補發(fā)昨天的經(jīng)濟(jì)學(xué)部分，昨晚感冒頭疼得太難受，所以十二點就關(guān)燈睡覺了。今天吃了一大堆感冒藥，終于好一些了。

對于間接效用函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，我們把這一講介紹的經(jīng)濟(jì)學(xué)概念梳理完再聊。

這是在直接效用函數(shù)、間接效用函數(shù)之后，出現(xiàn)的第三個重要的數(shù)學(xué)模型。

目標(biāo)問題——當(dāng)消費者面臨的價格給定時，為了達(dá)到給定的效用水平，如何花錢最??？——最低消費組合

圖線名稱——等花費線（isoexpenditure curve），同一條線上的花費水平相等，字母e表示花費水平。

以二維組合為例，兩種物品價格都是確定的，所以p1/p2不變。但是兩件物品的購買量是會變動的，即x1與x2是會變動的。e=p1*x1+p2*x2。

給定效用水平u，其相切的最靠下的等花費線所對應(yīng)的花費水平即為所求最小花費水平，切點即為對應(yīng)的消費計劃。

我們記價格向量為p的前提下，為滿足特定的效用水平u，所必需的最低花費為e（p，u）。

支出函數(shù)的定義為一個最小值函數(shù)——

e（p，u）=min（px），在u（x）>=u的前提下。

即在滿足最低效用水平為u的前提下，最小的消費量，因為價格向量p是確定的，所以這個問題就是一個單純的求消費計劃x的問題，即每件物品買多少能夠滿足要求的問題。

注：

如果我們一共買了n件商品——第一件商品價格p1，我們買了x1件；第二件商品價格p2，我們買了x2件；……；第n件商品價格pn，我們買了xn件——那么“花的錢”便是，p1x1+p2x2+……+pnxn，聯(lián)想到兩個向量的點乘便是對應(yīng)坐標(biāo)乘積之和，我們可以把消費總額表示成向量的形式px，其中：

a.“價格向量p”——一個n維向量，每個坐標(biāo)是該商品的價格，比如價格向量p=（p1，p2，……，pi，……，pn）中，pi是i商品的價格；

b.“消費計劃x”——一個n維向量，每個坐標(biāo)是該商品的計劃購買量，比如在消費計劃x=（x1，x2,……，xi，……，xn）中，xi是i商品的計劃購買量。

這個數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，比如，我們要去給食堂采購食物，食品的價格確定了，我們知道要維持每個人的營養(yǎng)均衡，每種營養(yǎng)成分每個人至少每天要攝取多少，這就是我們給定的效用水平；有些食物的營養(yǎng)成分是有重合部分的，所以滿足條件的消費組合有許多種；考慮怎樣買菜能夠讓大家吃得健康又最省錢，就可以用到這個模型。