每年的3月14日也被稱為“ π 日”，這自然是因?yàn)?π ≈ 3.14。在與圓相關(guān)的場景中，我們總是與 π 這個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)不期而遇。不過仔細(xì)思考后你可能會發(fā)現(xiàn)，我們對 π 這個(gè)大名鼎鼎的無理數(shù)可謂是既熟悉又陌生：π 是如此重要的數(shù)，我們卻無法將它寫下來；當(dāng)我們將 π 的精度計(jì)算到上億位之后，仍然不知道這些數(shù)字背后是否隱藏著某種規(guī)律……

撰文 | 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

譯者 | 何生

一 ?Π是什么數(shù)？

在計(jì)算圓的周長和面積時(shí)，我們第一次遇到了π。假設(shè)圓的半徑是 r，那么其周長等于 2πr ，面積等于 πr2 。在幾何上，周長和面積這兩個(gè)量并沒有直接關(guān)系，所以，在這兩個(gè)地方都出現(xiàn)了同一個(gè) π，其實(shí)是相當(dāng)不尋常的。有一種直觀的方法可以理解為什么會這樣：先將圓像匹薩一樣分割成許多切片，然后把它們重新組成一個(gè)近似于長方形的形狀（圖1）。這個(gè)長方形的寬約等于圓的周長的一半，即πr，而它的高約為r。因此，它的面積可以近似為 πr × r =πr2 。

圖1. 近似的圓的面積。| 來源：piday.org

不過，這只是一種近似。也許，與周長和面積有關(guān)的數(shù)非常相近，但并不完全相等。然而，這似乎并不可能，因?yàn)椴还芮衅值枚嗉?xì)，論證過程總是說得通的。如果我們用大量非常細(xì)的切片，近似將變得極其精確。事實(shí)上，通過分出任意多的切片，實(shí)際的圓和構(gòu)造出來的長方形之間的誤差會變得任意小。利用數(shù)學(xué)里的極限概念，可以證明這個(gè)面積公式是正確且精確的。這就是同一個(gè)數(shù)會出現(xiàn)在圓的周長和面積里的原因。

在這里，取極限的過程也定義了所謂的面積。面積并不像我們想象的那么簡單。通過把多邊形分割成三角形，可以定義多邊形的面積，但是，由曲線構(gòu)成的圖形就不能如此分割。邊長是不可公約的長方形的面積，也沒那么簡單。問題不在于規(guī)定“什么是面積”——它只是將相鄰兩邊相乘，難點(diǎn)在于，如何證明計(jì)算結(jié)果的性質(zhì)與面積應(yīng)有的性質(zhì)是一致的。例如，如果把圖形合在一起，那么新圖形的面積應(yīng)該是它們的面積相加的和。學(xué)校里教的數(shù)學(xué)會快速地略過這些問題，并且希望沒人會注意到它們。

數(shù)學(xué)家們?yōu)槭裁从靡粋€(gè)晦澀的符號來表示一個(gè)數(shù)呢？為什么不把這個(gè)數(shù)直接寫出來呢？在學(xué)校里，我們經(jīng)常學(xué)到 π=22/7 ，但認(rèn)真的老師會說明它只是近似的。那么，我們?yōu)槭裁床挥靡粋€(gè)精確的分?jǐn)?shù)來表示 π 呢？因?yàn)檫@樣的分?jǐn)?shù)不存在。

π 是無理數(shù)中最著名的例子。就像根號2一樣，無論分?jǐn)?shù)有多復(fù)雜，都不能用來精確地表示 π。證明這一點(diǎn)非常難，但數(shù)學(xué)家們知道如何做到。為此，我們肯定需要一個(gè)新符號，因?yàn)槌Ｒ?guī)的數(shù)字符號無法精確地寫出這個(gè)特別的數(shù)。由于 π 是在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域里最重要的數(shù)之一，因此我們需要有一種方式來明確表示它。這個(gè)方式就是用希臘話中“周長”一詞的第一個(gè)字母“π”。

真是造化弄人：π 是如此重要的數(shù)，我們卻無法寫下來，除非用非常復(fù)雜的公式。這也許是個(gè)麻煩事兒，但它的確迷人，同時(shí)也為 π 增添了幾分神秘。

二 ?π 和圓

我們第一次遇到 π 時(shí)，大多與圓有關(guān)。圓是一種基本的數(shù)學(xué)圖形，因此，與圓有關(guān)的任何事情都是值得知曉的。圓有許許多多有用的應(yīng)用。2011 年，僅在日常生活的一個(gè)方面，圓的使用數(shù)量就超過了 50 億，因?yàn)樵谀且荒?，全球汽車的保有量超過了里程碑式的 10 億輛，而當(dāng)時(shí)一輛典型的汽車有 5 個(gè)輪子——4 個(gè)在跑、1 個(gè)備用。（如今，備用的常常是補(bǔ)胎工具包，這樣做不僅省油，而且備置起來也更便宜。）當(dāng)然，從墊圈到方向盤，在汽車?yán)镞€有許多其他的圓。至于在自行車、卡車、公共汽車、火車、飛機(jī)機(jī)輪等地方出現(xiàn)的那些圓，則更不在話下。

輪子是圓的一種幾何應(yīng)用。輪子被做成圓形，是因?yàn)閳A上的每個(gè)點(diǎn)與中心的距離都相等。如果你在圓形輪胎的中心裝上一根軸，它就能在平坦的路面上平穩(wěn)地滾動。但是，圓還會在別的許多地方出現(xiàn)。池塘里的漣漪是圓的，彩虹的彩色弧線也是圓的（圖2和圖3）。行星的軌道也大致是圓的——精確一點(diǎn)的說法是，這些軌道是橢圓的，而橢圓是一種在某個(gè)方向上被壓扁的圓。

圖2. 漣漪 | 來源：wikipedia

圖3. 彩虹——一段圓弧 |來源：wikipedia

然而，在完全不懂π為何物的情況下，工程師也能很好地設(shè)計(jì)出輪子。π的真正意義是理論性的，而且非常深奧。數(shù)學(xué)家們在圓的基本問題里第一次遇到了π。圓的大小可以由三個(gè)關(guān)系密切的數(shù)描述：

• 圓的半徑——從圓心到任意圓上的點(diǎn)之間的距離；

• 圓的直徑——圓的最大寬度；

• 圓的周長——圓自身整整一圈的長度。

其中，半徑和直徑之間的關(guān)系很簡單：直徑是半徑的 2 倍，半徑是直徑的一半。

周長和直徑之間的關(guān)系就沒那么簡單了。如果在圓上畫一個(gè)內(nèi)接正六邊形，會讓人覺得圓的周長要比直徑的 3 倍更長一些。在圖4中有6條半徑，每兩條配在一起后可以得到3條直徑。正六邊形的周長與6條半徑相等，也就是3條直徑的長度。很明顯，圓的周長要比正六邊形的周長更長。

圖4. 為什么π比3大

π 的定義是：圓的周長除以它的直徑。無論圓有多大，這個(gè)數(shù)的值都是一樣的，因?yàn)閳A形在放大或縮小時(shí)，其周長和直徑保持相同的比例。大約在 2200 年前，阿基米德給出了一個(gè)完整的邏輯證明，證明指出，對于任意的圓而言，這個(gè)數(shù)是一樣的。

畫圓的內(nèi)接正六邊形，并將邊數(shù)從6依次變?yōu)?2、24、48，最終到96，阿基米德借此得到了一個(gè)相當(dāng)精確的π值。他證明了 π 介于

和

之間。用小數(shù)表示的話，這兩個(gè)數(shù)值分別是 3.141 和 3.143。（阿基米德使用的是幾何圖示，并不是實(shí)際數(shù)字。而且，他想到了我們?nèi)缃裨趲缀涡g(shù)語里被稱為π的那個(gè)東西，因此，π是對他實(shí)際工作的現(xiàn)代化解讀。古希臘人并沒有小數(shù)記數(shù)法。）只要把用來近似圓的多邊形的邊數(shù)翻足夠多倍，阿基米德計(jì)算 π 的方法就能算出我們想要的任意精度。后來，數(shù)學(xué)家們又發(fā)現(xiàn)了一些更好的方法，下文將會講到。

圖5. 阿基米德通過構(gòu)造圓的內(nèi)接多邊形和外切多邊形來逼近π的下界和上界。| 來源：piday.org

π 的前 1000 位是：3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420199

看看這些數(shù)字，它們最顯著的特點(diǎn)就是完全沒有規(guī)律。這些數(shù)字看起來是隨機(jī)的，但事實(shí)上不可能，因?yàn)樗鼈兪?π 各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，而 π 本身是一個(gè)特定的數(shù)。缺乏規(guī)律性，更讓 π 這個(gè)數(shù)顯得異常奇特。數(shù)學(xué)家們猜測，所有有限長度的數(shù)字串都會出現(xiàn)在以小數(shù)表示的 π 的某個(gè)位置上，甚至?xí)o限多次出現(xiàn)。事實(shí)上，人們猜測 π 是一個(gè)正規(guī)數(shù)，即所有給定長度的數(shù)字串會以相同頻率在其中出現(xiàn)。這些猜想尚未被證明或證否。

三 ?無窮級數(shù)中的 π

π 也會出現(xiàn)在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域里。這些領(lǐng)域與圓之間往往沒有明顯的聯(lián)系，但總會存在某個(gè)間接聯(lián)系，因?yàn)檫@中間產(chǎn)生了π。同時(shí)，這也是其他定義π的方式。因?yàn)樗卸x都必須得到同一個(gè)數(shù)，因此，沿著這條線索必然會證明出與圓有關(guān)的關(guān)系。但是，這種關(guān)系可能非常曲折。

例如，歐拉在 1784 年發(fā)現(xiàn)了數(shù) π、e 和 i（即 - 1 的平方根）之間的關(guān)系。這個(gè)優(yōu)雅的公式是：

歐拉還注意到，對某些無窮級數(shù)求和也能得到 π。1735 年，他解決了巴塞爾問題。這個(gè)問題是由彼得羅·門戈利在1644年提出的，旨在計(jì)算所有平方數(shù)的倒數(shù)之和。當(dāng)時(shí)，曾有許多偉大的數(shù)學(xué)家試著去計(jì)算，但都沒成功。歐拉在 1735 年算出了一個(gè)相當(dāng)簡潔的結(jié)果：

這一發(fā)現(xiàn)讓歐拉在數(shù)學(xué)界聲名鵲起。你能說出它和圓之間的關(guān)聯(lián)嗎？反正我是不知道。其中的聯(lián)系不可能很直觀，因?yàn)楹芏囗敿鈹?shù)學(xué)家都無法解決巴塞爾問題。實(shí)際上，它和正弦函數(shù)有關(guān)，但第一眼看上去，正弦函數(shù)與這個(gè)問題也沒什么聯(lián)系。

對四次方、六次方，乃至更一般的偶數(shù)次方而言，利用歐拉的方法可以得到類似的結(jié)論。例如，

如果只有奇數(shù)或偶數(shù)的話，也會有：

但是，對像三次方和五次方等奇數(shù)次方而言，則沒有類似的公式，而且，人們猜想這樣的公式根本不存在。

值得注意的是，這些級數(shù)及其相關(guān)問題與質(zhì)數(shù)和數(shù)論之間有著很深的聯(lián)系。例如，如果隨機(jī)選取兩個(gè)整數(shù)，那么它們沒有（大于1的）公因數(shù)的概率是：

這是歐拉級數(shù)之和的倒數(shù)。

還有一個(gè)不可思議的地方也出現(xiàn)了π，那就是統(tǒng)計(jì)學(xué)。著名的“鐘形曲線”的方程是：

這條曲線下方的面積正好等于根號π（圖6）。

許多數(shù)學(xué)物理方程也和 π 有關(guān)。數(shù)學(xué)家們還發(fā)現(xiàn)了大量具有 π 的顯著特征的方程。

圖6. 鐘形曲線

四 ? 如何計(jì)算π？

2013 年，在經(jīng)過 94 天的計(jì)算之后，近藤茂利用計(jì)算機(jī)將π算到了12 100 000 000 050 位小數(shù)——超過了 12 萬億位。實(shí)際使用的π并不需要這種級別的精度。你也不可能用它來測量真實(shí)的圓。多年以來，人們有許多計(jì)算π的方法，它們都基于 π 的公式，或是如今用公式表示出的各種過程。

人們熱衷于做這類計(jì)算，他們的理由是為了了解這些公式的表現(xiàn)情況，或者確認(rèn)新計(jì)算機(jī)的性能。但實(shí)際上，大家更多是為了打破紀(jì)錄。一些數(shù)學(xué)家沉迷于計(jì)算π的更多位數(shù)，只是因?yàn)樗鼈儭按嬖凇?，這就好像山峰與登山者之間的關(guān)系。這種癡迷于“打破紀(jì)錄”的行為并不是典型的數(shù)學(xué)研究，其本身幾乎沒什么意義和實(shí)用價(jià)值，但通過這類活動，人們發(fā)現(xiàn)了一些全新的迷人公式，并揭示出了數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域之間一些意想不到的聯(lián)系。

（1）π 作為極限

通常，π的公式都涉及無窮的過程，只要執(zhí)行的次數(shù)足夠多，π就能得到很好的近似值。繼阿基米德之后，人們在15世紀(jì)首次取得了進(jìn)步。當(dāng)時(shí)，古印度數(shù)學(xué)家用無窮級數(shù)之和來表示 π，這是一種將各項(xiàng)不斷累加的求和過程。如果級數(shù)總和的值越來越接近一個(gè)明確的數(shù)（即它的極限），那么它就可以用來計(jì)算越來越精確的近似值，比如這些公式就是如此。一旦所需的精度得到滿足，那么計(jì)算就可以停止。

1400 年左右，桑加馬格拉瑪?shù)默斶_(dá)瓦利用一種級數(shù)把π計(jì)算到 11 位。1424 年，波斯人賈姆希德·卡希對它做了改進(jìn)，他像阿基米德那樣，采用增加多邊形的邊數(shù)的方法做近似?？ㄏＭㄟ^計(jì)算 3 × 228邊形，得到了 π 的前16 位。

阿基米德用來近似π的方法還啟發(fā)了弗朗索瓦·維埃特，他于 1593年寫下了π的一種新公式：

這里的點(diǎn)表示乘號。到 1630 年時(shí)，克里斯托夫·格里恩貝格爾用多邊形方法把位數(shù)推進(jìn)到了 38 位。

1655 年，約翰·沃利斯發(fā)現(xiàn)了一種不一樣的公式：

它用一種十分復(fù)雜的方法計(jì)算了半圓形的面積。

1641 年，詹姆斯·格雷戈里重新發(fā)現(xiàn)了瑪達(dá)瓦用于計(jì)算π的一種級數(shù)。格雷戈里的主要思路是用三角函數(shù)里的正切函數(shù)，記作 y = tan x 。在弧度表示法里，45° 角等于π/4， 此時(shí) a = b，因此有 tan (π/4) = 1（圖7）。

圖7. （左）正切tan x = a/b ; （右）當(dāng)x= π/4時(shí)，它的正切為 a/a =1 。

現(xiàn)在，讓我們考慮正切函數(shù)的反函數(shù)，通常被記為 y = arctan x 。它表示“還原”正切函數(shù)，也就是說，如果 y = tan x ，那么 x = arctan y ，因此有arctan1 =π/4?，斶_(dá)瓦和格雷戈里發(fā)現(xiàn)了關(guān)于 arctan y 的無窮級數(shù)：

設(shè) y = 1 ，可以得到

1699年，亞伯拉罕·夏普利用這個(gè)公式將π計(jì)算到71位，但這個(gè)級數(shù)收斂得很慢，也就是說，你必須算許多項(xiàng)才能得到一個(gè)比較好的近似值。1706 年，約翰·馬欽利用 tan (x+y) 的三角公式證明了

接著，他把 1/5 和 1/239 代入表示 arctan x 的級數(shù)。這些數(shù)字比1小很多，因此級數(shù)收斂得很快，也更實(shí)用。馬欽用他的公式將π計(jì)算到100位。1946年，丹尼爾·弗格森將這種思想推到極致，他采用了一個(gè)類似卻又不一樣的公式，將π計(jì)算到620位。

馬欽的公式還有許多精致的變體，事實(shí)上，這類公式有一套完整的理論。1896 年，F(xiàn). 施特默發(fā)現(xiàn)了公式：

許多更令人印象深刻的現(xiàn)代公式都源于這個(gè)公式。由于它有許多大分母，因此收斂速度快很多。

至此，再沒有人打破過紙筆計(jì)算的紀(jì)錄。但是，機(jī)械計(jì)算器和電子計(jì)算機(jī)令計(jì)算速度更快，差錯(cuò)也更少。我們再來看看人們找到的那些只需少數(shù)幾項(xiàng)就能得到非常好的近似值的計(jì)算公式。由達(dá)維徳和格雷戈里·丘德諾夫斯基兄弟發(fā)現(xiàn)的丘德諾夫斯基級數(shù)

其每項(xiàng)都能貢獻(xiàn)14位新小數(shù)。在這里，求和記號∑代表對k的表達(dá)式求和，其中k等于從0開始的所有整數(shù)。

（2） 二進(jìn)制表示中的 π

還有許多其他計(jì)算π的方法，并且新方法還在不斷地被發(fā)現(xiàn)。1997年，法布里斯·貝拉爾公布了π的第一萬億位小數(shù)，這個(gè)數(shù)用二進(jìn)制表示的話是1。令人驚訝的是，貝拉爾并沒有計(jì)算前面的數(shù)字。1996 年，戴維·貝利、彼得·博溫和西蒙·普勞夫發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很奇妙的公式：

貝拉爾采用了類似的公式，它在計(jì)算中更有效：

通過熟練地分析可知，這一方法可以給出單個(gè)位數(shù)上的二進(jìn)制數(shù)值。公式的關(guān)鍵特征是，其中的許多數(shù)，如 4、32、64、256、 24n和 210n，都是2的指數(shù)次方，它們可以非常簡單地在計(jì)算機(jī)內(nèi)部使用二進(jìn)制表達(dá)。尋找 π單個(gè)位數(shù)上的二進(jìn)制數(shù)值，這一紀(jì)錄很容易被打破：2010 年，雅虎的施子和計(jì)算了π的第 2000 萬億位小數(shù)，其結(jié)果是 0。

這個(gè)公式還可以被用于單獨(dú)計(jì)算基底為 4、8 和 16 的 π 的單個(gè)位數(shù)上的數(shù)值?；谄渌椎墓缴形幢话l(fā)現(xiàn)。尤其是，我們無法單獨(dú)計(jì)算十進(jìn)制 π 的單個(gè)位數(shù)上的數(shù)值。這類公式存在嗎？在貝利–博溫–普勞夫公式發(fā)現(xiàn)之前，也沒人覺得在二進(jìn)制里會有可以計(jì)算單個(gè)位數(shù)上的值的公式。

五 ?“化圓為方”可能嗎？

古希臘人尋找過一種化圓為方的幾何作圖法。所謂“化圓為方”是指已知圓形的面積，求作與其面積相同的正方形的邊。人們最終證明，它和三等分角和倍立方體一樣，僅用尺規(guī)作圖是無法做到的。證明的關(guān)鍵是知道π是哪種數(shù)。

我們已經(jīng)知道，π不是有理數(shù)。有理數(shù)的下一類是代數(shù)數(shù)，它滿足系數(shù)是整數(shù)的多項(xiàng)式方程。例如，是代數(shù)數(shù)，它滿足方程 x2= 2。不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)被稱為超越數(shù)，而第一個(gè)證明了π是無理數(shù)的蘭貝特在1761年猜測，π實(shí)際上是超越數(shù)。

時(shí)隔112 年，查爾斯·埃爾米特于1873 年在這個(gè)問題上取得了第一次重大突破，他證明了，在數(shù)學(xué)里的另一個(gè)奇妙數(shù)——自然對數(shù)的底e是超越數(shù)。1882年，費(fèi)迪南德·馮·林德曼通過改進(jìn)埃爾米特的方法，證明了如果一個(gè)非零數(shù)是代數(shù)數(shù)，那么e的該數(shù)次方也是超越數(shù)。接著，他利用了歐拉公式，即eiπ=?1 。如果π 是代數(shù)數(shù)，那么iπ 也是。因此，根據(jù)林德曼定理可知，?1不滿足代數(shù)方程。然而，它顯然是滿足代數(shù)方程的，如方程 x+1= 0。唯一避免這一邏輯矛盾的方法就是，π不滿足代數(shù)方程，也就是說，它是超越數(shù)。

這個(gè)定理帶來的一個(gè)重要影響就是，它解答了化圓為方這個(gè)古代幾何問題。該問題討論了，如何只用直尺和圓規(guī)構(gòu)造一個(gè)與圓形面積相同的正方形。這等價(jià)于利用長度為1 的線段構(gòu)造出長度為π的線段。根據(jù)解析幾何，用這種方法構(gòu)造出來的數(shù)必須是代數(shù)數(shù)。由于π不是代數(shù)數(shù)，所以這種構(gòu)造方法不存在。

但是，即便在今天，這一結(jié)論并沒有讓某些人停止尋找尺規(guī)作圖的方法。這些人似乎不明白，數(shù)學(xué)上的“不可能”意味著什么。這個(gè)困惑長久以來一直存在。1872 年，德摩根寫了一部名為《悖論集》（A Budget of Paradoxes）的著作，他在書中指出了許多所謂“化圓為方”方法的錯(cuò)誤，并把它們比作成群的蒼蠅在大象周圍飛舞，嗡嗡地叫著“我比你大”。但在 1992 年，安德伍德·達(dá)德利在《數(shù)學(xué)狂怪》（Mathematical Cranks）一書里仍繼續(xù)著尺規(guī)作圖的任務(wù)。他想盡辦法用其他工具探索如何在幾何上近似π，希望找到構(gòu)造它的方法。但請你明白，嚴(yán)格來說，傳統(tǒng)意義上的尺規(guī)作圖方法是不存在的。

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作者簡介

伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart），數(shù)學(xué)家，英國皇家學(xué)會會員，曾獲英國皇家學(xué)會的“法拉第獎(jiǎng)?wù)隆?。他著有多部?yōu)秀的暢銷數(shù)學(xué)科普作品，如《改變世界的十七個(gè)方程》《數(shù)學(xué)萬花筒》系列等。