第十六章 中值定理（4）——柯西中值定理和洛必達(dá)法則

一、知識(shí)點(diǎn)

1. 柯西中值定理：
   ?

   01:38

   ?
2. 內(nèi)容：
3. 條件：若函數(shù)f(x),g(x): ①在[a,b]連續(xù) ②在(a,b)可導(dǎo) ③g'(x)在(a,b)內(nèi)不為0
4. 結(jié)論：則存在ξ屬于(a,b)，使得[f(b)-f(a)] / [g(b)-g(a)] = f'(ξ) / g'(ξ)
5. 注解：
6. 不能理解為使用兩次拉格朗日
   ?

   04:56

   ?
7. 為什么需要g'(x)不等于0？：
   ?

   14:04

   ?
8. 使g'(ξ)不等于0
9. 使g(b)-g(a)不等于0，否則就會(huì)存在一點(diǎn) C屬于(a,b)，使g'(C)=0，矛盾。
10. 從參數(shù)方程角度解釋柯西中值定理：
    ?

    15:25

    ?
11. 柯西中值定理的常見(jiàn)用法：
12. 常見(jiàn)用法1：
    ?

    21:08

    ?
13. ξ與參數(shù)并存，且參數(shù)可分離
14. 常見(jiàn)用法2：
    ?

    33:08

    ?
15. 雙中值，其中一個(gè)中值多次出現(xiàn)（主要矛盾）->將該中值集中起來(lái)
16. 記混淆的概念：
17. 牛頓-萊布尼茲公式：（見(jiàn)圖1）
18. 積分中值定理：（見(jiàn)圖2）
19. 柯西中值定理的一個(gè)具體應(yīng)用——洛必達(dá)法則：
    ?

    01:18:38

    ?
20. 內(nèi)容：
    ?

    01:24:29

    ?
    （a也可以替換成∞）
21. 條件：①x->a時(shí), f(x)->0, g(x)->0 或 f(x)->∞, g(x)->∞ ②在a的去心鄰域內(nèi), f'(x), g'(x)存在且g'(x)不等于0 ③lim[f'(x)/g'(x)] = A (或∞)
22. 結(jié)論：lim[f(x)/g(x)] = A (或∞)
23. 注解：
24. 洛必達(dá)法則條件較為苛刻：
    ?

    01:35:11

    ?
25. 0/0，無(wú)窮/無(wú)窮，或能轉(zhuǎn)化成0/0，無(wú)窮/無(wú)窮的極限
26. 7種未定式
27. 在a的去心鄰域內(nèi)f'(x), g'(x)存在=>說(shuō)明f(x), g(x)連續(xù)：
    ?

    01:40:47

    ?
28. 不能用洛必達(dá)的一個(gè)經(jīng)典例子：
    ?

    01:41:30

    ?
29. 洛必達(dá)法則是后驗(yàn)的：
    ?

    01:46:01

    ?
30. 化簡(jiǎn)先行，打組合拳：
    ?

    01:53:53

    ?
31. 等價(jià)代換、非零定式因子、有理化、因式分解...
32. 1^∞型極限三部曲：
    ?

    02:14:18

    ?
33. 第一步：[1+f(x)]^g(x)，其中，f->0，g->∞
34. 第二步：求lim f·g = A
35. 第三步：原式= e^A
36. 無(wú)窮大比較：
37. 函數(shù)極限：
    ?

    02:31:58

    ?
    （見(jiàn)圖3）
38. 數(shù)列極限：
    ?

    02:34:49

    ?
    （見(jiàn)圖4）

圖1：牛頓-萊布尼茲公式

圖2：積分中值定理

圖3：無(wú)窮大比較——函數(shù)

圖4：無(wú)窮大比較——數(shù)列

二、證明

1. 證明柯西中值定理：
   ?

   08:21

   ?
   （構(gòu)造函數(shù)這一步多體會(huì)體會(huì)）
2. 使用常見(jiàn)用法1證明的題：
   ?

   22:58

   ?
3. 使用常見(jiàn)用法2證明的題：
   ?

   34:41

   ?
   （多聽(tīng)?zhēng)妆椋?/li>
4. 按兩個(gè)中值來(lái)做的方法、按三個(gè)中值來(lái)做的方法
5. 使用常見(jiàn)用法2證明的題：
   ?

   48:38

   ?
6. 使用常見(jiàn)用法2證明的題：
   ?

   54:52

   ?
7. 使用常見(jiàn)用法2證明的題(稍微綜合了一點(diǎn))：
   ?

   01:01:26

   ?
8. 證明洛必達(dá)法則：
   ?

   01:28:31

   ?

三、計(jì)算

1. 極限計(jì)算：
   ?

   02:13:20

   ?
2. 1^∞型極限三部曲
3. 當(dāng)x->+∞時(shí)，求(x·tan(1/x)-1)·x^2
4. 極限計(jì)算：
   ?

   02:23:57

   ?
5. 為什么把α放在實(shí)數(shù)域里也成立？
   ?

   02:26:59

   ?
6. 根據(jù)無(wú)窮大比較結(jié)論口算極限：
   ?

   02:32:18

   ?
7. 已知函數(shù)極限求參數(shù)：
   ?

   02:41:52

   ?
8. 無(wú)窮小量分出法。
   ?

   02:44:60

   ?
9. 經(jīng)典運(yùn)用洛必達(dá)法則的錯(cuò)誤：
   ?

   02:50:51

   ?