關(guān)于圓錐曲線的高次類比這件事——引入范數(shù)

2021-08-05 20:15 作者:Gamma萬俟任時(shí) 0人讀過 | 我要投稿

? ? ? ? 這是我在自己玩的時(shí)候發(fā)現(xiàn)的一個(gè)有意思的事情。

? ? ? ? 本文章于2022年4月15日重新修改

? ? ? ? 關(guān)于圓錐曲線，大家都不陌生。為了簡(jiǎn)單，我只研究單位圓錐曲線。不過我不知道是否有“單位拋物線”的概念，這里姑且將 $y%5E2%3D2x$ 稱作單位拋物線。那么，圖-1展示了單位圓，雙曲線和拋物線

? ? ? ? 其實(shí)，最開始引起我興趣的是曲線 $%5Cvert%20x%5Cvert%20%2B%5Cvert%20y%5Cvert%20%3D2$ ,這是一個(gè)正方形。在圖-2中，當(dāng)改變 $x%2Cy$ 的系數(shù)可以看出，這一類曲線方程對(duì)應(yīng)的曲線是菱形

? ? ? ? 事實(shí)上，矩形的方程可以為 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%2B%5Cvert%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%5Cvert%20%3D2$ ，其中 $2a%2C2b$ 為矩形邊長(zhǎng)，其圖形如圖-3

? ? ? ? 于是我開始思考這矩形究竟是怎么來的，我并沒有完全想明白，但是這應(yīng)該是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，即他的四個(gè)角都是直角，并不是圓滑的。在矩形方程中出現(xiàn)的 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D$ 和 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D$ 分別是橢圓和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一部分，于是我從方程 $%5Cvert%20x%20%5Cvert%2B%20%5Cvert%20y%5Cvert%20%3D2$ 想到了方程

$%5Cvert%20x%20%5Cvert%2B%20%5Cvert%20y%5Cvert%20%3D1$

（1）

以及方程

$%5Cvert%20x%20%5Cvert-%5Cvert%20y%5Cvert%20%3D1$

（2）

圖-4中展示了他們的曲線

? ? ? ? 在圖-5中可以看到，如果將圓錐曲線方程中的平方改為絕對(duì)值，即“拋物折線”

$%5Cvert%20y%5Cvert%20%3D2x$

（3）

可以畫出與原曲線類似的“折線”

? ? ? ? 既然我們研究了：

$%5Cvert%20x%20%5Cvert%2B%5Cvert%20y%5Cvert%20%3D1%EF%BC%8Cx%5E2%2By%5E2%3D1$

$%5Cvert%20x%20%5Cvert-%20%5Cvert%20y%5Cvert%20%3D1%EF%BC%8Cx%5E2-y%5E2%3D1$

$%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%3D2x%2Cy%5E2%3D2x$

不妨再研究曲線（4），圖-6中展示了他們的圖形

$x%5E3%2By%5E3%3D1$

$x%5E3-y%5E3%3D1$

$y%5E3%20%3D2x$

（4）

? ? ? ? 常識(shí)告訴我們，如果想畫出閉合曲線，可以在變量上加絕對(duì)值，得到（5）

$%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%5E3%2B%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5E3%3D1$

$%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%5E3-%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5E3%3D1$

$%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5E3%20%3D2x$

（5）

圖-7展示了他們的圖形，可以看出他們與圓錐曲線更為相近

? ? ? ? 可以看出，他們的形狀與圓錐曲線的形狀類似

? ? ? ? 那么， $n$ 次的情況呢？圖（gra-8）從內(nèi)到外展示了 $%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%5En%2B%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5En%3D1$ 在 $n%3D1%2C2%2C3%2C4$ 時(shí)的曲線，其中 $n%3D2$ 時(shí)為單位圓，他們有四個(gè)公共點(diǎn)，是對(duì)稱圖形

? ? ? ? 圖-9從內(nèi)到外展示了 $%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%5En-%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5En%3D1$ 在 $n%3D1%2C2%2C3%2C4$ 時(shí)的曲線，其中 $n%3D2$ 時(shí)為單位雙曲線

? ? ? ? 圖-10從內(nèi)到外展示了 $%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5En%3D2x$ 在 $n%3D2%2C3%2C4$ 時(shí)的曲線，其中 $n%3D2$ 時(shí)為單位拋物線

? ? ? ? 事實(shí)上，我們可以畫出

$%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%5Ep%2B%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5Ep%3D1$

（6）

$%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%5Ep-%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5Ep%3D1$

（7）

$%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5Ep%3D2x$

（8）

其中，他們分別于圓，等軸雙曲線，拋物線有類似形狀，這里為了表述方便，將他們統(tǒng)稱為 $%5Ccolor%7BBlue%7D%E5%8D%95%5Ccolor%7BBlue%7D%E4%BD%8D%5Ccolor%7BBlue%7Dp%5Ccolor%7BBlue%7D%E9%98%B6%5Ccolor%7BBlue%7D%E5%9C%86%5Ccolor%7BBlue%7D%E9%94%A5%5Ccolor%7BBlue%7D%E6%9B%B2%5Ccolor%7BBlue%7D%E7%BA%BF$ ， $p$ 稱為階數(shù)。而曲線（6）（7）（8）分別稱為單位 $p$ 階橢圓，單位 $p$ 階雙曲線，單位 $p$ 階拋物線

? ? ? ? 如圖-11，展示了單位2,4,8階橢圓

? ? ? ? 可以看出，單位 $p$ 階橢圓被限制在一個(gè)方框中，階數(shù)越大，單位 $p$ 階橢圓越靠近一個(gè)邊界，與邊界有四個(gè)交點(diǎn)

? ? ? ? 圖-12展示了單位2,4,8階雙曲線，單位 $p$ 階雙曲線在一個(gè)邊界之外，階數(shù)越大，越靠近邊界，與邊界有兩個(gè)交點(diǎn)

? ? ? ??圖-13展示了單位2,4,8階拋物線，可以看出，單位 $p$ 階拋物線的階數(shù)越小，開口越大，單位 $p$ 階拋物線之間有三個(gè)交點(diǎn)

? ? ? ? 另一個(gè)問題是，單位 $p$ 階圓錐曲線究竟是什么曲線？需要注意我們雖然以橢圓，拋物線，雙曲線命名，但他們并不是橢圓，拋物線，雙曲線，因?yàn)闄E圓，拋物線，雙曲線是二次曲線

? ? ? ? 考慮到橢圓的第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的集合，事實(shí)上，我們研究的是單位圓錐曲線，可以改為：到定點(diǎn)距離為定值的點(diǎn)的集合，即為圓的定義

? ? ? ? 我們先來簡(jiǎn)單的遐想一下，將二次變?yōu)槿?，可能就要把距離做一個(gè)”三次類推“

? ? ? ? 距離被定義為兩點(diǎn)坐標(biāo)差平方和的算術(shù)平方根，那么”三次距離“可以為兩點(diǎn)坐標(biāo)差立方和的立方根

定義1? ? ? ?? $%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%86%85%E6%9C%89%E4%B8%A4%E7%82%B9A(m%2Cn)%2CB(s%2Ct)%2C%E5%88%99$

$%5Cvert%20%5Cvec%7BAB%7D%20%5Cvert%20%3D%5Csqrt%7B(s-m)%5E2%2B(t-n)%5E2%7D%20$

（9）

$%E7%A7%B0%E4%B8%BAA%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%E9%97%B4%E7%9A%84%EF%BC%88%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%EF%BC%89%E8%B7%9D%E7%A6%BB%EF%BC%8C%E8%80%8C$

$%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cvert%20s-m%5Cvert%5E3%2B%5Cvert%20t-n%20%5Cvert%5E3%7D%20$

（10）

$%E7%A7%B0%E4%B8%BAA%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%E9%97%B4%E7%9A%84%E4%B8%89%E6%AC%A1%E8%B7%9D%E7%A6%BB$

? ? ? ? 有了定義（1）和代數(shù)式（9）（10），我們可以說，單位圓是到定點(diǎn)距離為定值的點(diǎn)的集合，單位3階圓是到定點(diǎn)三次距離為定值的點(diǎn)的集合。為了方便表述，我們不妨直接定義一個(gè)類似于距離的概念

定義2? ? $%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%90%91%E9%87%8F%5Cvec%7Ba%7D%20%3D(x%2Cy)%2C%E8%AE%B0$

$%5Csqrt%5Bp%5D%7B%5Cvert%20x%5Cvert%5Ep%2B%5Cvert%20y%5Cvert%5Ep%7D%20$

$%E4%B8%BA%E5%90%91%E9%87%8F%5Cvec%7Ba%7D%E7%9A%84p-%E8%8C%83%E6%95%B0%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E4%B8%BA%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Ba%7D%20%20%5Cright%20%5C%7C%20_p%2C%E5%8D%B3$

$%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Ba%7D%20%20%5Cright%20%5C%7C%20_p%3D%5Csqrt%5Bp%5D%7B%5Cvert%20x%5Cvert%5Ep%2B%5Cvert%20y%5Cvert%5Ep%7D%20$

（11）

顯然，對(duì)于定義（def-1）中的兩點(diǎn)，有

$%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7BAB%7D%20%5Cright%20%5C%7C%20_p%3D%5Csqrt%5Bp%5D%7B%5Cvert%20s-m%5Cvert%5Ep%2B%5Cvert%20t-n%5Cvert%5Ep%7D%20$

可以稱為 $A%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%E7%9A%84p-%E8%8C%83%E6%95%B0%E8%B7%9D%E7%A6%BB$

顯然，

$%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Ba%7D%20%20%5Cright%20%5C%7C%20_1%3D%5Cvert%20x%5Cvert%2B%5Cvert%20y%5Cvert$

$%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Ba%7D%20%20%5Cright%20%5C%7C%20_2%3D%5Csqrt%7B%5Cvert%20x%5Cvert%5E2%2B%5Cvert%20y%5Cvert%5E2%7D%20$

$%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Ba%7D%20%20%5Cright%20%5C%7C%20_3%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cvert%20x%5Cvert%5E3%2B%5Cvert%20y%5Cvert%5E3%7D%20$

$%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Ba%7D%20%20%5Cright%20%5C%7C%20_4%3D%5Csqrt%5B4%5D%7B%5Cvert%20x%5Cvert%5E4%2B%5Cvert%20y%5Cvert%5E4%7D%20$

特殊地， $%E5%BD%93p%3D1%E6%97%B6$ ，

$%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7BAB%7D%20%5Cright%20%5C%7C%20_1%3D%5Cvert%20s-m%5Cvert%2B%5Cvert%20t-n%5Cvert$

稱為 $A%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%9B%BC%E5%93%88%E9%A1%BF%E8%B7%9D%E7%A6%BB$

定義3? ? ? ??到兩頂點(diǎn)的 $p-%E8%8C%83%E6%95%B0%E8%B7%9D%E7%A6%BB$ 之和為定值的點(diǎn)的集合為 $p%E9%98%B6%E6%A4%AD%E5%9C%86$ ，到兩頂點(diǎn)的 $p-%E8%8C%83%E6%95%B0%E8%B7%9D%E7%A6%BB$ 之差的絕對(duì)值為定值的點(diǎn)的集合為 $p%E9%98%B6%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF$