星戰(zhàn)的規(guī)則詳見謎題規(guī)則介紹#5 放置類——星戰(zhàn)(starbattle)

這個結(jié)論很簡單：

(1)N>1時，每行每列N個星星的星戰(zhàn)至少需要4N*4N的盤面才能放下，并且

(2)如果不限制宮的情況下，4N*4N的盤面每行每列放N個星星恰有兩個解。

(3)而N=1時，除去一個1*1的盤面有唯一解以外，剩下的結(jié)論同上。

注：以下內(nèi)容證明較多較枯燥，如果不想看證明而只想知道兩個解長什么樣，只需要看圖即可。

由于證明了(1)(2)可以推出(3)，故這里只證(1)(2)。

證明(1)是很簡單的，只需要利用星戰(zhàn)的一個常用結(jié)論：任何2*2區(qū)域內(nèi)最多只有1個星星。

假如盤面是M*M的，而每行每列需要放N個星星，那么星星的總數(shù)是N*M個。由于任何2*2區(qū)域內(nèi)最多只有一個星星，因此盤面的面積不能小于星星數(shù)目的4倍，即盤面的面積不小于4N*M。而盤面的面積就是M*M，因此M≥4N。

對于(2)，我們來證明一下。

首先構(gòu)造M=4，N=1時的兩個解，這里只有兩個解也是顯然的：

對于N>1的情況，構(gòu)造其實是類似的。至于為什么呢，我們回頭看看N=1的情況，將整個盤面分成2N*2N個2*2的部分，如下所示：

那么，這里的每一個2*2都恰好有一個星星。我們將上圖中每一塊2*2視為一個新的“單元格”，將這些“單元格”所在的行列稱為“大行”和“大列”。那么我們有一個結(jié)論：同一個大行的星星，要么都在大行內(nèi)2*2的左側(cè)兩格，要么都在右側(cè)兩格；同一個大列的星星，要么都在大行內(nèi)2*2的上側(cè)兩格，要么都在下側(cè)兩格。

這個小結(jié)論證明并不難，以同一個大列的為例，我們看盤面的第2行，它要有N個星星。如果某個大列的第2行存在星星，那么由區(qū)塊刪減，該大列的第3行就不能是星星，則該大列的第4行就必須有星星，以此類推，那么這些大列的星星就都在下側(cè)的兩格。那么，由于偶數(shù)行的星星已經(jīng)滿了，剩下的大列的星星只能在奇數(shù)行，也就是說這些剩下的大列的星星都在上側(cè)兩格。大行上的情況是同理的。

那么根據(jù)上述結(jié)論，其實我們可以給每個大列標一個上/下的箭頭，來表示該大列的星星全在上側(cè)或全在下側(cè)，可以給每個大行標一個左/右的箭頭，來表示該大行的星星全在左側(cè)或全在右側(cè)。這樣的話，每個大單元格可以看成是有兩個箭頭，來指示星星在該大單元格中的位置。

我們考慮一下還有哪些2*2沒有使用。很明顯，兩個大單元格之間的2*2在論證上述結(jié)論的時候也用到了，那么就只有四個大單元格交叉的2*2未使用了。

這樣的2*2限制了以下兩種情況：

也就是說，如果列里從左到右出現(xiàn)了上（下）變成下（上），那么行里就不能有從上到下的左（右）變成右（左）。

看上去有點繞，但是我們可以得到全盤的方向分布只有兩種情況：

1）列是從左到右連續(xù)N個上之后連續(xù)N個下，行是從上到下連續(xù)N個右之后連續(xù)N個左；

2）列是從左到右連續(xù)N個下之后連續(xù)N個上，行是從上到下連續(xù)N個左之后連續(xù)N個右。

證明的話并不難。先看列上，因為列上必然是N個上和N個下，所以中間至少會出現(xiàn)一次上到下或者下到上的變化。我們假設(shè)是中間出現(xiàn)了上到下的一次變化，那么由上述結(jié)論，行里面就完全不可以出現(xiàn)左到右的變化。因此，行里面只能是連續(xù)N個右之后連續(xù)N個左。那么行里面也有且僅有一次右到左的變化，也就是說列里就完全不可以出現(xiàn)下到上的變化，因此列里面只能是連續(xù)N個上之后連續(xù)N個下，這就是上面的情況1)。另一種情況的說明是類似的。

也就是說，我們證明了解只有兩種情況：

將盤面沿兩條中線分成四個2N*2N大區(qū)域，每個小盤面內(nèi)有N*N個2*2的大單元格，那么

1）左上大區(qū)域的星星在單元格右上，右上大區(qū)域的星星在單元格右下，左下大區(qū)域的星星在單元格左上，右下大區(qū)域的星星在單元格右下；

2）左上大區(qū)域的星星在單元格左下，右上大區(qū)域的星星在單元格左上，左下大區(qū)域的星星在單元格右下，右下大區(qū)域的星星在單元格右上。

感覺文字說明看不懂？沒關(guān)系，下面是N=2的時候的兩個解，知道之后大家就可以類推出更大的N的時候的解了。

事實上，兩個解是鏡像對稱的，因此記住了一個就相當(dāng)于記住了另一個。

那么，這個結(jié)論就介紹完了，下面是兩個練習(xí)題，10階題目來自我自己出的謎題整活賽，12階題就是N=3的情況，大家可以嘗試一下，可能不知道這個結(jié)論的話做這兩個題回?zé)o從下手，但是知道結(jié)論之后就很簡單了。

感謝?@Li2CO3?對本文證明部分內(nèi)容作的貢獻！

好，那么這篇文章到這里也要結(jié)束了，別走到，文末有彩蛋哦！

彩蛋：某 @Li2CO3 在看到未完工的文章的時候，寫了以下東西：

將盤面分成（2n*2n）個2*2的

每個（你懂的那種）2*2恰有一個星。

看第(2k+1)和第(2k+2)列，阿巴阿巴，懶得寫，證畢?。。。。?！