????在集合的形式化中，我們通過(guò)等價(jià)類構(gòu)造出了基數(shù)，并討論了基數(shù)的序與運(yùn)算的一些基本性質(zhì)?，F(xiàn)在，基于目前的自然數(shù)的理論，我們可以得到關(guān)于基數(shù)的更多的內(nèi)容。

????每一個(gè)自然數(shù)都可以通過(guò)以下的方式對(duì)應(yīng)到一個(gè)基數(shù)，這里用后綴".c"表示。例如，0.c、1.c、2.c 都是基數(shù)。

????現(xiàn)在我們已經(jīng)可以用自然數(shù)來(lái)表達(dá)出一些具體的基數(shù)了，有以下定理：

????自然數(shù)到基數(shù)的對(duì)應(yīng)能保持大小關(guān)系不變。

????自然數(shù)對(duì)應(yīng)的基數(shù)之和等于自然數(shù)之和對(duì)應(yīng)的基數(shù)。

????自然數(shù)對(duì)應(yīng)的基數(shù)之積等于自然數(shù)之積對(duì)應(yīng)的基數(shù)。在證明這個(gè)定理時(shí)，需要用到帶余除法。

????自然數(shù)對(duì)應(yīng)的基數(shù)的乘方等于自然數(shù)的乘方對(duì)應(yīng)的基數(shù)。在證明這個(gè)定理時(shí)，需要用到進(jìn)位制。

????冪集的基數(shù)可以用以 2.c 為底的基數(shù)的乘方表示，這一結(jié)果大于原集合的基數(shù)。

????基數(shù)有有限和無(wú)限之分。可以被一個(gè)自然數(shù)對(duì)應(yīng)的基數(shù)是有限基數(shù)，其他的基數(shù)是無(wú)限基數(shù)?；鶖?shù)有限的集合是有限集，基數(shù)無(wú)限的集合是無(wú)限集。

????我們定義自然數(shù)類型的全集的基數(shù)為??？梢宰C明，一個(gè)基數(shù)是有限基數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它小于?。?是無(wú)限基數(shù)，我們稱其為可數(shù)無(wú)限。基數(shù)小于等于??的集合被稱為可數(shù)集，基數(shù)大于??的集合被稱為不可數(shù)集。

????其他的一些定理如下：

????基數(shù)相關(guān)的內(nèi)容非常豐富，這里寫出的僅僅是可能對(duì)后續(xù)的內(nèi)容有幫助并且在作者的能力范圍內(nèi)的。至此，自然數(shù)的部分告一段落，接下來(lái)我們將依次構(gòu)造整數(shù)、有理數(shù)，最終完成實(shí)數(shù)的構(gòu)造。