本文并不復(fù)雜……沒有用到較深的概率學(xué)知識和進(jìn)行徹底拆解，稍微比對一下變量意義可以理解大部分的公式的實(shí)際含義，了解了大概怎么算的后就很直觀了，除了最后的抽牌加費(fèi)循環(huán)分析，但看上去……

卜專業(yè)代數(shù)寫法+無定義名詞+逐漸隨便的起名警告。

這次是要對殺戮尖塔，超時(shí)空方舟，欺詐之地，月圓之夜這樣的動(dòng)作循環(huán)牌庫卡牌機(jī)制的數(shù)學(xué)模型“簡單”建立。盡管游戲中的很多牌讓玩家可能有非常大的戰(zhàn)術(shù)差異，但不同于爐石傳說這種資源型的卡牌游戲，前期的小隨機(jī)性和決策難以滾起大雪球，一部分的卡組是完全可以依賴
“簡單”計(jì)算就求出其能力，并且也可以草擬出大部分卡的模型。

但建議如果你想做殺戮尖塔2.0，除非有全職的數(shù)值策劃，不然等測試是一個(gè)好選擇。因?yàn)榇蟛糠值墓綇?fù)雜度基本都體現(xiàn)在項(xiàng)數(shù)和設(shè)定的已知量數(shù)量。

那么我們先看到最基礎(chǔ)的這樣一個(gè)機(jī)制：一張攻擊卡，可以造成傷害，一張防御卡，可以抵擋對面所造成的傷害。玩家有一個(gè)周期性刷新的資源，我們先設(shè)定其中較小的一項(xiàng)——手牌資源或者費(fèi)用，費(fèi)用幾乎永遠(yuǎn)是較小的一項(xiàng)，因?yàn)闀枰婕矣幸粋€(gè)戰(zhàn)術(shù)抉擇的空間。

?

所以假設(shè)每回合的費(fèi)用為Costturn （CT），抽卡數(shù)充足，進(jìn)攻的傷害/費(fèi)用比（DamagePerCost，Dc）為常數(shù)，防守的格擋/費(fèi)用比（BlockPerCost ，BC）為常數(shù)，格擋回合結(jié)束時(shí)不會消失，敵人的每回合傷害固定為DE? , （各個(gè)數(shù)字都擁有非整數(shù)時(shí)的意義，所以并不限制于整數(shù)）

選項(xiàng)充足的情況下，易得每回合在完全格擋掉敵人傷害后，可以打出的理想回合傷害為

且如果敵人的血量為HPE，消滅掉其需要花

我們先看到幾個(gè)基本擴(kuò)展：

1， 每回合抽上來的卡牌是隨機(jī)的攻防比例，且格擋不跨回合：

假設(shè)牌庫的總卡數(shù)為Num@Deck（Nd），攻擊費(fèi)用總費(fèi)用比為Rate@Attack （RAt），防御費(fèi)用總費(fèi)用比為Rate@Defense （RDe），每回合抽取的卡牌費(fèi)用數(shù)CostDrawedPerTurn （Cpt）

假設(shè)防御用費(fèi)用和攻擊用費(fèi)用完全分開，且勻?yàn)?費(fèi)，玩家每回合可能因?yàn)槭种胁]有防御卡牌而不能防御的傷害：

抽到防御用費(fèi)用的分布：

為超幾何分布，期望值即為從牌庫均勻抽取，當(dāng)超幾何分布中的N趨向正無窮時(shí)（牌庫無限大），超幾何分布近似為二項(xiàng)分布。計(jì)算具體值直接累加，沒有化簡空間。另外值得一提的是，超幾何分布還會在這個(gè)游戲模型的很多部分里出現(xiàn)，之后會深入探討

當(dāng)有的卡混合了防御費(fèi)用和攻擊費(fèi)用或者費(fèi)用不均勻時(shí)，該公式不再準(zhǔn)確，但依舊可以作為近似公式使用，先做簡單的定性分析：

1.1防御費(fèi)用卡牌費(fèi)用比分布方差越大，抽到防御用費(fèi)用的期望不變，方差變大

而方差和不能抵擋的傷害關(guān)系為，方差越大，不能抵擋的傷害越多。

2， 玩家不選擇完全抵擋掉傷害時(shí)，而是想更多進(jìn)攻時(shí)：

設(shè)定玩家每回合想用于防御的費(fèi)用為Cdt，卡牌選項(xiàng)充足。

玩家總共會受到的傷害為

是一個(gè)關(guān)于Cdt的分式函數(shù)，0到Cpt/Bc單調(diào)遞減，和敵人血量成正比例，和原理想消滅回合相關(guān)。

遇到以下幾種情況：

2.1敵人會進(jìn)行幾個(gè)回合的準(zhǔn)備來進(jìn)行攻擊

認(rèn)為這幾個(gè)回合的費(fèi)用會全部用于進(jìn)攻，敵人的HPE減去回合數(shù)與回合費(fèi)用與進(jìn)攻能力的乘積即可，但之后算能力牌的時(shí)候會有所區(qū)別……

2.2敵人間隔進(jìn)行攻擊和防御

即敵人進(jìn)攻的回合傷害DE*2，并且防御的回合有一個(gè)回合防御BE*2，假設(shè)是偶數(shù)回合結(jié)束戰(zhàn)斗……

“當(dāng)一個(gè)公式需要的量過于多的時(shí)候，它就沒有意義了”

如果敵人的防御能力所需要玩家付出的額外費(fèi)用超過玩家用于針對敵人原來攻擊的防御費(fèi)用，那敵人的輸出可以在玩家有同樣的防御費(fèi)用比且均勻攻擊時(shí)更高，也可以在玩家完全防御時(shí)相比均勻攻擊支撐更久回合。

*但防御回合是玩家使用能力牌等長期效果牌的好時(shí)機(jī)

2.3敵人的攻擊會逐漸隨著時(shí)間增強(qiáng)

假設(shè)敵人的攻擊并非是一直一個(gè)強(qiáng)度，而是每隔一個(gè)回合增加DEn點(diǎn)（殺戮尖塔一開始的信徒）

那假設(shè)玩家一開始的防御能力就低于等于敵人的進(jìn)攻能力，玩家會受到的傷害為

是一個(gè)分式方程，有最大值和最小值，最大值定為Cpt取0或者DE-時(shí)的其中一點(diǎn)，但最小值不確定，具體在計(jì)算最佳回合的時(shí)候可以換一種差值思路，即當(dāng)玩家因?yàn)榍懊娴姆烙枰嘁换睾蟻磉M(jìn)攻時(shí)，多出的一回合受到的傷害是否大于前面所少受到的傷害。

3， 牌庫里的卡能力不均勻

設(shè)卡牌有R2的比例的傷害能力為Dc2

由于玩家會優(yōu)先使用傷害較高的卡，所以抽上來的高傷害費(fèi)用Cpt*R-2/CT*（Dc2-DE）才是會增加的傷害費(fèi)用比例。按照這個(gè)計(jì)算即可。

在有新卡加入卡組的時(shí)候需要計(jì)算該項(xiàng)。

接下來是幾種常見效果的價(jià)值，牌庫循環(huán)式的卡牌，卡牌的質(zhì)量分布而并非數(shù)量更為重要，一次牌庫循環(huán)便是從其中打出最高質(zhì)量的一些牌，同時(shí)從這個(gè)角度觸發(fā)牌庫的緊湊也就很重要，但由于狀態(tài)牌和對手牌和牌庫限制條件的出現(xiàn)，牌庫也并非越緊湊越好。

1， 費(fèi)用相關(guān)萬物核心

1.1加費(fèi)牌

相比起過牌，加費(fèi)牌卡組中優(yōu)先度更高的要素。

加費(fèi)牌是一類特殊的牌，其有著拿到就會用的特性，而加費(fèi)牌的最佳比例是需要考慮到玩家每回合的抽牌能力，在過牌比較稀疏的情況下，可以近似認(rèn)為角色每回合的過牌能力是固定的。社加費(fèi)牌的回費(fèi)能力為Cpc，設(shè)套牌中有回費(fèi)牌的費(fèi)用比例Rc

易得：

而當(dāng)角色的抽牌能力比較強(qiáng)大時(shí)，每回合的多余回費(fèi)的概率會愈發(fā)近似于泊松分布……我們放到討論抽牌時(shí)來考慮。

1.2 0費(fèi)卡

0費(fèi)卡是一個(gè)需要獨(dú)立計(jì)算于傷害的卡，因?yàn)槠浠颈怀榈揭簿蜁皇褂?，是一個(gè)算是之前論外的輸出項(xiàng)目，同時(shí)影響過牌率。

0費(fèi)卡的最佳分布比例：假設(shè)卡組全是攻擊卡，0費(fèi)卡的進(jìn)攻能力為D0，其他卡的平均費(fèi)用為Cd1，0費(fèi)卡的牌庫比例為R0，每回合抽的卡牌數(shù)量為Npt

易得，最佳0費(fèi)比例為

補(bǔ)充的額外輸出為R0*Npt*D0.也可以很明顯看到過牌對于0費(fèi)卡收益的正比加成。

1.3減費(fèi)

減費(fèi)是一類較為特殊的牌，和加費(fèi)有著近似的關(guān)系，但是有兩種溢出方式，包括不低于0費(fèi)的溢出和被減費(fèi)牌數(shù)量不夠的問題，這兩種問題都并非典型，但是依舊有討論的空間。只需要知道減費(fèi)的期望能力也受到過牌能力的加成（減費(fèi)依賴于平均抽牌數(shù)），但大部分減費(fèi)牌都依賴于一定條件。

?

2.萬物核心過牌

2.1綜合過牌

過牌是提供玩家以更多選項(xiàng)，和盡快的拿到一些關(guān)鍵牌，

2.1.1 無加費(fèi)，有層次，過牌戰(zhàn)術(shù)效益

設(shè)過牌費(fèi)用牌庫費(fèi)用比為Rr，平均每費(fèi)用過牌的張數(shù)Nrc，0費(fèi)卡比例R0，有R2比例費(fèi)用的費(fèi)均輸出為Dc2，R1比例的費(fèi)用費(fèi)均輸出為Dc1，Dc2大于Dc1，玩家優(yōu)先使用攻擊為Dc2的攻擊牌，兩種牌費(fèi)用均為1費(fèi)。

Rr+R1+R2<1，無重合，不會出現(xiàn)被迫使用過牌：

不過牌的情況的情況下，易得平均輸出是

其中需要

如果使用Cr費(fèi)用來過牌，Dc2的牌較少且費(fèi)用較多的情況下：

作差得

時(shí)過牌收益為正，公式看著有點(diǎn)頭疼，實(shí)際意義只是抽牌所用費(fèi)用需要去大于抽牌所花掉的費(fèi)用原本能打出的傷害除以抽牌數(shù)和額外輸出的積。

如果輸出為Dc2的牌較多，會遇見實(shí)際減少的費(fèi)用也是從輸出為Dc2的牌里出現(xiàn)的概率，此時(shí)是需要對0費(fèi)輸出效益和Dc2輸出效益進(jìn)行權(quán)衡，同時(shí)也要注意到當(dāng)輸出比較平均且加費(fèi)較少時(shí)過牌效益是偏小的，同時(shí)也提醒我們，如果卡牌輸出分為多個(gè)檔次，那么關(guān)鍵就是輸出最高的一匹卡的輸出。

2.1.2 有加費(fèi)，過牌效益

理論上：當(dāng)有更好輸出牌的時(shí)候，過過來的加費(fèi)牌能彌補(bǔ)掉更多的缺失的傷害，就有過牌效益，當(dāng)無更好輸出牌的時(shí)候，過過來的加費(fèi)牌能彌補(bǔ)掉過牌用的費(fèi)用即有過牌效益。

?????? 即Nrc*Rc*Cc>1

過牌加費(fèi)循環(huán)：雖然說只要過牌能期望過到1＋張過牌和補(bǔ)充費(fèi)用就有希望永動(dòng)機(jī)，但是更關(guān)鍵的是斷過牌和回費(fèi)的概率分布，首先是不用其他牌并且手牌數(shù)量無限大，設(shè)定所有的過牌用牌都是純過牌用，回費(fèi)用牌都是純回費(fèi)用，并且均為1費(fèi)。從此開始逐漸超出了用代數(shù)計(jì)算的意義，抽不動(dòng)的兩種情況，無抽牌的牌和無加費(fèi)的牌并非是獨(dú)立事件，要區(qū)分的地方過多了的同時(shí)質(zhì)變又相當(dāng)厲害，于是嘗試使用程序模擬計(jì)算近似值來得到經(jīng)驗(yàn)計(jì)算方式。這次先進(jìn)行這一塊的分析。

當(dāng)不放回其他牌，牌庫越過質(zhì)量越高，（第一回合開始）最多過牌的概率分布：

案例1：

上圖的牌庫分配是6回6抽8其他，從左到右的1~4，4欄分別代表卡牌的能力分別是抽2回2，抽2回3，抽3回2，抽3回3時(shí)的抽多少會斷牌，抽多少最高的柱子代表已經(jīng)使用超過了30張抽牌用牌

可以告訴結(jié)論：決定是否能抽穿牌庫的決定因素有2，

第一是抽牌用牌是否夠近乎覆蓋整個(gè)牌庫（抽牌用牌*抽牌數(shù)），

第二是抽牌的回費(fèi)平均效益是否超過1

牌庫容量小的情況下幾乎會產(chǎn)生質(zhì)變，當(dāng)然，設(shè)計(jì)師在設(shè)計(jì)過程中應(yīng)極力避免這樣的情況的出現(xiàn)，殺戮尖塔已經(jīng)在極力避免了，但是很巧的是仍然留下了空間——你甚至能看到幾乎無條件1tk的的亮劍戰(zhàn)（時(shí)光警告）高效益，非捆綁的回費(fèi)應(yīng)該被限制。

從x=1~8的8欄分別是在6抽8其他時(shí)，加入了4到11張抽牌用牌?？梢钥吹街饕臄嗯聘怕蔬€是會在前四五手，并且在發(fā)生質(zhì)變后會逐漸出現(xiàn)一個(gè)周期性斷牌可能性（x=8時(shí)，4,7,10出現(xiàn)了隆起），但依舊偏小。

從x=1~11的11欄分別為加入6抽6回，9到19張雜牌時(shí)，使用幾張抽牌的回費(fèi)數(shù)和抽牌數(shù)分布。

依舊可以，看到質(zhì)變是非常明顯的，能發(fā)生無限抽牌的情況下才有大幅度回費(fèi)的機(jī)會

?

實(shí)際情況下，一來其實(shí)有手牌溢出的問題，實(shí)際無限連概率要普遍小一些，這種情況又要分一些策略情況，但我們模擬為牌庫不會減少。

和上兩張圖同設(shè)置，回費(fèi)能力的分布呈現(xiàn)兩段，

同時(shí)斷牌的時(shí)機(jī)上也可以看出有一個(gè)隆起的特殊點(diǎn)，可以看做一個(gè)分界線，已經(jīng)做過基本實(shí)驗(yàn)，無論是無限與否還是這條分界線主要和過牌費(fèi)用*能力有關(guān)，以下為其他兩個(gè)實(shí)驗(yàn)：

5~15張過牌，6回費(fèi)……你看看這個(gè)抽牌分布，有什么好列公式的你說。

6回6過，過牌能力2~12，回費(fèi)能力依舊為3

在部分游戲里似乎還會有費(fèi)用溢出的問題，二來在知曉目前抽牌堆和棄牌堆狀態(tài)的情況下，角色可能會打出更合理的抉擇。同時(shí)，0費(fèi)卡也會影響……這種過于離散的就還是具體問題具體分析吧，之后會有具體的卡牌分析環(huán)節(jié)，大概吧。