一些民科傾向）從某種“相對性”的哲學(xué)觀點（"The theory [special relativity] unavoidably requires that A works more slowly than B and B more slowly than A — which it requires no super-intelligence to see is impossible."）認(rèn)為兩個人相遇的時候應(yīng)該仍然是同樣歲數(shù)，并且認(rèn)為狹義相對論是錯的。當(dāng)時的物理學(xué)家也不知為何寫了一大堆文章去反駁Dingle（比如：Crawford, Frank?S.,?Bull. Inst. Phys., 7, 314 (1956); Fremlin, J.?H.,?Nature, 180, 499 (1957); Darwin, Charles,?Nature, 180, 976 (1957); Crawford, F.?S.,?Nature, 179, 1071 (1957); Landsberg, P.?T. ,?Math. Gaz., 47, 197 (1964); McCrea, W.?H.,?Nature, 216, 122 (1967); Fullerton, J.?H. ,?Nature, 216, 524 1967); Barrett,?W. ,?Nature, 216, 524 (1967); Landsberg, P.?T.,?Nature, 220, 1182 (1968); Fremlin, F.?H.,?Nature, 244, 27 (1973); Jacob,?R.,?Nature, 244, 27 (1973); Whippman,?M.,?Nature, 244, 27 (1973); Stedman, G.?E.,?Nature, 244, 27 (1973);?Ziman,?J.,?Nature, 241, 143 (1973); Ellis, G.?F.?R.,?Nature, 242, 143 (1973); Armstrong, H.?L.,?Nature, 244, 26 (1973).），搞了個大新聞。其實Dingle的觀點基本只是因為表述上的混亂搞出的一套not even wrong的邏輯，有點小學(xué)生論戰(zhàn)的意味，放現(xiàn)在誰去反駁一嘴大概都覺得掉身價。當(dāng)然不管如何，孿生子佯謬早就被銫原子鐘證實了相對論預(yù)言的正確性。
法拉第佯謬（Faraday paradox）
這個其實高中物理題里面經(jīng)常出現(xiàn)，但是很少有人仔細(xì)想過其中不對勁的地方。把導(dǎo)體圓盤轉(zhuǎn)起來，會產(chǎn)生感應(yīng)電流，無論從切割磁感線還是洛倫茲力的角度看都沒有問題?，F(xiàn)在我們不動圓盤，而是把提供磁場的磁鐵轉(zhuǎn)起來，會有感應(yīng)電流嗎？
想想洛倫茲力，就知道當(dāng)然沒有感應(yīng)電流。有些人會想，磁鐵和導(dǎo)體同樣是相對轉(zhuǎn)動，為什么從磁鐵這個參照系來看就不一樣了？或者說，這時候磁感線是在轉(zhuǎn)動，那么磁感線自己去切割導(dǎo)體，相對來說和導(dǎo)體切割磁感線是同一回事，那應(yīng)該也會有感應(yīng)電流。
問題出在，磁鐵是個轉(zhuǎn)動參照系，里面的磁場和電場都和慣性系里不同。在磁鐵參照系里，導(dǎo)體在轉(zhuǎn)動，其中的電子同時受到E和B的作用，二者恰好抵消掉（讀者不妨計算一下，用Born坐標(biāo)）。所以電子走的還是測地線，這個參照系里面的測地線就是勻速轉(zhuǎn)圈。沒有任何矛盾出現(xiàn)。
具體來說，在磁鐵參照系里邊，電子的運動方程為：
右邊這個張量場就是0，變換來變換去都是0，所以電子就按照測地線繞圈圈。
一個相關(guān)的佯謬是愛因斯坦在《論動體的電動力學(xué)》里討論的那個移動中的磁鐵跟導(dǎo)體問題。這從廣義相對論的角度來看就單純就是電磁場張量在不同的Fermi-Walker標(biāo)架下投影的問題罷了。勻速直線運動的參照系里面電磁場的變換有一個三維版本的公式，是用張量變換化出來的，拿來算這種問題比較方便。
我們還可以基于這個例子做出更多的思考。廣義相對論中沒有一個特殊的參數(shù)化，所有參數(shù)化是平等的，這時候的牛頓第二定律就變成前面那種協(xié)變的方程。那么，一個自然而然的問題就是：平直時空的非慣性系里面的牛頓第二定律（為簡單起見，假設(shè)外力為0）會長什么樣？比如說，我們考慮一個轉(zhuǎn)動系或者勻加速直線運動的坐標(biāo)系，里面是不是會出現(xiàn)慣性力、科里奧利力之類的東西？
觀測者可以有一個自己的局部標(biāo)架，但是我們現(xiàn)在想要把這個標(biāo)架延拓成整個參數(shù)化網(wǎng)格（雖然未必能夠覆蓋整個時空流形），這樣一個延拓應(yīng)該是怎樣的呢？首先，時間軸應(yīng)該就是世界線，并且其標(biāo)度就是固有時?？臻g軸呢？這個問題其實相當(dāng)于問，“同時”的超曲面是怎樣的？
相對論里面的同時性是個嚴(yán)重的問題。狹義相對論里面還算好辦，廣義相對論里面的超曲面切片是可以隨便切的。這個切法本身并沒有物理意義（the continuation of his local platform of space (given by a small hypersurface of simultaneity) is not unique）。所以這里的做法只是習(xí)慣性地取一個合理空間軸（雖然沒有實際的物理意義，但是討論起來方便，比如史瓦西坐標(biāo)也是這么干的）；它要適合于局部的Minkovski式觀測者坐標(biāo)系（其實也就是把局部坐標(biāo)延拓出去）。這個習(xí)慣性的取法，就可以是Rindler坐標(biāo)和Born坐標(biāo)。
首先來看Born坐標(biāo)?？紤]Minkovski時空中一個柱坐標(biāo)，其度規(guī)為
把\theta這個坐標(biāo)變換成以\omega角速度旋轉(zhuǎn)，其他部分不變，度規(guī)變成
這個參數(shù)化到底好不好呢？我們首先發(fā)現(xiàn)，\partial_T、...、\partial_Z這四個基矢并不是正交歸一化的。所以我們應(yīng)該先做一個Gram－Schmidt正交化流程，得到四個正交歸一的4-矢量（單純按照矢量運算規(guī)則和幾何直觀來，非常方便）：
（讀者很容易驗證它們是正交歸一的）。所以這才是一個適當(dāng)?shù)膮?shù)化（和MInkovski時空類似），具體寫出來這時候的重新參數(shù)化之后得到一個度規(guī)（注意這里的計算都是按照非常普通的微分法則來，其中鏈?zhǔn)椒▌t不要搞錯了），然后拿出這個度規(guī)的空間部分：
這就是“旋轉(zhuǎn)觀測者看到的空間幾何的樣子”。這個度規(guī)也叫做Langevin-Landau-Lifschitz?metric。更加具體的討論見下面的Ehrenfest佯謬那一部分。
然后來看Rindler坐標(biāo)。假設(shè)一個粒子受固定的力做勻加速運動。這個勻加速當(dāng)然不是三維的加速度而是4-加速度。加速度為x正方向的\alpha。那么粒子的運動方程就是：
眾所周知它的解是一個雙曲運動：
速度不斷加快，最終趨近于光速。
現(xiàn)在按照這條世界線來建立全局的加速坐標(biāo)?；氐竭@個世界線：
它對應(yīng)的應(yīng)該是自身坐標(biāo)中X=1/\alpha這個靜止不動的點（因為一開始就是靜止的，沒有涉及洛倫茲變換）。所以可以直接猜測坐標(biāo)變換的形式為：（容易驗證在世界線上的確是正交歸一的）
這樣X的等值線就是雙曲線，T的等值線就是過原點的直線。這時候度規(guī)就變成：
這個坐標(biāo)只覆蓋了1/4的平坦時空。這個圖很直觀，比如我們可以看到：
1.有一個視界，與加速方向反方向，距離開始加速的地方距離為c^2/\alpha。比如說，戰(zhàn)斗機(jī)的加速度一般不超過10g，對應(yīng)的視界距離就是97光年外。所以其實日常生活中根本不可能感受到這個視界。
2.一個有質(zhì)量粒子的自由運動是逐漸落向視界，并且速度越來越慢，需要無窮長的時間才能穿過。
Rindler坐標(biāo)的圖像結(jié)合Minkovski圖是非常有用的，比如能夠用來直觀地解釋Bell太空船悖論（見后文所述）。
Rietdijk–Putnam argument
讓我們繼續(xù)關(guān)于同時性的討論。
廣義相對論里面，local的東西才有物理意義，比如locally measured的速度才是不超光速的，而按照其它方法定義出來的不local的速度可以隨便超過光速。同樣，同時超曲面是可以隨便切割的（除了在狹義相對論里面有特殊的切割方式），所以在廣義相對論里面就沒有“同時”這個概念，這完全取決于參數(shù)化，讓你同時就同時，讓你不同時就不同時。即使是狹義相對論里面的慣性坐標(biāo)參數(shù)化，兩個觀察者（速度不同），從他們的意識角度來看，他們在同一地點，在同一時刻，在他們的“當(dāng)下時刻”也會有著完全不同的事件集（特別是在宇宙尺度上）。Roger Penrose有這樣一個比喻：
Alice和Bob在路上經(jīng)過。在他們相遇的瞬間，對于Alice來說，就在這個瞬間，一支仙女座的太空艦隊出發(fā)入侵地球；對于Bob來說，就在同樣的這個瞬間，這支太空艦隊已經(jīng)出發(fā)了一個月了。
兩個人都沒有說錯，因為他們的“當(dāng)下時刻”的事件集不同（即局部標(biāo)架延拓出來的參數(shù)化不同）。而且他們其實誰都不知道艦隊到底有沒有出來，因為誰都沒有觀測到這一點（不同的參數(shù)化并沒有觀測效應(yīng)的差異），必須要250萬年之后，人們才會知道，在史前的那個瞬間，Alice和Bob說得對不對。
再舉個例子，假如幾個人因為某些陰謀被輸送到了離“地球”5012光年的地方，那他們在阿斯特拉號上是無法討論“這個時候”“地球”上是幾月幾號的。
總結(jié)來說：in relativity the?present?is a local concept that cannot be extended to global hyperplanes.或者說：
That no inherent meaning can be assigned to the simultaneity of distant events is the single most important lesson to be learned from relativity.
—?David Mermin,?It’s About Time
梯子佯謬（Ladder paradox）
雖然叫梯子佯謬，但是用汽車打比方更好點吧。
一輛車子，比車庫要長一點，所以停不進(jìn)去。司機(jī)突發(fā)奇想，如果他把車開得很快，車就會因為相對論效應(yīng)發(fā)生長度收縮，然后長度小于車庫，就可以停進(jìn)去了。
但是司機(jī)坐到車上后發(fā)現(xiàn)，如果從車的角度來看，車開得很快，車庫就會因為長度收縮變得更短，那就更不可能停進(jìn)去了。
這個悖論從幾何的角度很好理解（Minkowski圖，其實就是時空流形在平直情況下省略掉兩個維度的東西；有時候省略掉一個空間維度也行，那就可以討論二維的問題了）（另外這個Minkowski圖的兩個坐標(biāo)系其實應(yīng)該這樣理解：一個是原先的慣性系，另一個是觀測者的局部坐標(biāo)延拓出來的全局的慣性系）。
所以很容易看出來，從路人看來，車尾剛好進(jìn)車庫的那一刻，從司機(jī)參照系來說，他已經(jīng)撞上墻壁了。這是同時的相對性導(dǎo)致的問題，而且車的非剛性也是人們很容易忽視的一點。這個問題里我們必須把車撞上墻壁之后的事情考慮進(jìn)去：車必然會形變，但是力的傳播速度不會超過光速，所以車尾在很短的時間內(nèi)仍然照常前進(jìn)，它不知道車頭已經(jīng)撞上了，并沒有受到這部分的力。這里的trick就是車撞上墻壁之后的事情是必須要考慮進(jìn)來的，但是因為日常生活中忽略了同時的相對性，所以默認(rèn)“事情只需要考慮到車撞上墻壁的瞬間為止”。
這個佯謬有另一個版本，看圖就知道了。解釋是完全一樣的。
另外一個類似的佯謬稱為"bar and ring" paradox。
一根棍子，長度略長于圓環(huán)的直徑。棍子保持與圓環(huán)平行，以相對論性速度斜著飛過去，導(dǎo)致長度縮短，能夠穿過圓環(huán)。
但是，從棍子的角度看，圓環(huán)在相對論性速度下收縮，長度變短，應(yīng)該無法穿過。這個悖論其實解釋起來簡單得像一個腦筋急轉(zhuǎn)彎：在棍子參照系里面，因為速度方向的長度壓縮，圓環(huán)不再與棍子平行，而是會有一個角度的傾斜（類似于Terrell旋轉(zhuǎn)，不過不是觀測者視角下的旋轉(zhuǎn)，而是參照系下面的旋轉(zhuǎn)）
各種超光速現(xiàn)象
這些“超光速”的問題基本都出現(xiàn)在速度的定義上。真正不能超光速的速度是4-速度投影在某個觀測者標(biāo)架下得到的觀測速度，是一個局部的概念。其它定義出來的亂七八糟的速度，可以隨便超過光速。
燈塔佯謬。從燈塔發(fā)出的旋轉(zhuǎn)光束從一個物體掃過而照射到另一個物體上。兩個物體離燈塔越遠(yuǎn)，光束穿過的距離就越遠(yuǎn)。如果物體離燈塔足夠遠(yuǎn)，光束擊中物體的地方會以比光速快的明顯速度穿過物體。問題在于沒有實際粒子或信息在這個過程中被傳遞，只是人為定義出這么一個“速度”罷了。
宇宙膨脹的超光速。比如這樣一個度規(guī)的宇宙：ds^2=-dt^2+a^2(t)(dx^2+dy^2+dz^2)，其中標(biāo)度因子a(t)的膨脹產(chǎn)生一種“速度”，并導(dǎo)致宇宙學(xué)紅移。但是這也不是我們說的4-速度的投影，所以并沒有不能超光速的限制。
我站在地球上繞一圈，頭頂上的星星的轉(zhuǎn)動速度遠(yuǎn)大于光速。這也是速度定義的問題，并沒有一個實際的4-速度投影在我的標(biāo)架上。
為什么說4-速度投影在某個觀測者標(biāo)架下得到的觀測速度不能超過光速，其實很直接：實物粒子的世界線是類時曲線，其上面每一個切向量都是類時的；實物觀測者的世界線也是類時曲線。所以這兩個切向量的內(nèi)積肯定是負(fù)數(shù)，對應(yīng)于說\gamma因子肯定是一個實數(shù)。
Bell太空船佯謬
我們有兩艘太空船，它們之間系了一根沒有彈性的細(xì)柔易斷的繩子。兩艘太空船前后排列，向著同一個方向，用同樣的加速度同時開始運動。問題是：繩子會斷嗎？
從慣性系來看，太空船之間的距離是不變的（不會有洛倫茲收縮，為什么？畫一下Minkowski圖就知道了），但是繩子是會有洛倫茲收縮的。結(jié)果就是，繩子會斷裂。
那么從太空船參照系來看如何？繩子長度不變，但是太空船同時加速，距離也不變，似乎繩子不會斷？
這個佯謬的錯誤出在太空船參照系上。只要一看Rindler坐標(biāo)就知道了：
如果按照左邊那艘太空船的世界線來構(gòu)建Rindler坐標(biāo)，那么右邊那艘雖然在慣性系下面是同時加速的，但是在Rindler坐標(biāo)中x軸的值卻在不斷增大。也就是說，從左邊那位看來，右邊那位其實是在一直相對他向右運動。
簡單的理解就是：因為同時的相對性，從左邊的飛船看來，在他加速的瞬間，右邊的飛船已經(jīng)開始加速一段時間了。完全不需要定量計算，直接看Rindler坐標(biāo)就能夠理解。
所以最終的結(jié)論就是：不管從哪個坐標(biāo)看，繩子都會斷。
Ehrenfest佯謬
一個盤子，半徑為R，于是周長是2\pi R。現(xiàn)在我們把這個盤子繞著圓心高速旋轉(zhuǎn)，那么盤子的邊緣會因為尺縮效應(yīng)變短，但是半徑?jīng)]有尺縮效應(yīng)，所以盤子的周長和直徑之比居然小于pi了？
這是一個極具迷惑性的佯謬，在歷史上也經(jīng)過了非常多的爭論。問題其實還是出在剛體上：狹義相對論里面不存在絕對的剛體（因為它要求力的傳播速度是無限大，超過了光速）。
首先，慣性觀測者看到的空間的平直的，所以不管盤子轉(zhuǎn)得多塊，周長都必須是2\pi R，這點不會出任何問題。
其次，前面我們計算出來，從轉(zhuǎn)動觀測者來看，空間的樣子應(yīng)該是：
這樣子的，也就是說，轉(zhuǎn)動觀測者看來，空間并不是平直的（要注意，空間幾何非平直，但是時空幾何仍然平直；另外，為了說明這個度規(guī)并不是“假彎曲”，可以計算一下曲率來驗證）。對于半徑為R的圓，其周長卻變成了
這個結(jié)果恰好和尺縮效應(yīng)計算出來是一樣的！
最后，仍然遺留有一個問題：盤子是如何從靜止轉(zhuǎn)動起來的？靜止的時候，周長也應(yīng)該是\gamma 2\pi R，那又與平直空間的幾何崩壞了。
解答是：因為剛體與相對論不兼容，盤子在轉(zhuǎn)動過程中必須會有自身的形變。所以這個悖論出錯的地方在于假設(shè)本身不合理。我們只能討論“一開始就靜止的盤子”或者“一開始就在勻速轉(zhuǎn)動的盤子”，如果要把盤子加速，它要么形變，要么破裂，不可能完全維持原先的周長。
我們還可以進(jìn)一步思考一下，旋轉(zhuǎn)觀測者看到的這個空間
到底是怎樣的空間？（其實“看到的空間”這個說法有點問題，因為真正觀測的只有局部量，這個“看到的空間”有參數(shù)化的任意性，不過不管怎樣都是彎的）
半徑為c/\omega這個柱面是一個分割面，它相當(dāng)于線速度達(dá)到光速的那些物體所在的面。半徑雖然是有限值，但是周長是無窮大。這個性質(zhì)類似于Poincaré圓盤（雖然度規(guī)并不一樣）。
在近處，這個度規(guī)漸進(jìn)趨向于平直空間的度規(guī)。所以說，只有遠(yuǎn)離觀測者的地方才有明顯的空間彎曲。
因為空間的彎曲，圓周率膨脹了。
半徑為c/\omega這個柱面到底是怎么回事還可以仔細(xì)想想：它不是奇異的，看坐標(biāo)變換前的度規(guī)就知道了：
從這個度規(guī)來看，柱面外面的物體是不可能靜止的（若不然，它的世界線居然變成類空的了）。這很好理解，因為不能超光速。這是一種
。這跟Kerr黑洞的穩(wěn)態(tài)極限面有點像（g_{tt}=0，而不是事件視界g_{rr}=\infty）。
旋轉(zhuǎn)觀測者的時空還有一些比較微妙的地方。回到之前那個坐標(biāo)變換：
這個標(biāo)架其實是有點問題的。嘗試在原坐標(biāo)中畫出「旋轉(zhuǎn)觀測者的同時超曲面」，會得到這樣一個奇怪的曲面：
As the figure shows,?our attempted hyperslice would lead to a?discontinuous?notion of "time" due to the "jumps" in the integral curves (shown as a blue colored grid discontinuity). Alternatively, we could try to use a multivalued time. Neither of these alternatives seems very attractive! This is evidently a?global obstruction. It is of course a consequence of our inability to synchronize the clocks of the Langevin observers riding even a single?ring?– say the rim of a disk – much less an entire?disk.
最后還有兩個remark:
在這個度規(guī)下面的測地方程自然給出了離心力和科里奧利力兩項，這說明這兩個力可以在廣義相對論的框架下自然地推出（甚至可以說這種坐標(biāo)變換本身就該用廣義相對論解釋）。
在狹義相對論中速度沒有絕對的意義，但是角速度具有絕對的意義。相對論并不意味著什么都是相對的（就像很多人根據(jù)“什么都是相對的”認(rèn)為孿生子佯謬中兩個人應(yīng)該年齡相同）。Sagnac effect就可以測量出這個絕對的角速度。這種absolute retation還可以在Kerr幾何中看到，比如著名的Lense-Thirring進(jìn)動，一個自轉(zhuǎn)的球體和靜止的球體，其造成的時空彎曲是不同的，這個不同可以通過陀螺儀的進(jìn)動測量出來。再比如，類時測地線的固有時最長也是絕對的。
Supplee佯謬
考慮一艘恰好懸停在水中的潛艇。忽略水的一切阻力。假如這艘潛艇水平運動起來，它是會上浮還是下沉，或者仍然懸停？
如果從旁觀者看來，潛艇運動起來之后，因為長度收縮，密度變大（同時還有動質(zhì)量的增加），所以應(yīng)該下沉。但是從潛艇的駕駛員來看，水動起來之后，因為長度收縮，密度變大，導(dǎo)致浮力變大，所以應(yīng)該上浮。
這是一個相當(dāng)微妙的佯謬（可能是這篇文章里面最難解釋的一個）。關(guān)于這個佯謬，有三篇很好的文章可以參考：
Supplee, J. (1989). "Relativistic buoyancy".?Am. J. Phys.?57: 75–7.?Bibcode:1989AmJPh..57...75S.?doi:10.1119/1.15875.
Matsas, G. E. A. (2003).?"Relativistic Arquimedes law for fast moving bodies and the general-relativistic resolution of the "submarine paradox"".?Phys. Rev. D.?68?(2): 027701.?arXiv:gr-qc/0305106.?Bibcode:2003PhRvD..68b7701M.?doi:10.1103/PhysRevD.68.027701.
Vieira, R. S. (2016). "Solution of Supplee's submarine paradox through special and general relativity".?EPL.?116?(5): 50007.?arXiv:1611.07517.?Bibcode:2016EL....11650007V.?doi:10.1209/0295-5075/116/50007.
實際上最終的結(jié)論應(yīng)該是下沉。簡單來說是這樣解釋的：旁觀者的視角沒錯，而潛艇駕駛員的視角不僅伴隨著海水密度的增大，重力也會受到影響（相當(dāng)于Rindler度規(guī)再做一個洛倫茲變換），所以不能直接按mg去思考。
具體的分析如下：無非是這個公式（把右邊換成4-浮力）
其中地球附近的度規(guī)簡化成Rindler的形式（線性形式，忽略掉二次項）：
先計算出潛艇的局部標(biāo)架(T,X,Y,Z)：
（v=0時就退化為原來的坐標(biāo)）
然后放到局部坐標(biāo)里面，按照測地方程去算就完事了（需要注意的是，測地方程左邊直接按照度規(guī)寫出來沒問題，但是右邊是有些微妙的。浮力的阿基米德定律并不能直接推廣到相對論系統(tǒng)，必須回歸到浮力的本質(zhì)：壓強(qiáng)的積分，而壓強(qiáng)在相對論系統(tǒng)中的變換需要使用流體的能動張量。所以右邊4-浮力的項必須經(jīng)過非常仔細(xì)的考量）。
但是，因為Rindler坐標(biāo)實際上可以變換成Minkovski坐標(biāo)（均勻引力場，按照等效原理，可以等效于一個勻加速系，而且是全局的），所以我下面可以給出一個比較簡單的、僅僅依賴于狹義相對論的解釋方法。這個解釋利用等效原理，把度規(guī)變成簡單的\eta_{\mu\nu}，所以可以不用費精力去計算復(fù)雜的度規(guī)，而僅僅從Minkovski圖來直觀地解釋。
根據(jù)等效原理，均勻引力場可以等效于勻加速直線運動?？紤]這樣一個水池和潛艇，它們都受到一個力，向z軸正方向做勻加速直線運動。我們的觀測者R在慣性系里面旁觀，而另一個觀測者R'則跟隨潛艇在x方向的勻速直線運動而運動。它也是一個慣性系。
這樣模型的建立就完畢了，全部在平直時空的慣性系里面完成，沒有涉及任何非慣性系，也沒有任何非Minkovski的度規(guī)，所以狹義相對論完全夠用。
在R看來，潛艇因為長度收縮，密度變大（水的密度也變大了，但是潛艇有兩個速度的合成，所以收縮更厲害），所以會下潛。沒有問題。
在R'看來，潛艇和水都在運動，但是水的速度相反變得更大，所以水的密度更大，潛艇應(yīng)該上浮。這個邏輯沒有錯。關(guān)鍵在下面的觀察：在R'看來，水池底部并不再是一個水平的平面了。它會是什么樣子呢？
我們來看圖中“水池底面的世界面”這個曲面，它在R坐標(biāo)中的方程為
把這個方程做洛倫茲變換到R'下面，曲面方程變成：
注意到，對于R'中的一個時間切片，這不再是一個水平平面，而是一個雙曲線形狀的面。而對于X=0，也就是潛艇所在的位置，它會發(fā)現(xiàn)：
所以水池潛艇看到的水池的底面變成：
水池的底面居然在不斷上升！(趨近于一個線性的上升)
（這個水池底面的上升其實可以用洛倫茲收縮來直觀地解釋：水池必須有這樣一個向“右上”彎曲的形狀，才能在向“左上”的運動中因為長度收縮變成水平）
同時，潛艇自己也在上升，其加速度為g(\gamma^2-1)，總的加速度就是g\gamma^2，所以其運動是這樣一個雙曲運動：
比較一下這條雙曲線和
的漸近線的斜率，我們就能看到，潛艇的上升一定是趕不上底部的上升的。所以它最終還是會撞到底部。
最終，這個佯謬的解釋就是這樣的：
如左圖，從旁觀者（注意不是與水相對靜止的參照系，而是等效原理轉(zhuǎn)換之后的慣性參照系）看來，潛艇因為長度收縮，密度變大，所以向下沉。從移動參照系來看，水因為長度收縮，密度變大，所以潛艇上浮。但是潛艇在上浮的同時就撞到底面了。
注意，前面的討論是有近似的，比如沒有考慮z和x方向兩個速度的合成。嚴(yán)格算起來還是相當(dāng)麻煩的。
最后，我討論一下關(guān)于等效原理的一些事情。
廣義相對論的“公理”可以歸納為兩條：廣義協(xié)變性原理（包括了四維流形和張量場這些幾何描述）和Einstein場方程。等效原理并不是廣義相對論的一條founding principle，只是a simple consequence of the geometrical nature of the theory（馬后炮的說法；如果從歷史觀點來看，等效原理當(dāng)然是the key to GR）。
Starting with the equivalence principle, Einstein deduced the phenomena of gravitational time dilation, the gravitational bending of light (albeit with the wrong value), and the gravitational slowing of the speed of light. By 1912, however, Einstein had reached an impasse, realizing that he needed to go beyond the mathematics that he knew and was familiar with.
我們所說的強(qiáng)等效原理，指的是在時空區(qū)域的一點內(nèi)的引力場可用相應(yīng)的局域慣性參考系去描述，而狹義相對論在其局域慣性參考系中完全成立。為什么說它只是一個幾何推論呢？因為Riemann的一條定理說，流形某點的領(lǐng)域，總存在坐標(biāo)系是的度規(guī)在零階、一階與\eta吻合（二階及以上就無法保證了），這個坐標(biāo)叫做Riemann正則坐標(biāo)（注意，零階吻合是trivial的，只需要正交歸一化即可；一階才是nontrivial的）。這個坐標(biāo)其實就是一個時空事件點附近建立起來的局部慣性系（在這個點處嚴(yán)格平坦，在附近“一階”平坦）。之前計算過一個例子，通過世界線計算出觀測者的局部Fermi-Walker坐標(biāo)，這個Fermi-Walker標(biāo)架向外擴(kuò)展一下，滿足：1.這個點處的度規(guī)完全是\eta（四根軸正交歸一）；2.附近的度規(guī)與\eta稍微有點偏差，但是這個偏差是一階的。這就是強(qiáng)等效原理的嚴(yán)格表述。
再舉一個例子。在地球附近的重力場，其度規(guī)應(yīng)該用史瓦西度規(guī)描述。在近似到一階的情況下，這個度規(guī)可以變成Rindler度規(guī)，再把這個坐標(biāo)做一個加速的變換，就變成局部的\eta度規(guī)了（這時候的偏差只剩下二階的）：這說的就是弱等效原理（觀測者不能在局部的區(qū)域內(nèi)分辨出由加速度所產(chǎn)生的慣性力或由物體所產(chǎn)生的引力）。
Supplee佯謬也許還有另一種解釋方法，就是引力電磁性（gravitoelectromagnetism）。這是Einstein場方程的弱場近似，在弱場近似下，引力場會變成和電磁場一樣：
“洛倫茲力”也有一樣的形式：
在旁觀者參照系看來，只有“重力電性”，潛艇下沉。在潛艇參照系看來，因為重力場的平移，出現(xiàn)了“重力磁性”，貢獻(xiàn)了附加的重力，抵消了浮力的上升。
話說回來，庫侖定律和牛頓的萬有引力定律在形式上完全一樣，但是其背后的“真面目”分別是Maxwell方程和Einstein方程，二者看起來是完全不同的。不過gravitoelectromagnetism這套理論告訴我們的是，Einstein場方程在弱場近似下可以變成一個和Maxwell方程相同的形式，那么庫侖定律和牛頓的萬有引力定律在形式上完全一樣也就不足為奇了。Gravitoelectromagnetism也可以用來直觀地解釋Kerr幾何中出現(xiàn)的“引磁性”（即參照系拖曳）效應(yīng)。
Trouton–Noble佯謬
考慮這樣一個直角形的杠桿，用兩個一樣大小的力保持平衡。假如從一個水平運動觀測者來看，ab長度不變，但是bc長度變短，那bc邊的力矩會變小，杠桿應(yīng)該會轉(zhuǎn)起來？
解釋起來很簡單，力需要以4-力的形式做洛倫茲變換，變換之后杠桿還是不會轉(zhuǎn)動。這個佯謬跟前面的幾個比起來要水得多，之所以提它是因為它是早期否定以太存在的一個實驗。
總的來說，這些佯謬都是這樣一個類型：在一個參照系下會發(fā)生一個事件，但是在另一個參照系下卻發(fā)生了相反的事件。廣義協(xié)變性原理（general covariance）要求物理規(guī)律在不同的可微坐標(biāo)變換下都是不變的，所以廣義相對論必然會阻止這類悖論的產(chǎn)生。這些佯謬產(chǎn)生的原因，大部分是因為直覺上沒有理解同時的相對性，因為日常生活的尺度是很難認(rèn)識到同時的相對性的。
