三道題這么多字，確定不是逗我？？？?。?！

今天給這一波習(xí)題收個(gè)尾——

例9、11從方法到內(nèi)容都很重要，尤其是結(jié)論，到了級(jí)數(shù)判別法部分十分有用，是要牢牢記住的。

例10更常見的方法是用均值不等式的辦法。

例11是直接用例10的結(jié)論推導(dǎo)出。

32極限求法的例題

9.a^n/n^k，a>1，k>0——

這是一個(gè)極其經(jīng)典的∞-∞型“不定式”，其中分子部分是指數(shù)函數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)列，分母部分是冪函數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)列，這道題采取了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的推理方式，也就是說(shuō)，我們先解決一種最簡(jiǎn)單的情況然后把其他情況轉(zhuǎn)化為這種情況的變體，用類似的思維方式解決，“化歸思想”的應(yīng)用。

首先我們觀察到我們熟悉的a^n的形式，且滿足a>1，n是自然數(shù)，顯然滿足我們一直強(qiáng)調(diào)的伯努利不等式的形式。

而n是自然數(shù)情形下的伯努利不等式是牛頓二項(xiàng)式展開簡(jiǎn)單推理——

1. a>1，所以可以令a=1+l——l>0；
   

2. 對(duì)于n>=3，a^n=（1+l）^n=1+nl+n（n-1）l^2/2+n（n-1）（n-2）l^3/6+……；

3. 顯然展開式各項(xiàng)都大于0，所以對(duì)于l>0，我們可以丟掉后面若干項(xiàng)，然后得到一個(gè)（1+l）^n>……形式的不等式，這就是伯努利不等式的一般形式，而至于我們要取展開式的哪一項(xiàng)，取決于我們面對(duì)的具體問(wèn)題——以這道題為例。

我們不妨先研究k=1時(shí)該“不定式”的情況，然后看看k取其他值時(shí)，能否得出類似的結(jié)論——

k=1時(shí)，數(shù)列即為a^n/n，a>1，k>0——

1. a>1，所以可以令a=1+l，則l=a-1——l>0；

2. 因?yàn)?span id="s0sssss00s" class="color-blue-02">n趨向于無(wú)窮，所以我們可以得到n>=3時(shí)，a^n/n=（1+l）^n/n=[1+nl+n（n-1）l^2/2+n（n-1）（n-2）l^3/6+……]/n；

   ——這一步就很顯然了，我們由有理分式函數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)列的討論方法，顯然有，分子展開式從第三項(xiàng)開始，指數(shù)都比分母高，這個(gè)數(shù)列顯然是無(wú)窮大，我們選取最簡(jiǎn)單的一項(xiàng)——第三項(xiàng)進(jìn)行比較即可；

3. 由2，n>=3時(shí)，a^n/n=[1+nl+n（n-1）l^2/2+n（n-1）（n-2）l^3/6+……]/n>n（n-1）l^2/2n=（n-1）l^2/2；

4. 由1、3，n>=3時(shí)，a^n/n>（n-1）l^2/2=（n-1）（a-1）^2/2；

5. 顯然，數(shù)列{n-1}是無(wú)窮大，所以數(shù)列{（n-1）（a-1）^2/2}也是無(wú)窮大，于是數(shù)列{a^n/n}為無(wú)窮大。

0<k<1時(shí)，我們將其化歸為k=1的形式即可——

1. a^n/n^k=[a^（n/k）/n]^k={[a^（1/k）]^n/n}^k；

2. a>1，所以a^（1/k）>1；

3. （由k=1的情況的討論，）我們知道數(shù)列{[a^（1/k）]^n/n}為無(wú)窮大，于是0<k<1時(shí)，數(shù)列{a^n/n^k}為無(wú)窮大。

4. 同理，k>1時(shí)，數(shù)列{a^n/n^k}為無(wú)窮大。

綜上所述，數(shù)列{a^n/n^k}為無(wú)窮大。——其中a>1，k>0。

注：

1. 二項(xiàng)式展開到哪一項(xiàng)顯然是由a^n/n^k，k的數(shù)字決定的，比方說(shuō)，我們算a^n/n時(shí)，只要討論n>=2的情形就足夠了，因?yàn)榈谌?xiàng)就可以保證a^n對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式一定比n^k次數(shù)更高了，不用展開到第四項(xiàng)，上面是為了看起來(lái)思路清晰而已，當(dāng)然你取第四項(xiàng)比較也沒(méi)問(wèn)題；

2. 同理，如果談?wù)揳^n/n^3，展開到第五項(xiàng)即可；

3. 這個(gè)思路也就是我們后面學(xué)習(xí)泰勒公式考慮展開到哪一項(xiàng)的依據(jù)。

10n^（1/n）——

我們之前學(xué)過(guò)一個(gè)類似的收斂數(shù)列{a^（1/n）}，那個(gè)時(shí)候我們是用伯努利不等式解決的，這里可以用類似的方法，唯一的區(qū)別就是這里我們要考慮牛頓二項(xiàng)式展開到哪一項(xiàng)——

1. 顯然當(dāng)n>=2時(shí)，n^（1/n）>1，令a=n^（1/n），則a^n=n；

2. 令a=1+l，則l=a-1=n^（1/n）-1，當(dāng)n>=2時(shí)，a^n=（1+l）^n=1+nl+n（n-1）l^2/2+……；

3. 由1、2，a^n=n>n（n-1）l^2/2=[n（n-1）/2][n^（1/n）-1]^2，即1>[（n-1）/2][n^（1/n）-1]^2；

4. 由1、3，1<n^（1/n）<[2/（n-1）]^（1/2）+1；

5. 顯然，數(shù)列{[2/（n-1）]^（1/2）+1}極限為1，由夾逼準(zhǔn)則，數(shù)列{n^（1/n） }極限也是1 。

這一題更普遍的方法是用均值不等式——

1. （a1*a2*……*an-1*an）^（1/n）<=（a1+a2+……+an-1+an）/n；

2. 令ai=1，i=1,2，……，n-2，an-1=an=n^（1/2）；

3. 當(dāng)n>=2時(shí)，n^（1/n）>1

4. 由1、2、3，得1<n^（1/n）<=[1+1+……+n^（1/2）+n^（1/2）]/n=（n-2）/n+2n^（1/2）/n=1-2/n+2/n^（1/2）；

5. 顯然數(shù)列{1-2/n+2/n^（1/2）}極限也為1，所以數(shù)列{n^（1/n）}極限為1。

例11是例10的一個(gè)簡(jiǎn)單推論——

11（loga n）/n，a>1

我們看到兩個(gè)n，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，直接轉(zhuǎn)化——

1. 做一個(gè)簡(jiǎn)單的變形化歸：（loga?n）/n=loga?n^（1/n）；

2. 如果極限滿足運(yùn)算律：對(duì)數(shù)的極限等于極限的對(duì)數(shù)，那么我們直接可以得到該數(shù)列為無(wú)窮小，但是我們之前只驗(yàn)證了極限的加減乘除，未驗(yàn)證極限對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，所以不如猜測(cè)極限為0，然后歸數(shù)列極限的定義——對(duì)任意小數(shù)r>0，我們要找到一個(gè)自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，|（loga?n）/n|<r；

3. 由1、2知，要求得N，使得n>N時(shí)，n^（1/n）<a^r即可；

4. 我們已知，數(shù)列{n^（1/n）}極限為1，即對(duì)于任意小數(shù)r'>0，存在N'，使得n>N'時(shí)，|n^（1/n）-1|<r'，即n^（1/n）<1+r'；

5. 已知數(shù)列{a^r}為正無(wú)窮大，即對(duì)于數(shù)1+r'>0，存在N"，使得n>N"時(shí)，a^r>1+r'；

6. 由4、5，我們?nèi)?span id="s0sssss00s" class="color-blue-03">N=max{N'，N"}，當(dāng)n>N時(shí)，有a^r>1+r'>n^（1/n）；

7. 由2、3、6，可知，數(shù)列{（loga?n）/n}為無(wú)窮小。

明天繼續(xù)！