2.2 讓B樹插入和刪除操作變得"專業(yè)"和"有趣" ???? B樹是一種非常有趣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它擁有強(qiáng)大的插入和刪除操作。在接下來的解答中，我們將通過一個精彩的示例來詳細(xì)介紹B樹的插入（insert）和刪除（delete）操作。 首先，讓我們回顧一下m階B樹的基本特性： 每個節(jié)點(diǎn)最多包含m個孩子，其中m滿足：ceil(m/2)<=m<=m。

除根節(jié)點(diǎn)和葉子節(jié)點(diǎn)外，其他節(jié)點(diǎn)至少有[ceil(m / 2)]個孩子。

若根節(jié)點(diǎn)不是葉子節(jié)點(diǎn)，則至少有2個孩子。

所有葉子節(jié)點(diǎn)都在同一層，不包含任何關(guān)鍵字信息。

每個非葉子節(jié)點(diǎn)中包含n個關(guān)鍵字信息：(n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)，其中Ki (i=1...n)為關(guān)鍵字，Pi為指向子樹根的節(jié)點(diǎn)，且指針P(i-1)指向子樹中所有節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字都小于Ki，但都大于K(i-1)。

現(xiàn)在，讓我們通過一個5階B樹的實例來具體說明這些操作。我們將使用大寫字母表示關(guān)鍵字，并按字母升序排序它們。 c++ Copy code

typedef

struct

{

int

Count;

// 當(dāng)前節(jié)點(diǎn)中關(guān)鍵元素數(shù)量

ItemType Key[

4

];

// 存儲關(guān)鍵字的數(shù)組

long

Branch[

5

];

// 偽指針數(shù)組，(記錄數(shù)量)方便判斷合并和分裂的情況

} NodeType;

1. 插入（insert）操作 插入一個元素時，首先在B樹中查找是否存在。如果不存在，我們在葉子節(jié)點(diǎn)結(jié)束并在葉子節(jié)點(diǎn)中插入新元素。如果葉子節(jié)點(diǎn)的空間足夠，我們只需要右移大于新插入關(guān)鍵字的元素。如果空間不夠，我們需要進(jìn)行“分裂”操作，將一半的關(guān)鍵字元素分裂到新的相鄰右節(jié)點(diǎn)中，同時將中間關(guān)鍵字元素上移到父節(jié)點(diǎn)中。如果父節(jié)點(diǎn)空間不夠，同樣需要“分裂”操作，導(dǎo)致樹的高度增加一層。 讓我們通過一個實例來說明插入操作。我們逐步插入以下字母到一個空的5階B樹中：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S。 首先，節(jié)點(diǎn)空間足夠，四個字母都插入同一個節(jié)點(diǎn)中。當(dāng)我們嘗試插入H時，節(jié)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)空間不夠，因此將其分裂成兩個節(jié)點(diǎn)，并將中間元素G移到新的根節(jié)點(diǎn)中。在這個過程中，我們保留了A和C在當(dāng)前節(jié)點(diǎn)中，將H和N放入新的右側(cè)鄰居節(jié)點(diǎn)中。 接下來，插入E、K和Q時，沒有分裂操作。 插入M時需要一次分裂，注意M正好是中間關(guān)鍵字元素，上移至父節(jié)點(diǎn)中。 插入F、W、L和T時，都不需要分裂操作。 插入Z時，最右側(cè)葉子節(jié)點(diǎn)的空間不足，需要進(jìn)行分裂操作。中間關(guān)鍵字元素T上移至父節(jié)點(diǎn)中，這個分裂結(jié)果導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)包含兩個關(guān)鍵字元素。 插入D時，最左側(cè)葉子節(jié)點(diǎn)被分裂，D也是中間元素，上移到父節(jié)點(diǎn)中，然后字母P、R、X和Y陸續(xù)插入，不需要分裂操作（記住，最多5個孩子）。 最后，插入S時，含有N、P和Q的節(jié)點(diǎn)需要分裂。將中間元素Q上移到父節(jié)點(diǎn)中。但這時父節(jié)點(diǎn)的空間已滿，所以需要進(jìn)行分裂操作，將父節(jié)點(diǎn)中的中間元素M上移到新形成的根節(jié)點(diǎn)中。這導(dǎo)致樹的高度減少了一層。 以上操作完美展示了B樹的插入過程，希望這個示例能夠幫助你更好地理解B樹的插入操作。 2. 刪除（delete）操作 首先，查找B樹中需要刪除的元素，如果存在，則在相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)中執(zhí)行刪除操作。如果刪除后，節(jié)點(diǎn)仍然有左右孩子節(jié)點(diǎn)，則將某個相鄰元素上移至父節(jié)點(diǎn)中（通常是“左孩子最右邊的節(jié)點(diǎn)”或“右孩子最左邊的節(jié)點(diǎn)”），然后執(zhí)行相應(yīng)的移動操作。 如果節(jié)點(diǎn)中的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量少于ceil(m/2)-1，則需要查看其某個相鄰兄弟節(jié)點(diǎn)是否豐滿（關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量大于ceil(m/2)-1）。如果相鄰兄弟節(jié)點(diǎn)滿足條件，可以向父節(jié)點(diǎn)借一個元素，然后將兄弟節(jié)點(diǎn)中相應(yīng)元素上移至父節(jié)點(diǎn)，兄弟節(jié)點(diǎn)中的元素進(jìn)行前移或后移。 如果沒有滿足條件的相鄰兄弟節(jié)點(diǎn)，那么需要將該節(jié)點(diǎn)與某個相鄰兄弟節(jié)點(diǎn)合并成一個節(jié)點(diǎn)，然后將中間元素上移至父節(jié)點(diǎn)中。 讓我們通過以下示例進(jìn)一步詳細(xì)討論刪除操作。這是一棵不同的5序B樹，讓我們嘗試刪除字母C。 首先，刪除元素C，首先查找C，C位于葉子節(jié)點(diǎn)中，該葉子節(jié)點(diǎn)中元素數(shù)量為3，大于最小元素數(shù)量ceil(m/2)-1=2，因此操作很簡單，我們只需要將K移至原C的位置，將L移至K的位置（即節(jié)點(diǎn)中刪除元素后面的元素向前移動）。 接下來，刪除T，因為T不在葉子節(jié)點(diǎn)中，而在中間節(jié)點(diǎn)中找到。我們找到它的繼承者W（字母升序的下一個元素），將W移到T的位置，然后刪除原包含W的孩子節(jié)點(diǎn)中的W。這里需要注意，刪除W后，該孩子節(jié)點(diǎn)中的元素數(shù)量大于2，無需合并操作。 接下來刪除R，導(dǎo)致葉子節(jié)點(diǎn)中只剩下一個元素，少于最小元素數(shù)量ceil(5/2)-1=2，同時其相鄰兄弟節(jié)點(diǎn)也不滿足條件。因此，我們需要將該節(jié)點(diǎn)與其相鄰兄弟節(jié)點(diǎn)合并成一個節(jié)點(diǎn)。首先，將父節(jié)點(diǎn)中的D下移到已刪除E但只有F的節(jié)點(diǎn)中，然后將含有D和F的節(jié)點(diǎn)與含有A和C的相鄰兄弟節(jié)點(diǎn)合并成一個節(jié)點(diǎn)。 也許你認(rèn)為這個刪除操作已經(jīng)結(jié)束，但實際上還有一個問題。查看上圖，你會發(fā)現(xiàn)父節(jié)點(diǎn)只包含一個元素G，不滿足條件（因為除根節(jié)點(diǎn)之外的節(jié)點(diǎn)，包括葉子節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量必須滿足2=