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第 四?章? 向量組的線性相關(guān)性

&1.向量組及其線性組合

概念：

• n維向量：n個(gè)有次序的數(shù)a1,a2,...,an所組成的數(shù)稱為n維向量，這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量，第i個(gè)數(shù)ai稱為第i個(gè)分量。

• 實(shí)向量：分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量。

• 復(fù)向量：分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量。

• 點(diǎn)空間：幾何中，“空間”通常是作為點(diǎn)的集合，即作為“空間”的元素是點(diǎn)，這樣的空間叫做點(diǎn)空間。

• 三維向量空間：我們把3維向量的全體所組成的集合叫做三維向量空間；

  含義：在點(diǎn)空間取定坐標(biāo)系以后，空間中的點(diǎn)與3維向量之間有一一對應(yīng)的關(guān)系，因此，向量空間可以類比為取定了坐標(biāo)系的點(diǎn)空間。

  方法：在討論向量的運(yùn)算時(shí)，我們把向量看作有向線段；在討論向量集時(shí)，則把向量r看做以r為向徑的點(diǎn)P，從而把點(diǎn)P的軌跡作為向量集的圖形。

• n維向量空間：n維向量的全體所組成的集合

????——叫做n維向量空間。

• n-1維超平面：n維向量的集合

????——叫做n為向量空間中的n-1維超平面。

• 向量組：若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組。

• 向量組的線性組合：給定向量組A：a1,a2,...,am，對于任何一組實(shí)數(shù)k1,k2,...,kn，表達(dá)式

????——稱為向量組A的一個(gè)線性組合，k1,k2,...,kn稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。

• 向量b由向量組A線性表示：給定向量組A：a1,a2,...,am和向量b，如果存在一組數(shù) λ1, λ2,..., λm，使

????——?jiǎng)t向量b是向量組A線性組合，這時(shí)稱向量b能由向量組A線性表示；

????——向量b能由向量組A線性表示，也就是方程組

????——有解。

• 向量組B由向量組A線性表示：設(shè)有兩個(gè)向量組A：a1,a2,...,am及B：b1,b2,...,bl，若B組中的每個(gè)向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示。

• 向量組等價(jià)：若向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。?

定理：

1. 向量b是能由向量組A：a1,a2,...,am線性表示的充分必要條件是矩陣A=(a1,a2,...,am,)的秩等于矩陣B=(a1,a2,...,am,b)的秩。

2. 向量組B：b1,b2,...,bl能由向量組A：a1,a2,...,am線性表示的充分必要條件是矩陣A=(a1,a2,...,am)的秩等于矩陣(A,B)=(a1,a2,...,am，b1,b2,...,bl)的秩，即R(A)=R(A,B)。

3. 向量組A：a1,a2,...,am與向量組B：b1,b2,...,bl等價(jià)的充分必要條件是R(A)=R(B)=R(A,B)，其中A和B是向量組A和B所構(gòu)成的矩陣。

4. 設(shè)向量組B：b1,b2,...,bl能由向量組A：a1,a2,...,am線性表示，則R(b1,b2,...,bl)<=R(a1,a2,...,am)。

5. 法則：

&2.向量組的線性相關(guān)性

概念：

• 向量組線性相關(guān)：給定向量組A：a1,a2,...,am，如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,...,km，使

????——否則稱它為線性無關(guān)。

定理：

1. 向量組a1,a2,...,am線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A=(a1,a2,...,am)的秩小于向量個(gè)數(shù)m；向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)=m。

2. 向量組A：a1,a2,...,am線性相關(guān)，則向量組B：a1,a2,...,am,am+1也線性相關(guān)，反言之，若向量組B線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān)；

3. m個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān)，特別地，n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān)；

4. 設(shè)向量組A：a1,a2,...,am線性無關(guān)，而向量組B：a1,a2,...,am,b線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示式是惟一的。

&3.向量組的秩

概念：

• 向量組的秩：設(shè)有向量組A，如果在A中能選出r個(gè)向量a1,a2,...,ar，滿足

1. 向量組A0：a1,a2,...,ar線性無關(guān)；

2. 向量組A中任意r+1個(gè)向量（如果A中有r+1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)

——那么稱向量組A0是向量組A的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組（簡稱最大無關(guān)組）；最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)r稱為向量組A的秩，記作RA。

• 最大無關(guān)組：設(shè)向量組A0：a1,a2,...,ar是向量組A的一個(gè)部分組，且滿足

1. 向量組A0線性無關(guān)；

2. 向量組A的任一向量都能由向量組A0線性表示

——那么向量組A0便是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組。

定理：

1. 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。

2. 向量組b1,b2,...,bl能由向量組a1,a2,...,am線性表示充分必要條件是R(a1,a2,...,am)=R(a1,a2,...,am,b1,b2,...,bl)。

3. 若向量組B能由向量組A線性表示，則RB<=RA。

&4.線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

定理：設(shè)mxn矩陣A的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩RS=n-r。

性質(zhì)：

&5.向量空間

概念：

• 向量空間：設(shè)V為n維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對于向量的加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合V為向量空間。

• 向量空間的基、維數(shù)：設(shè)V為向量空間，如果r個(gè)向量a1,a2,...,ar∈V，且滿足

1. a1,a2,...,ar線性無關(guān)；

2. V中任一向量都可由a1,a2,...,ar線性表示

——那么，向量組a1,a2,...,ar就稱為向量空間V的一個(gè)基，r稱為向量空間V的維數(shù)，并稱V為r維向量空間。

• 坐標(biāo)：如果在向量空間V中取定一個(gè)基a1,a2,...,ar，那么V中任一向量x可唯一地表示為

????——數(shù)組λ1, λ2,..., λr稱為向量x在基a1,a2,...,ar中的坐標(biāo)。

• 自然基：在n維向量空間中取單位坐標(biāo)向量組e1,e2,...,en為基，則以x1,?x2,...,?xn為分量的向量x，可表示為——

????——可見向量在基e1,e2,...,en中的坐標(biāo)就是該向量的分量，因此，e1,e2,...,en叫做該向量空間的自然基。