最近一個朋友問了我一個游戲數(shù)值上的計算問題，我覺得他沒搞明白概率論。在被他洗腦幾次之后，我感覺他的想法可能也有道理，在自習(xí)思考后又得出了一些哲學(xué)結(jié)論（？？？），所以想總結(jié)的說一下。

問題描述

這個問題說起來也很簡單，他在玩一個賭博小游戲，初始擁有資金1，小游戲的獲勝概率是0.7，失敗概率是0.3，獲勝后可以得到雙倍的投入金額，失敗后失去所有的投入金額。他的問題是，如何選擇投注策略使得玩家可以穩(wěn)定的快速獲利。

我一看到就得出了結(jié)論，就是每次all in。這樣必然可以使得最終的獲利期望最大，這個結(jié)論是顯然的，因為對于任意的投注x，單次的收入期望是1.4x ，也就是說收入期望正比于投入，顯然每次all in可以獲得最大的期望。

現(xiàn)實沖突

但是這個結(jié)論對于他的實戰(zhàn)沒有任何指導(dǎo)意義，因為一旦他失敗一次，所有的積蓄就瞬間消失。對于一個玩家來說，這往往意味著棄游。他覺得這和他的直覺“相謬”，于是自己進行了其他方法的計算。他的計算方法一開始令人困惑，仔細想想也有道理。他的計算方法是這樣的：

假設(shè)每次投入的金額占據(jù)總金額的比例是x，經(jīng)過一定的投入次數(shù)后，根據(jù)大數(shù)定律，最終的勝負比例大概是7:3，也就是說，最終的金額應(yīng)該是：
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其中，n是一個無窮大量。

也就是說，計算上式的最大值，等于計算x，使得上式去掉n的部分最大，即：

???????????????????????????????????

他通過excel列表計算出了上式的最大值。顯然，這個并不需要那么復(fù)雜，直接用均值不等式就可以求解：? ?????????????????????????

????????????????????????????????

當(dāng)且僅當(dāng)?時上式等號成立，x=0.4。

顯然，他用這種辦法計算出了一個所謂的“最優(yōu)解”，雖然這種辦法需要平均10次，才能增長到1.6倍，但是他說用這個辦法確實增加了他的收入（而不是猝死）。即他每次把當(dāng)前財產(chǎn)的0.4倍投入游戲。

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問題解決

他的這個所謂的“最優(yōu)解”和我計算的最大收入期望算法得出了不同的結(jié)論。這令我一開始非常困惑，花了一點時間我想明白了為什么。其實道理很簡單，如果仔細分析一下，就會發(fā)現(xiàn)他并不是在計算期望，而是最大可能性發(fā)生的一個情況下的收入，只是計算期望的一部分。

N次游戲后，假設(shè)勝利次數(shù)是v，期望的完整表達式應(yīng)該是：

??????????????????????????????????????????? ??????????????????????

????????????????????????? ?

顯然這是高中學(xué)的，是一個二項分布。他的算法實際上是計算了發(fā)生概率最大的那種情況，對應(yīng)的收入是多少（i=n*0.7），然后用這一種情況代替了期望，所以得出了不同的結(jié)論——我們算的目標不一樣。

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一些思考

1.??????? 顯然他的結(jié)論是有一定指導(dǎo)意義的，但是意義有限。這個游戲依然是越多投入盈利越快。

2.??????? 如果說，這個社會是這樣一個游戲。每個人都是玩家，可以有自己的游戲策略。對于社會而言，最優(yōu)的策略是所有人每次都all in，這樣社會財富一個周期就可以1.4倍。但是對于個體而言，可能最優(yōu)的策略就會改變，例如變成x=0.4，或者干脆不投入。在前一種情況下，如果放任玩家自由游戲，那么“看不見的手”會使得“終產(chǎn)者”必然出現(xiàn)；后一種情況，可能會使得社會財產(chǎn)停滯不前或者增長緩慢。也就是說，這時集體利益和個人利益很可能是矛盾的。這時可能就需要補償制度來促進再分配了。

3.??????? 游戲中的貨幣數(shù)量是可以無限的，但是濫發(fā)會使得貨幣貶值。貨幣貶值對用戶不一定是很好的體驗，因為他的“人生價值”會因為貨幣貶值而下降，所謂“合理的再分配”就必然導(dǎo)致玩家的勞動時間貶值（“商品的價值是生產(chǎn)該商品的社會必要勞動時間決定的”），這似乎也是不可避免的。