開普勒三大定律推導(dǎo)

2023-09-21 04:39 作者:幻想元旦 0人讀過 | 我要投稿

根據(jù)牛頓萬有引力定律，行星繞行過程中的受到來自恒星的引力為

$%5Cmathbf%7BF%7D%3D-G%5Cfrac%7BMm%7D%7Br%5E2%7D%5Chat%7B%5Cmathbf%7Br%7D%7D$ ,

又根據(jù)牛頓第二定律：

$%5Cmathbf%7BF%7D%3Dm%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5E2%5Cmathbf%7Br%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5E2%7D$ ,

得到加速度與萬有引力之間的關(guān)系：

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5E2%5Cmathbf%7Br%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5E2%7D%3D-G%5Cfrac%7BM%7D%7Br%5E2%7D%5Chat%7B%5Cmathbf%7Br%7D%7D%0A%09$ ．

選用極坐標(biāo)，恒星所在位置為極點(diǎn)，恒星到行星的距離為極徑．行星的坐標(biāo)就可以表示為 $%5Cleft(r%2C%5C%2C%5Ctheta%5Cright)$ ，滿足：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%09r%5E2%3Dx%5E2%2By%5E2%5C%5C%0A%09x%3Dr%5Ccos%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09y%3Dr%5Csin%20%5Ctheta%5C%5C%0A%5Cend%7Bcases%7D$ ，

所以從恒星位置出發(fā)，指向行星位置的位置向量就可以表示為

$%5Cmathbf%7Br%7D%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09r%5Ccos%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09r%5Csin%20%5Ctheta%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%20$ ，

值得注意的是 $r$ 和 $%5Ctheta$ 都是關(guān)于 $t$ 的函數(shù)． $%5Cmathbf%7Br%7D$ 的單位向量可以寫成

$%5Chat%7B%5Cmathbf%7Br%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathbf%7Br%7D%7D%7Br%7D%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09%5Ccos%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09%5Csin%20%5Ctheta%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%20$ ．

$%5Cmathbf%7Br%7D$ 對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)就是行星的速度向量，二階導(dǎo)數(shù)就是加速度向量，所以有

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cmathbf%7Br%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09%09%5Cdot%7Br%7D%5Ccos%20%5Ctheta%20-r%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Csin%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09%09%5Cdot%7Br%7D%5Csin%20%5Ctheta%20%2Br%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Ccos%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%20$

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5E2%5Cmathbf%7Br%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5E2%7D%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09%09%5Cddot%7Br%7D%5Ccos%20%5Ctheta%20-2%5Cdot%7Br%7D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Csin%20%5Ctheta%20-r%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Ccos%20%5Ctheta%20-r%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Csin%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09%09%5Cddot%7Br%7D%5Csin%20%5Ctheta%20%2B2%5Cdot%7Br%7D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Ccos%20%5Ctheta%20-r%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Csin%20%5Ctheta%20%2Br%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Ccos%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D$ ．

把這個(gè)加速度代回上面萬有引力的那個(gè)方程：

$%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09%09%5Cddot%7Br%7D%5Ccos%20%5Ctheta%20-2%5Cdot%7Br%7D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Csin%20%5Ctheta%20-r%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Ccos%20%5Ctheta%20-r%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Csin%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09%09%5Cddot%7Br%7D%5Csin%20%5Ctheta%20%2B2%5Cdot%7Br%7D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Ccos%20%5Ctheta%20-r%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Csin%20%5Ctheta%20%2Br%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Ccos%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%20%3D-G%5Cfrac%7BM%7D%7Br%5E2%7D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09%09%5Ccos%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09%09%5Csin%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D$ ．

兩向量相等當(dāng)且僅當(dāng)各個(gè)分量分別相等，所以有

$%5Cddot%7Br%7D%5Ccos%20%5Ctheta%20-2%5Cdot%7Br%7D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Csin%20%5Ctheta%20-r%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Ccos%20%5Ctheta%20-r%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Csin%20%5Ctheta%20%3D-G%5Cfrac%7BM%7D%7Br%5E2%7D%5Ccos%20%5Ctheta%20$

$%5Cddot%7Br%7D%5Csin%20%5Ctheta%20%2B2%5Cdot%7Br%7D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Ccos%20%5Ctheta%20-r%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Csin%20%5Ctheta%20%2Br%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Ccos%20%5Ctheta%20%3D-G%5Cfrac%7BM%7D%7Br%5E2%7D%5Csin%20%5Ctheta%20$ ．

經(jīng)過一些簡(jiǎn)單的消元（主要利用 $%5Ccos%5E2%5Ctheta%2B%5Csin%5E2%5Ctheta%3D1$ ），可以得到

$2%5Cdot%7Br%7D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%2Br%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%3D0$

$%5Cddot%7Br%7D-r%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%3D-G%5Cfrac%7BM%7D%7Br%5E2%7D$ ．

第二定律：行星在繞行恒星過程中，單位時(shí)間內(nèi)與恒星連線掃過的面積為定值．

考慮繞行過程中行星的角動(dòng)量為 $L%3Dmr%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta%7D$ ，因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=2%5Cdot%7Br%7D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%2Br%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%3D0" alt="2%5Cdot%7Br%7D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%2Br%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%3D0">，角動(dòng)量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是

$%5Cdot%7BL%7D%3Dm%5Cleft(%202r%5Cdot%7Br%7D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%2Br%5E2%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20%5Cright)%20%3Dmr%5Cleft(%202%5Cdot%7Br%7D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%2Br%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20%5Cright)%20%3D0$ ．

導(dǎo)數(shù)值恒為０，說明角動(dòng)量不隨時(shí)間變化（也可以通過作用在行星上的力矩為０來思考，角動(dòng)量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是力矩，引力所在直線經(jīng)過恒星的位置，也就是力臂為０）．在很短的一段時(shí)間 $%5Cmathrm%7Bd%7Dt$ 內(nèi)，連線掃過的面積 $%5Cmathrm%7Bd%7DS$ 可以看成一個(gè)頂角為 $%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta$ ，兩腰長(zhǎng)為 $r$ 的等腰三角形（也可以看成一個(gè)扇形，跳過等價(jià)無窮小代換直接得到下面的方程）．根據(jù)三角形的面積公式

$%5Cmathrm%7Bd%7DS%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Csin%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta$ ，

當(dāng) $%5Ctheta$ 很小時(shí)， $%5Csin%5Ctheta%5Capprox%20%5Ctheta$ ，這里的 $%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta$ 就是一個(gè)很小的角度，所以

$%5Cmathrm%7Bd%7DS%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta$ ．

兩邊同時(shí)除以 $%5Cmathrm%7Bd%7Dt$ 就可以得到面積關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)了：

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7DS%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5C%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta%7D$ ．

根據(jù)上面的角動(dòng)量表達(dá)式， $r%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%3D%5Cfrac%7BL%7D%7Bm%7D$ ，因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=L" alt="L">為定值，所以

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7DS%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cfrac%7BL%7D%7B2m%7D$

為一定值，即掃過的面積關(guān)于時(shí)間的變化率是常數(shù)．經(jīng)過簡(jiǎn)單的積分計(jì)算就可以得到

$%5CDelta%20S%3D%5Cfrac%7BL%7D%7B2m%7D%5CDelta%20t$ ，

當(dāng) $%5CDelta%20t$ 為定值時(shí) $%5CDelta%20S$ 顯然為定值，即單位時(shí)間內(nèi)連線掃過面積為定值，符合開普勒第二定律．

第一定律：行星繞恒星運(yùn)動(dòng)的軌跡為橢圓．

要找到行星運(yùn)動(dòng)的極坐標(biāo)方程，其實(shí)就是要找到極徑 $r$ 與輻角 $%5Ctheta$ 的關(guān)系．證明第二定律用到的都是關(guān)于 $t$ 的導(dǎo)數(shù)，所以就需要找出關(guān)于 $t$ 求導(dǎo)與關(guān)于 $%5Ctheta$ 求導(dǎo)之間的關(guān)系．借助萊布尼茨的記號(hào)，很容易就可以得到

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%7D%5C%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%0Ad%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%7D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D$ ，

所以 $r$ 關(guān)于 $t$ 的導(dǎo)數(shù)為

$%5Cdot%7Br%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dr%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%7D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D$

$%5Cddot%7Br%7D%3D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5E2r%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%5E2%7D$ ．

將這個(gè)關(guān)系代入 $%5Cddot%7Br%7D-r%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%3D-G%5Cfrac%7BM%7D%7Br%5E2%7D$ ，可以得到

$%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5E2r%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%20%5E2%7D-r%20%5Cright)%20%3D-G%5Cfrac%7BM%7D%7Br%5E2%7D$ ．

再次根據(jù)第二定律中得到的角動(dòng)量， $L%3Dmr%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta%7D$ ，可以得到 $%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%3D%5Cfrac%7BL%7D%7Bmr%5E2%7D$ ．上式中的 $%5Cdot%7B%5Ctheta%7D$ 就可以被換掉，這樣就得到了一個(gè)只含有 $r$ 和 $%5Ctheta$ 的微分方程：

$%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7Bm%5E2r%5E2%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5E2r%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%20%5E2%7D-r%20%5Cright)%20%3D-GM$ ．

解這個(gè)微分方程就可以得到極坐標(biāo)方程了．比較便捷的方法是換元，令 $u%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D$ ，可以得到 $-%5Cfrac%7B1%7D%7Bu%5E2%7D%5C%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5E2u%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%20%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5E2r%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%20%5E2%7D$ ，將其代入上面的微分方程得到一個(gè)關(guān)于 $u$ 的新微分方程：

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5E2u%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%20%5E2%7D%2Bu%3D%5Cfrac%7BGMm%5E2%7D%7BL%5E2%7D$ ．

令 $u%3Du_%7B%5Cmathrm%7Bn%7D%7D%2Bu_%7B%5Cmathrm%7Bp%7D%7D$ ，其中 $u_%7B%5Cmathrm%7Bp%7D%7D$ 是一個(gè)滿足此方程的常數(shù)，所以有

$u_%7B%5Cmathrm%7Bp%7D%7D%3D%5Cfrac%7BGMm%5E2%7D%7BL%5E2%7D$ ．

方程轉(zhuǎn)化為

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5E2u_%7B%5Cmathrm%7Bn%7D%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%20%5E2%7D%2Bu_%7B%5Cmathrm%7Bn%7D%7D%3D0$ ．

$u_%7B%5Cmathrm%7Bn%7D%7D$ 顯然就是正余弦的線性組合了：

$u_%7B%5Cmathrm%7Bn%7D%7D%3DC_1%5Ccos%20%5Ctheta%20%2BC_2%5Csin%20%5Ctheta%20%3DC%5Ccos%20%5Cleft(%20%5Ctheta%20%2B%5Cphi%20_0%20%5Cright)$ ．

所以

$u%3D%5Cfrac%7BGMm%5E2%7D%7BL%5E2%7D%2BC%5Ccos%20%5Cleft(%20%5Ctheta%20%2B%5Cphi%20_0%20%5Cright)$ ，

其中 $C%3D%5Csqrt%7BC_1%5E2%2BC_2%5E2%7D$ ，為一常數(shù)，這個(gè)常數(shù)需要由 $%5Cphi_0$ 決定，滿足

$%5Ctan%5Cphi_0%3D%5Cfrac%7BC_1%7D%7BC_2%7D$ ．

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=u%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D" alt="u%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D">，所以

$r%3D%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7BGMm%5E2%7D%5Cleft(%201%2B%5Cfrac%7BCL%5E2%7D%7BGMm%5E2%7D%5Ccos%20%5Cleft(%20%5Ctheta%2B%5Cphi_0%20%5Cright)%20%5Cright)%20%5E%7B-1%7D$ ．

參考圓錐曲線的極坐標(biāo)方程： $r%3D%5Cfrac%7Bl%7D%7B1%2Be%5Ccos%5Ctheta%7D$ （ $l$ 是半通徑的長(zhǎng)度，以其中一焦點(diǎn)為極點(diǎn)），形式完全一致，故行星繞恒星的運(yùn)動(dòng)軌跡為一圓錐曲線，恒星落于該圓錐曲線的其中一個(gè)焦點(diǎn)上，其離心率 $e%3D%5Cfrac%7BCL%5E2%7D%7BGMm%5E2%7D%5Cin%5Cleft%5B0%2C%5C%2C%2B%5Cinfty%5Cright)$ ，?半通徑長(zhǎng)為 $%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7BGMm%5E2%7D$ ． $%5Cphi_0$ 會(huì)使該圓錐曲線的長(zhǎng)軸（橢圓）或?qū)ΨQ軸（拋物線）或?qū)嵼S（雙曲線）偏離極軸．由于當(dāng) $e%5Cin%5Cleft%5B1%2C%5C%2C%2B%5Cinfty%5Cright)$ 時(shí)，曲線為拋物線或雙曲線，行星在這種情況下并不會(huì)繞行恒星，而是會(huì)在偏轉(zhuǎn)一定的角度之后直接逃逸，所以一般只討論 $e%5Cin%5Cleft%5B0%2C%5C%2C1%5Cright)$ 的情況，此情況下的繞行曲線為橢圓（圓即為兩焦點(diǎn)重合的橢圓），符合開普勒第一定律．

第三定律：橢圓軌道半長(zhǎng)軸的三次方與繞行周期的二次方的比值為定值．

根據(jù)第二定律， $%5CDelta%20S%3D%5Cfrac%7BL%7D%7B2m%7D%5CDelta%20t$ ，若選定某點(diǎn)作為起始點(diǎn)，此時(shí)連線掃過的面積為0，則當(dāng)行星繞行一周后，掃過的面積就應(yīng)該為整個(gè)橢圓的面積 $S%3D%5Cpi%20a%20b$ （圓即為滿足 $a%3Db%3Dr$ 的橢圓），所以繞行周期應(yīng)該為

$T%3D%5Cfrac%7B2mS%7D%7BL%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%20abm%7D%7BL%7D$ ．

根據(jù)第一定律得出的半通徑長(zhǎng)為 $%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7BGMm%5E2%7D$ ，而根據(jù)一些基本的圓錐曲線知識(shí)，半通徑長(zhǎng)也可以寫成 $%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7Ba%7D$ 或者 $a%5Cleft(1-e%5E2%5Cright)$ ，橢圓的半長(zhǎng)軸和半短軸就分別為

$a%3D%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7BGMm%5E2%5Cleft(%201-e%5E2%20%5Cright)%7D$

$b%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%5E2a%7D%7BGMm%5E2%7D%7D%3D%5Cfrac%7BL%7D%7Bm%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Ba%7D%7BGM%7D%7D$ ．

將這兩個(gè)代回上面的周期，就可以得到

$T%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%20L%5E2%7D%7BGMm%5E2%5Cleft(%201-e%5E2%20%5Cright)%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Ba%7D%7BGM%7D%7D$ ．

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得

$%5Cfrac%7BT%5E2%7D%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi%20%5E2L%5E4%7D%7BG%5E3M%5E3m%5E4%5Cleft(%201-e%5E2%20%5Cright)%20%5E2%7D$ ，

所以有

$%5Cfrac%7Ba%5E3%7D%7BT%5E2%7D%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7BT%5E2%2Fa%7D%3D%5Cfrac%7BGM%7D%7B4%5Cpi%20%5E2%7D$ ．

當(dāng)被繞行的恒星不發(fā)生變化，即 $M$ 為定值時(shí)， $%5Cfrac%7Ba%5E3%7D%7BT%5E2%7D$ 為定值，符合開普勒第三定律．

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