本文編譯自+Plus網(wǎng)站

原文作者：Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

編譯作者：Math001

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維婭佐夫斯卡(Maryna Viazovska)是2022年菲爾茲獎(jiǎng)得主之一。菲爾茲獎(jiǎng)每四年頒發(fā)一次，只頒發(fā)給40歲以下的數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的最高榮譽(yù)之一。

維婭佐夫斯卡是史上第二位女性菲爾茲獎(jiǎng)得主，她獲獎(jiǎng)的成果和我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常見(jiàn)到的一些事物有關(guān)。

從桔子開(kāi)始

運(yùn)水果的確不是一件輕松的事情。不僅水果會(huì)經(jīng)常被擠變形，即使不考慮變形，把桔子考慮成最簡(jiǎn)單的球形，也會(huì)有問(wèn)題。無(wú)論你怎么裝箱，都會(huì)留下縫隙。這就自然的會(huì)提出一個(gè)幾何問(wèn)題：我們?nèi)绾闻挪歼@些球狀水果，能讓水果盡量多的裝到箱子里？比如怎么樣裝桔子，可以讓桔子占箱子里的空間比率最大？

"假設(shè)有個(gè)巨大的箱子以及數(shù)量巨多的球體，"維婭佐夫斯卡說(shuō)，"同時(shí)簡(jiǎn)化一下問(wèn)題，球體是剛性的不能被擠壓，另外每個(gè)球都是相同大小。我們要盡可能多的在箱子里放置這些球。"

如果盒子很小，那么答案可能和盒子的形狀有關(guān)。但如果盒子很大，形狀的影響可以忽略不計(jì)，答案只取決于盒子的體積?！斑@在直觀(guān)上很顯然，存在一個(gè)最大的可以用等大小球體填充的體積比，雖然在數(shù)學(xué)上需要做一些工作才能證明這一點(diǎn)?！?球體堆積問(wèn)題就是找到這個(gè)最高比率，也稱(chēng)為球體堆積常數(shù)。

再來(lái)一個(gè)更簡(jiǎn)單的例子，讓我們降低一個(gè)維度：我們不是將球體排布到3維空間中，而是將圓盤(pán)排布到2維空間中?！霸?維空間中，最佳排布是蜂窩狀排布，”維婭佐夫斯卡解釋說(shuō)。通常的蜂窩每個(gè)單元都是六邊形，六邊形整齊地組合在一起，彼此之間沒(méi)有空間。如果您以相同的模式排布圓盤(pán)，您確實(shí)會(huì)出現(xiàn)間隙，我們能證明這的確是最密集的排布“這樣，我們就用這些同樣大小的圓盤(pán)覆蓋了 90%多一點(diǎn)的面積 ?！睂?shí)際上二維球體堆積常數(shù)的精確值為

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"三維空間的情形被稱(chēng)為開(kāi)普勒猜想，已經(jīng)400多年沒(méi)有解決了，"維婭佐夫斯卡說(shuō)，"三維空間里我們不止一個(gè)最佳堆積，我們有很多比率相等的最佳堆積。"其中一種你在菜市場(chǎng)也見(jiàn)過(guò)，就算把桔子擺成金字塔的形狀(見(jiàn)上圖，我們用球代替桔子)。這種方式的堆積密度大約是74%。實(shí)際上三維球體堆積常數(shù)的精確值為

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1998年有一位數(shù)學(xué)家給出了這種堆積是最佳堆積的證明。海爾斯(Thomas Hales)用250頁(yè)的傳統(tǒng)形式的數(shù)學(xué)論文，加上3GB的計(jì)算機(jī)代碼和數(shù)據(jù)做計(jì)算試圖證明它。這是富有爭(zhēng)議的證明方式，因?yàn)闆](méi)人能在有生之年去驗(yàn)證計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，所以海爾斯工作是否是完成了證明還沒(méi)有最終確定。也有專(zhuān)家團(tuán)隊(duì)說(shuō)有99%把握確認(rèn)這套證明是對(duì)的，他們使用了計(jì)算機(jī)形式邏輯參與驗(yàn)證。 ?

高緯度的球體堆積

不用計(jì)算機(jī)，只用幾頁(yè)紙，維婭佐夫斯卡給出了最牢靠的證明。這是在高維空間的球體堆積證明，即 8 維和 24 維空間。這樣的工作似乎除了燒壞你的腦袋并沒(méi)有什么別的用處，但事實(shí)并非如此。高維空間中的球體堆積在通訊技術(shù)中非常重要。它能確保我們通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)、衛(wèi)星、電話(huà)傳輸信息的時(shí)候，傳輸過(guò)程有干擾的情況下，也能理解傳過(guò)來(lái)的信息。

為了把控更高的維度，我們要從二維轉(zhuǎn)向三維，我們把思緒再次回到中學(xué)階段。如果你也是那種三維立體圖形畫(huà)圖困難戶(hù)，那你就要感謝代數(shù)的作用了。三維空間中的點(diǎn)由3個(gè)坐標(biāo)值表示，線(xiàn)和平面等形狀用相應(yīng)的方程表示。如果你無(wú)法想象圖形之間的關(guān)系，這些方程可以幫到你。

在高維空間中，也適用同樣的原理。n維空間的點(diǎn)由n個(gè)坐標(biāo)值表示。和2維以及3維空間一樣，你可以給出高維空間中距離和體積的概念，然后定義包括高維球之類(lèi)的各種形狀，這些都是用方程來(lái)定義。雖然這些圖形無(wú)法作圖了，但是用代數(shù)方法可以處理它們。所以，你同樣可以定義高維空間中球體堆積以及堆積密度的具體含義。

回到2維和3維的情形，我們來(lái)看看如何從2維的情況推廣到3維：先用剛才2維上的蜂窩排布的方式把3維的球體在平面上鋪一層，從2維角度看，這是最佳堆積。然后在這一層上鋪第二層，第二層的球都鋪在第一層的凹陷處。然后繼續(xù)第三層、第四層……這樣的確會(huì)產(chǎn)生一個(gè)最佳堆積，所以人們會(huì)想當(dāng)然的認(rèn)為，這種推廣方式會(huì)自然的推廣到高維情形。

哎呀，但事與愿違。知道其中一個(gè)維度的最佳堆積和對(duì)推算下一個(gè)維度的最佳堆積并沒(méi)什么用。下圖展示了4維到26維目前人們知道的最佳的堆積的下界。從圖上看，呈指數(shù)級(jí)下降趨勢(shì)。

尋找上界

我們尋找的數(shù)是某種意義的最大值，比如說(shuō)堆積密度的最大值。但是，往往沒(méi)那么好的運(yùn)氣說(shuō)找到就找到，這時(shí)候我們就要退而求其次，去找一個(gè)上界：一個(gè)數(shù)，那個(gè)還沒(méi)求出的堆積常數(shù)一定不超過(guò)這個(gè)數(shù)。

不同維度的堆積常數(shù)上界陸續(xù)被人們提出。2003年科恩(Henry Cohn)和艾爾基斯(Noam Elkies)研究出了一個(gè)非常有趣的求上界的辦法，可以用于任何維度的計(jì)算。但這個(gè)辦法有實(shí)際操作上的難度，所以?xún)蓚€(gè)人也只把這些上界算到32維的情況。結(jié)果就是下圖，包含4到28維的情況，綠色是下界，藍(lán)色是上界。

這里值得注意的是8維和24維，它們上界和下界幾乎重合。如果真是重合的，那我們實(shí)際上就知道了對(duì)應(yīng)維度的球體堆積常數(shù)?？贫骱桶瑺柣箾](méi)能證明它：因?yàn)榇嬖谀撤N非常不爽的可能性，球體堆積常數(shù)介于上下界之間肉眼無(wú)法分辨的微小的縫隙中。科恩在《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通告》(Notices of the American Mathematical Society)發(fā)文說(shuō)："對(duì)于信仰數(shù)學(xué)之美的人來(lái)說(shuō)，這應(yīng)該不可能，但信仰不是證明。"

縫合縫隙

維婭佐夫斯卡在科恩和艾爾基斯的工作基礎(chǔ)上，縫合了8維空間上的縫隙。隨后，又在科恩、庫(kù)馬爾(Abhinav Kumar)、米勒(Stephen D. Miller)、拉德申科(Danylo Radchenko)的幫助下，完成24維的工作。如果忽略球體本身這個(gè)形狀，只考慮球心，那你就得到了點(diǎn)在空間中的配置。除了每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，我們用點(diǎn)與點(diǎn)的距離統(tǒng)計(jì)來(lái)描述這個(gè)配置：產(chǎn)生的最小距離有哪些，它們占比多少？

這是物理學(xué)中經(jīng)常用的辦法。"天文學(xué)家經(jīng)常干這種事情，"維婭佐夫斯卡說(shuō)。"他們觀(guān)測(cè)星空，計(jì)算恒星之間的距離。他們忽略空間的幾何形狀，只記錄每?jī)蓚€(gè)恒星之間的距離。實(shí)際上，這些距離的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)一定會(huì)滿(mǎn)足某種限制。如果你想讓一定數(shù)量的恒星保持這種距離，又有一定數(shù)量的恒星保持那種距離，還有一定數(shù)量的恒星保持再一種距離，那么空間中可能不會(huì)出現(xiàn)這種恒星排布。"

用類(lèi)似的思想，科恩和艾爾基斯證明了球體堆積的距離分布也需要滿(mǎn)足特定的限制，這讓他們得到了球體堆積常數(shù)的上界。要完全滿(mǎn)足這種限制，你需要找一個(gè)性質(zhì)非常特別的函數(shù)，這就是難點(diǎn)?？贫骱桶瑺柣怪荒鼙平@個(gè)函數(shù)，這就是他們只能從逼近層面得到上界的原因。

為了求出8維(以及之后的24維)的球體堆積常數(shù)，維婭佐夫斯卡就需要更進(jìn)一步。它必須找到一個(gè)“神奇函數(shù)”。這個(gè)函數(shù)不僅僅是只能估計(jì)上界，這個(gè)上界必須是不多不少的那種，就是說(shuō)，它正好等于8維空間中的球體堆積常數(shù)?？贫骱桶瑺柣拐J(rèn)為，這個(gè)函數(shù)肯定存在，但沒(méi)辦法求出來(lái)。"那個(gè)神奇函數(shù)似乎來(lái)自虛空，"科恩在文章中提到。

這就是維婭佐夫斯卡真正實(shí)現(xiàn)的東西：用了一個(gè)前人從沒(méi)考慮過(guò)的“大膽構(gòu)造”,它做出了一個(gè)滿(mǎn)足條件的函數(shù)。

維婭佐夫斯卡證明了8維空間中球體堆積常數(shù)是：

就是說(shuō)等體球體最多能填充25%左右的8維空間.

使用的填充方法叫做E8格球體填充。所用的球體半徑都是1/√2，球心是全部格點(diǎn)(坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))以及兩個(gè)格點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)(還要求格點(diǎn)端點(diǎn)的所有坐標(biāo)值之和為偶數(shù))。E8格和E8例外李群有關(guān)系。在8維空間里，就沒(méi)辦法圖形展示了。24維空間用的是利奇格(Leech lattice)堆積，比E8格要復(fù)雜，得到24維空間的球體堆積常數(shù)是

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迷之維度

到底是什么讓8維和24維如此特別？"每個(gè)人都問(wèn)我這個(gè)問(wèn)題——我也不知道，這是個(gè)迷，"維婭佐夫斯卡說(shuō)。"在這兩種維度中，那些點(diǎn)能被精妙的配置，使得我們能精確的計(jì)算出來(lái)，但這樣性質(zhì)良好的配置其他維度都沒(méi)有。你問(wèn)我原因，我真不知道。"

但是已經(jīng)夠了，就8維和24維的證明已經(jīng)足以讓維婭佐夫斯卡獲得數(shù)學(xué)界的至高榮譽(yù)了。未來(lái)，無(wú)論誰(shuí)用何種方法解決其他維度的情況，都能為這個(gè)人帶來(lái)極高的榮譽(yù)。

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