不想埋頭傻算，那就來改造命題（2020北京卷圓錐曲線）

2022-07-12 21:58 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2020北京，20）已知橢圓 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ 過點(diǎn) $A%5Cleft(%20-2%2C-1%20%5Cright)%20$ ，且 $a%3D2b$ .

（1）求橢圓 $C$ 的方程；

（2）過點(diǎn) $B%5Cleft(%20-4%2C0%20%5Cright)%20$ 的直線 $l$ 交橢圓 $C$ 于點(diǎn) $M$ 、 $N$ ，直線 $MA$ 、 $NA$ 分別交直線 $x%3D-4$ 于點(diǎn) $P$ 、 $Q$ .求 $%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20PB%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20BQ%20%5Cright%7C%7D$ 的值.

解：（1）由題可知 $%5Cfrac%7B4%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ ，

又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=a%3D2b" alt="a%3D2b">，

二者聯(lián)立，解得 $a%3D2%5Csqrt%7B2%7D%20$ ， $b%3D%5Csqrt%7B2%7D%20$ ，

所以橢圓 $C$ 的方程為 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B8%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B2%7D%3D1$ .

（2）先畫個(gè)圖

先猜再證： $%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20PB%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20BQ%20%5Cright%7C%7D%3D1$ ，

其等價(jià)于 $y_P%2By_Q%3D2y_B$ ，

若上式成立，則

$%5Cbegin%7Baligned%7D%09k_%7BPA%7D%2Bk_%7BQA%7D%26%3D%5Cfrac%7By_P-y_A%7D%7Bx_P-x_A%7D%2B%5Cfrac%7By_Q-y_A%7D%7Bx_Q-x_A%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7By_P-y_A%7D%7Bx_B-x_A%7D%2B%5Cfrac%7By_Q-y_A%7D%7Bx_B-x_A%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7By_P%2By_Q-2y_A%7D%7Bx_B-x_A%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7B2y_B-2y_A%7D%7Bx_B-x_A%7D%5C%5C%09%26%3D2%5Ccdot%20%5Cfrac%7By_B-y_A%7D%7Bx_B-x_A%7D%5C%5C%09%26%3D2k_%7BBA%7D%3D-1%5C%5C%5Cend%7Baligned%7D$

故只需證 $k_%7BPA%7D%2Bk_%7BQA%7D%3D-1$ ，

即證 $k_%7BMA%7D%2Bk_%7BNA%7D%3D-1$ .

下面開證（方法：齊次化聯(lián)立）

先改寫橢圓 $C$ 的方程：

$%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2-4x-4%7D%7B8%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B1%20%5Cright)%20%5E2-2y-1%7D%7B2%7D%3D1$ ，

再整理一下：

設(shè)直線 $l$ 的方程為

$m%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%2Bn%5Cleft(%20y%2B1%20%5Cright)%20%3D1$

（先保證其不過點(diǎn) $A$ ）

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=l" alt="l">過點(diǎn) $B$ ，（再保證其必過點(diǎn) $B$ ）

所以 $m%5Cleft(%20-4%2B2%20%5Cright)%20%2Bn%5Cleft(%200%2B1%20%5Cright)%20%3D1$ ，

整理得 $n%3D2m%2B1$ ，

所以 $l$ 的方程為

$m%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%2B%5Cleft(%202m%2B1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y%2B1%20%5Cright)%20%3D1$ .

聯(lián)立橢圓 $C$ 與直線 $l$ ，得

$%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B8%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B1%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B2%7D-%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%2B%5Cleft(%20y%2B1%20%5Cright)%20%5Cright%5D%20%5Cleft%5B%20m%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%2B%5Cleft(%202m%2B1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y%2B1%20%5Cright)%20%5Cright%5D%20%3D0$ ，

展開，

$%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B8%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B1%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2-%5Cleft(%202m%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y%2B1%20%5Cright)%20-%5Cleft(%202m%2B1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y%2B1%20%5Cright)%20%5E2%3D0$ ，

并項(xiàng)，

$%5Cleft(%202m%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y%2B1%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%202m%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y%2B1%20%5Cright)%20%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm-%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%20%5Cright)%20%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2%3D0$ ，

各項(xiàng)同除以 $%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2$ ，

$%5Cleft(%202m%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7By%2B1%7D%7Bx%2B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%202m%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7By%2B1%7D%7Bx%2B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm-%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%3D0$ ，

再修飾一哈：

$%5Cleft(%20%5Cfrac%7By%2B1%7D%7Bx%2B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cfrac%7By%2B1%7D%7Bx%2B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B4m-1%7D%7B4m%2B1%7D%3D0$ ，

（竟然頗具美感！）

顯然

$k_%7BAM%7D%2Bk_%7BAN%7D%3D%5Cfrac%7By_1%2B1%7D%7Bx_1%2B2%7D%2B%5Cfrac%7By_2%2B1%7D%7Bx_2%2B2%7D%3D-1$ ，

如此，證畢！

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