0. 前言

有限元靜力問題的求解實(shí)際上最終通過某些理論方法（最小勢能原理，虛功原理，加權(quán)殘值法等）轉(zhuǎn)化為 K(u)u=F 形式的矩陣方程（非線性方程或者方程組）的求解，這里K是全局剛度矩陣，通過力學(xué)三大方程和試函數(shù)求得；u是節(jié)點(diǎn)位移向量，是待求的未知數(shù)，其中可以通過位移邊界條件減少未知數(shù)數(shù)量；F是節(jié)點(diǎn)荷載向量，是由荷載邊界條件依據(jù)靜力等效轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)荷載向量。因此求解非線性方程組，研究求解算法是一個(gè)難點(diǎn)，求解算法主要為增量法和迭代法，實(shí)際上真正有限元求解時(shí)是兩種方法結(jié)合使用的。

1.算法來源

Newton-Raphson(牛頓-拉夫森)迭代法是一種求解方程根的常用方法。它使用函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)信息來高效地逐步逼近方程根。

編輯略去高階項(xiàng)，整理可得到下式

編輯需要注意的是，牛頓-拉夫森迭代法并不總是收斂。如果函數(shù)f(x)在某些點(diǎn)上的一階或二階導(dǎo)數(shù)為0，或者在根周圍有一定的震蕩行為，都可能導(dǎo)致算法無法收斂。此外，如果初始點(diǎn)x0選取得離根過遠(yuǎn)，也可能會(huì)導(dǎo)致算法無法收斂。因此，在實(shí)際使用中，需要根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇初始點(diǎn)、步長和迭代精度等參數(shù)，以保證算法的準(zhǔn)確性和可靠性。下面圖中展示了算法的格式。非線性方程

非線性方程組

2. 非線性求解迭代過程

下面解釋下有限元的求解非線性問題的迭代過程。上圖是某個(gè)荷載增量步的求解示意圖。第一次迭代前，需要給一個(gè)位移初始值（假定的位移值），實(shí)際上位移初始值可以隨便給，但是考慮到算法的實(shí)用性，收斂性和收斂速度，我們一般肯定希望初始值要么取值具有一般性或者接近真實(shí)位移值。一般初始位移值是通過當(dāng)前荷載增量和初始剛度的比值來確定，在這里初始剛度就是當(dāng)前增量開始時(shí)的剛度矩陣，荷載增量是人為設(shè)置的（有限元軟件里面也可以設(shè)置，例如abaqus中設(shè)置如下圖）

然后根據(jù)當(dāng)前給定的位移值求出當(dāng)前的剛度矩陣（記住剛度矩陣與材料屬性和幾何參數(shù)有關(guān)），并計(jì)算當(dāng)前位移匹配的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，接著計(jì)算內(nèi)力與當(dāng)然外載F的差值（也可以用位移容差控制，實(shí)際有限元中考慮荷載容差和位移容差），如果這個(gè)差值小于設(shè)置的容差，那么就停止迭代，否則繼續(xù)重復(fù)上述步驟。

3.案例

下圖顯示了有限元解與精確解的沿著桿長的位移分布圖，有一定的誤差主要是這里為了簡單起見，僅僅用了一個(gè)單元（三節(jié)點(diǎn)二次單元），想測試單元數(shù)量對(duì)結(jié)果精度的影響，可以將我的第一篇有限元筆記的代碼和當(dāng)前的結(jié)合起來修改下即可，這篇筆記旨在學(xué)習(xí)了解非線性有限元計(jì)算的的思路方法。

我分享的主要是之前一段時(shí)間的學(xué)習(xí)筆記，加上我當(dāng)前的部分理解，重新整理呈現(xiàn)了出來。目前我在尋找損傷力學(xué)，斷裂力學(xué)，張量分析，離散元等方面的優(yōu)秀教材資料等，希望大家能分享給我，一起學(xué)習(xí)交流。需要代碼的公眾號(hào)力學(xué)混子愛AI自取。