量子計(jì)算 [5].ext -- 半傳統(tǒng)QFT & 化簡(jiǎn)相位估計(jì)

2021-04-26 10:27 作者:nyasyamorina 0人讀過(guò) | 我要投稿

本來(lái)這里說(shuō)到的內(nèi)容全部都是別人在研究shor算法時(shí)發(fā)明的技巧,? 但是稍微算了一下發(fā)現(xiàn)這些技巧都是通用的,? 就單獨(dú)拿出來(lái)說(shuō)了.

半傳統(tǒng)QFT

說(shuō)是QFT,? 但是很少會(huì)有QFT之后接測(cè)量的情況,? 所以這里只對(duì)IQFT進(jìn)行討論.? QFT也有類(lèi)似的結(jié)論,? 可以試著進(jìn)行推導(dǎo).

在相位估計(jì)里,? 電路的后半部分為IQFT+測(cè)量,? 即:

這里以已經(jīng)逆序的量子位為輸入,? 后面的雙線(xiàn)代表量子位測(cè)量后轉(zhuǎn)化為電信號(hào).??

假設(shè)在前面的相位估計(jì)電路里,? 需要測(cè)量的量子位數(shù)量剛好是相位 $%5Cvarphi$ 所需的精度,? 則輸入IQFT前的量子位為 $%7Ck_l%5Crangle%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D(%7C0%5Crangle%2Be(0.j_l%5Ccdots%20j_1)%7C1%5Crangle)$ .? 因?yàn)榍蠼饩葎偤脻M(mǎn)足 $%5Cvarphi$ 的位數(shù),? 所以根據(jù)H門(mén)的定義有:? $H%7Ck_1%5Crangle%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7DH(%7C0%5Crangle%2Be(0.j_1)%7C1%5Crangle)%3D%7Cj_1%5Crangle$ ,? 可以看到最下面的量子位通過(guò)H門(mén)后就已經(jīng)得到結(jié)果了,? 后續(xù)的控制方法都不會(huì)改變這個(gè)量子位的狀態(tài).? $%7Ck_2%5Crangle$ 的狀態(tài)在進(jìn)入QFT前為 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D(%7C0%5Crangle%2Be(0.j_2j_1)%7C1%5Crangle)$ ,? 逆相位旋轉(zhuǎn)門(mén)定義為 $R_t%5E%5Cdagger%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%260%5C%5C0%26e%5E%7B-2%5Cpi%20i2%5E%7B-t%7D%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%7C0%5Crangle%5Clangle0%7C%2Be(-2%5E%7B-t%7D)%7C1%5Crangle%5Clangle1%7C$ ,? 下面分情況討論j1為0和1的情況:? 如果j1=0,? 則R2逆門(mén)不作用在 $%7Ck_2%5Crangle$ 上,? 這時(shí)候有:? $%7Ck_2%5Crangle%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D(%7C0%5Crangle%2Be(0.j_20)%7C1%5Crangle)$ ;? 如果j1=1,? R2逆門(mén)作用在 $%7Ck_2%5Crangle$ 上,? 則有:? $R_2%5E%5Cdagger%7Ck_2%5Crangle%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D(%7C0%5Crangle%2Be(0.j_21)e(-0.01)%7C1%5Crangle)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D(%7C0%5Crangle%2Be(0.j_20)%7C1%5Crangle)$ .? 可以看到兩種情況都把 $%7Ck_2%5Crangle$ 變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%7C0%5Crangle%2Be(0.j_2)%7C1%5Crangle" alt="%7C0%5Crangle%2Be(0.j_2)%7C1%5Crangle">,? 作用H門(mén)后就得到 $%7Cj_2%5Crangle$ .? 對(duì)于其它量子位也有類(lèi)似的結(jié)論,? 這里也不廢話(huà)了.

可以看到對(duì)于任意一個(gè)量子位,? 狀態(tài)變化都為 $%7C0%5Crangle%2Be(0.j_l%5Ccdots%20j_1)%7C1%5Crangle%5Crightarrow%7C0%5Crangle%2Be(0.j_l)%7C1%5Crangle%5Crightarrow%7Cj_l%5Crangle$ ,? 不難看出,? 第一個(gè)步驟可以使用經(jīng)典電路實(shí)現(xiàn),? 即使用后l-1量子位的狀態(tài)確定第l個(gè)量子位的相位旋轉(zhuǎn),? 而后l-1量子位的狀態(tài)可以使用測(cè)量量子位獲得,? 根據(jù)這個(gè)思路設(shè)計(jì)出以下電路

其中R'是一個(gè)相位旋轉(zhuǎn)門(mén),? 定義為 $R%5E%7B'%7D_%5Cphi%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%260%5C%5C0%26e%5E%7B-2%5Cpi%20i%5Cphi%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ,? $%5Cphi_l%3D%5Cphi_%7Bl-1%7D%2F2%2Bj_%7Bj%7D%2F4%3B%5Cphi_0%3D0$ .? 最后測(cè)得目標(biāo)相位 $%5Cvarphi%3D2%5Cphi_%7Bn%7D$ .

對(duì)于精度不足的情況,? 半傳統(tǒng)QFT依然可以與IQFT+測(cè)量的方法以相同概率給出答案,? 其中包括最佳近似值或其他答案.? 證明過(guò)程小復(fù)雜,? 這里就不寫(xiě)了?[主要是懶得再打字],? 主要是因?yàn)闇y(cè)量時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)會(huì)坍縮至與測(cè)量結(jié)果有關(guān)的狀態(tài)里,? 而其他狀態(tài)則會(huì)消失.

一個(gè)相位量子位的相位估計(jì)

在使用半傳統(tǒng)QFT的相位估計(jì)電路里,? 每一個(gè)量子位都經(jīng)過(guò)5步:? 1) 控制位門(mén)U經(jīng)過(guò)作用在特征態(tài)上獲取相位; 2) 根據(jù)之前量子位的測(cè)量結(jié)果旋轉(zhuǎn)相位; 3) 經(jīng)過(guò)H門(mén)進(jìn)行干涉; 4) 測(cè)量;? 5) 退出程序前還原量子位.

不難看出在整個(gè)程序里,? 相位量子位之間沒(méi)有直接聯(lián)系,? 因?yàn)榭梢杂蓽y(cè)量結(jié)果重置量子位 [施加X(jué)門(mén)],? 且全局相位對(duì)計(jì)算和測(cè)量沒(méi)有影響.? 綜上所述,? 可以把整個(gè)程序由n個(gè)并行計(jì)算的量子位,? 重新排列為1個(gè)流水線(xiàn)過(guò)程的量子位,? 畫(huà)出電路: