Espha的數(shù)學(xué)日常（2）復(fù)數(shù)法好·一道幾何題的證明及普遍情形推廣

2023-01-28 01:48 作者:Espha 0人讀過(guò) | 我要投稿

群友分享了一道非常有意思的幾何題，說(shuō)是有人在求證

那好吧，我就試試?？粗猛娴?/p>

但是

@余溫之塵，出來(lái)挨打?。?！1111

看到這題，我的第一想法就是復(fù)數(shù)法...因?yàn)檎叫翁嗔?/span>，復(fù)數(shù)坐標(biāo)一看就很好算。雖然用直角坐標(biāo)什么的也不難，但是感覺不如復(fù)數(shù)法

先把該標(biāo)的點(diǎn)都標(biāo)上

然后建個(gè)系吧，由于是復(fù)平面，所以以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立復(fù)平面。

那么不熟悉復(fù)數(shù)法的同學(xué)就會(huì)問(wèn)了，這O在哪呢？實(shí)軸虛軸的方向呢?

然而并不用管O在哪，方向怎么樣，反正不會(huì)影響結(jié)果，所以不管了xxxx如果非要找。按習(xí)慣的話我會(huì)放在ABC的外心。方向，只要是逆時(shí)針為正角就好了，任意方向都能建。

$%E4%B8%8B%E9%9D%A2%E9%87%87%E7%94%A8%E7%82%B9%E5%87%A0%E4%BD%95%E7%9A%84%E8%AF%AD%E8%A8%80%EF%BC%8C%E8%AE%B0%5Coverrightarrow%7BOX%7D%20%3DX%2C%E5%88%99%E6%9C%89%5Coverrightarrow%7BXY%7D%3DY-X%20$

我們先來(lái)證幾個(gè)非常顯然的引理

引理1： $%7Cz_1z_2%7C%3D%7Cz_1%7C%7Cz_2%7C$

引理2: $iz_1$ 的幾何意義是，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的點(diǎn)

讀者自證不難。

現(xiàn)在，我們可以開始用復(fù)數(shù)法解決這個(gè)問(wèn)題了

停！放大再放大！哈哈快看，正方形的每一個(gè)頂點(diǎn)都看得清清楚楚！

如圖，顯然 $%5Coverrightarrow%7BBX_2%7D$ 由 $%5Coverrightarrow%7BBA%7D$ 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，即 $X_2-B%3Di(A-B)$

立即可得

同理可得

又 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D$ 由 $%5Coverrightarrow%7BAX_1%7D$ 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，即 $B-A%3Di(X_1-A)$

可得

同理可得

這樣我們已經(jīng)可以算出黃色區(qū)域的正方形的邊長(zhǎng)了。以 $X_1-Z_2$ 為例。

$%5Coverrightarrow%7BZ_2X_1%7D%3DX_1-Z_2%3D2iA-iB-iC%3Di%5B(A-B)%2B(A-C)%5D%3Di%5B%5Coverrightarrow%7BBA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%7BCA%7D%5D$

則 $%7C%5Coverrightarrow%7BX_1Z_2%7D%7C%5E2%3D%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2B%20%20%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C%5E2$

這里直接用向量處理
$%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2B%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C%5E2%3D%5Coverline%7BAB%7D%5E2%2B%5Coverline%7BAC%7D%5E2%2B2%5Coverrightarrow%7BAB%7D%20%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BAC%7D%3D2%5Coverline%7BAB%7D%5E2-%5Coverline%7BBC%7D%5E2%2B2%5Coverline%7BCA%7D%5E2$

則有

回到面積上。對(duì)于面積，有

這條式子已經(jīng)證明了黃色區(qū)域與紅色區(qū)域的面積關(guān)系。

由剛剛算 $X_1%2CX_2$ 的經(jīng)驗(yàn)，我們可以很快寫出 $X_3%2CX_4$ 的坐標(biāo)。

則有

又是線段之間的長(zhǎng)度關(guān)系。那么面積關(guān)系則是

紫色區(qū)域同理可得。

其實(shí)就是繞點(diǎn)轉(zhuǎn)的公式，之前算的都可以直接照搬了

而

$%5Coverrightarrow%7BZ_6X_5%7D%3DX_5-Z_6%3D(1%2Bi)X_3-iX_4-iZ_3-(1-i)Z_4$

$%3D(3%2Bi)X_1%2B(1-i)X_2-Y_1%2BY_2-(1%2Bi)Z_1%2B(-3%2Bi)Z_2%3D5i(2A-B-C)%3D5%5Coverrightarrow%7BZ_2X_1%7D%20$

由長(zhǎng)度關(guān)系我們又得到了面積比。

對(duì)于這題，這樣就結(jié)束了。完結(jié)撒花（迫真）

結(jié)束了嗎？

對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，已經(jīng)結(jié)束了。可復(fù)數(shù)法還可以做到的遠(yuǎn)不只這些。

如果我們繼續(xù)迭代，繼續(xù)對(duì)紫色的正方形向外作正方形呢?

迭代n次以后，接下來(lái)的面積比應(yīng)該是多少?

如果使用復(fù)數(shù)法，它就變成了一道復(fù)數(shù)列問(wèn)題。我們接下來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題。

$%E5%B7%B2%E7%9F%A5%3A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0AX_1%3D(1%2Bi)A-iB%26X_2%3DiA%2B(1-i)B%5C%5C%0A%20Y_1%3D(1%2Bi)B-iC%26Y_2%3DiB%2B(1-i)C%5C%5C%0A%20%20Z_1%3D(1%2Bi)C-iA%26Z_2%3DiC%2B(1-i)A%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%E4%B8%94%E4%B8%8B%E6%A0%87%3E%3D1%E6%97%B6%E6%9C%89%0A$

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0AX_%7B4n%2B1%7D%3D-iX_%7B4n%7D%2B(1%2Bi)X_%7B4n-1%7D%20%26%3A%26Y_%7B4n%2B1%7D%3D-iY_%7B4n%7D%2B(1%2Bi)Y_%7B4n-1%7D%26%3A%20%26Z_%7B4n%2B1%7D%3D-iZ_%7B4n%7D%2B(1%2Bi)Z_%7B4n-1%7D%5C%5C%5C%5C%0AX_%7B4n%2B2%7D%3D(1-i)X_%7B4n%7D%2BiX_%7B4n-1%7D%20%26%3A%26Y_%7B4n%2B2%7D%3D(1-i)Y_%7B4n%7D%2BiY_%7B4n-1%7D%26%3A%26Z_%7B4n%2B2%7D%3D(1-i)Z_%7B4n%7D%2BiZ_%7B4n-1%7D%5C%5C%5C%5C%0AX_%7B4n%2B3%7D%3DiZ_%7B4n%2B2%7D%2B(1-i)X_%7B4n%2B1%7D%26%3A%26Y_%7B4n%2B3%7D%3DiX_%7B4n%2B2%7D%2B(1-i)Y_%7B4n%2B1%7D%20%26%3A%26Z_%7B4n%2B3%7D%3DiY_%7B4n%2B2%7D%20%2B(1-i)Z_%7B4n%2B1%7D%20%5C%5C%5C%5C%0AX_%7B4n%2B4%7D%3D(1%2Bi)X_%7B4n%2B2%7D-iY_%7B4n%2B1%7D%20%26%3A%26Y_%7B4n%2B4%7D%3D(1%2Bi)Y_%7B4n%2B2%7D-iZ_%7B4n%2B1%7D%20%26%3A%26%20Z_%7B4n%2B4%7D%3D(1%2Bi)Z_%7B4n%2B2%7D-iX_%7B4n%2B1%7D%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%0A%20%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

$%E6%B1%82%3AX_n%2CY_n%2CZ_n$

復(fù)制粘貼上面的過(guò)程，這組可以輕松地出來(lái)。

哇浪，這么復(fù)雜？（后跳）

別急，我們當(dāng)然不需要求這個(gè)。還記得我們剛剛怎么求出面積比的嗎？我們只需要求出不同迭代次數(shù)的正方形之間的邊長(zhǎng)的比例就可以了。

根據(jù)上面的推理可猜想

等式鏈當(dāng)然很好證明，直接列式子就行了。對(duì)于平行鏈，我們可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。

$%E5%81%87%E8%AE%BEX_%7B4n%7D-X_%7B4n-1%7D%3Dp_n(X_%7B4n-2%7D-X_%7B4n-3%7D)%E4%B8%94X_%7B4n%2B1%7D-Z_%7B4n%2B2%7D%3Dq_n(X_%7B4n-1%7D-Z_%7B4n%7D)$

$%E5%9C%A8n%3Ck%E6%97%B6%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B%EF%BC%8C%E5%85%B6%E4%B8%ADp_n%2Cq_n%E5%9D%87%E4%B8%BA%E5%AE%9E%E6%95%B0%E5%88%97$

又由上述的討論可知，n=1時(shí)成立，且 $p_1%3D4%2Cq_1%3D5$

下證n=k時(shí)也成立

$X_%7B4k%7D-X_%7B4k-1%7D%3D(X_%7B4k-2%7D-X_%7B4k-3%7D)%2Bi(X_%7B4k-2%7D%2BX_%7B4k-3%7D-Y_%7B4k-3%7D-Z_%7B4k-2%7D)$

$%3D(X_%7B4k-2%7D-X_%7B4k-3%7D)%2Biq_%7Bk-1%7D...q_%7B1%7D(X_%7B2%7D-Y_%7B1%7D-Z_%7B2%7D%2BX_%7B1%7D)$

$%3D(X_%7B4k-2%7D-X_%7B4k-3%7D)%2B3q_%7Bk-1%7D...q_%7B1%7D(X_2-X_1)$

$%3D(1%2B%5Cfrac%7B3q_%7B1%7D...q_%7Bk-1%7D%7D%7Bp_1...p_%7Bk-1%7D%7D)(X_%7B4k-2%7D-X_%7B4k-3%7D)%3Dp_k(X_%7B4k-2%7D-X_%7B4k-3%7D)%2Cn%3Dk%E6%97%B6%E6%88%90%E7%AB%8B$

同樣地

$X_%7B4k%2B1%7D-Z_%7B4k%2B2%7D%3D(X_%7B4k-1%7D-Z_%7B4k%7D)%2Bi(X_%7B4k-1%7D-X_%7B4k%7D%2BZ_%7B4k%7D-Z_%7B4k-1%7D)$

$%3D(X_%7B4k-1%7D-Z_%7B4k%7D)%2Bip_k...p_1(X_%7B1%7D-X_%7B2%7D%2BZ_%7B2%7D-Z_%7B1%7D)$

$%3D(X_%7B4k-1%7D-Z_%7B4k%7D)%2Bp_k...p_1(X_1-Z_2)$

$%3D(1%2Bp_k%5Cfrac%7Bp_1...p_%7Bk-1%7D%7D%7Bq_1...q_%7Bk-1%7D%7D)(X_%7B4k-1%7D-Z_%7B4k%7D)%3Dq_k(X_%7B4k-1%7D-Z_%7B4k%7D)%2Cn%3Dk%E6%97%B6%E6%88%90%E7%AB%8B$

綜上所述，歸納假設(shè)成立。這兩條式子表明上述的平行鏈關(guān)系是成立的。

我們不僅證明了它成立，還可以把它轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)列問(wèn)題。

根據(jù)上述關(guān)系，可以寫出數(shù)列的遞推式

$p_n%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%0A1%2B%5Cfrac%7B3q_%7B1%7D...q_%7Bn-1%7D%7D%7Bp_1...p_%7Bn-1%7D%7D%20%26(n%3E%3D2)%5C%5C%5C%5C%0A4%26(n%3D1)%0A%5Cend%7Bcases%7D%20%0Aq_n%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%0A1%2Bp_n%5Cfrac%7Bp_%7B1%7D...p_%7Bn-1%7D%7D%7Bq_1...q_%7Bn-1%7D%7D%20%26(n%3E%3D2)%5C%5C%5C%5C%0A5%26(n%3D1)%0A%5Cend%7Bcases%7D%20$

我們只需要解這個(gè)方程。

這個(gè)方程涉及乘積的形式，所以令 $P_n%3Dp_1%5Ccdot...%5Ccdot%20p_n%2CQ_n%3Dq_1%5Ccdot%20...%5Ccdot%20q_n$

n>=2時(shí)，將兩邊等式化簡(jiǎn)，則有

解得

這是一個(gè)二階線性遞推數(shù)列。用母函數(shù)、特征根等方法可以簡(jiǎn)單得到答案。直接上結(jié)果。

$%20%5Cbegin%7Bcases%7D%0AP_n%3D(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B%202%5Csqrt%7B21%7D%20%7D)%20(%5Cfrac%7B5%2B%5Csqrt%7B21%7D%7D%7B2%7D)%5En%20%2B%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B%202%5Csqrt%7B21%7D%7D)%20(%5Cfrac%7B5-%5Csqrt%7B21%7D%7D%7B2%7D)%5En%0A%5C%5C%5C%5C%0AQ_n%3D(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%7B5%7D%7B%202%5Csqrt%7B21%7D%20%7D)%20(%5Cfrac%7B5%2B%5Csqrt%7B21%7D%7D%7B2%7D)%5En%20%2B%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%20%5Cfrac%7B5%7D%7B%202%5Csqrt%7B21%7D%7D)%20(%5Cfrac%7B5-%5Csqrt%7B21%7D%7D%7B2%7D)%5En%0A%5Cend%7Bcases%7D%20$

$%E6%A0%B9%E6%8D%AE%E9%A2%98%E6%84%8F%EF%BC%8C%E6%A0%87%E8%AE%B0%E5%90%91%E5%A4%96%E7%BF%BB%E7%9A%84%E7%AC%ACn%E6%AC%A1%E7%9A%84%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E5%92%8C%E4%B8%BAS_n$

則有

$%E5%8F%88S_2%3D3S_1%2C%E5%88%99%E6%9C%89$

這樣就可以寫出最終的答案了。

順便再解一下 $p_n$ 和 $q_n$ 吧。顯然 $P_0%3DQ_0%3D1%2C%E5%88%99p_n%3D%5Cfrac%7BP_n%7D%7BP_%7Bn-1%7D%7D%2Cq_n%3D%5Cfrac%7BQ_n%7D%7BQ_%7Bn-1%7D%7D$

然后，寫出最后的結(jié)果

用復(fù)數(shù)法我們還得到了一些其它小結(jié)論。平行鏈自然不用說(shuō)。

對(duì)于題目本身:

首先，通過(guò)式子可以看出，正方形迭代時(shí)，邊長(zhǎng)縮放倍率會(huì)逐漸趨近 $%5Cfrac%7B5%2B%5Csqrt%7B21%7D%7D%7B2%7D$

$n%E2%86%92%2B%5Cinfty%20%E6%97%B6%EF%BC%8C%E6%9C%89S_%7B2n-1%7D%3AS_%7B2n%7D%3D%E5%AE%9A%E5%80%BC$

在幾何上:

我們之前有一條式子長(zhǎng)這樣

這條式子的幾何意義是， $%5Coverrightarrow%7BZ_2X_1%7D%E5%8F%AF%E7%94%B1(%5Coverrightarrow%7BBA%7D%2B%5Coverrightarrow%7BCA%7D)%E6%97%8B%E8%BD%AC90%C2%B0%E5%BE%97%E5%88%B0$

上局部圖。 $%E6%98%BE%E7%84%B62%5Coverrightarrow%7BMA%7D%3D%5Coverrightarrow%7BBA%7D%2B%5Coverrightarrow%7BCA%7D$ ,故 $2i%5Coverrightarrow%7BMA%7D%3D%5Coverrightarrow%7BZ_2X_1%7D$

這條式子說(shuō)明了 $%5Coverline%7BMA%7D%5Cbot%20%5Coverline%7BZ_2X_1%7D%EF%BC%8C%5Coverline%7BZ_2X_1%7D%3D2%5Coverline%7BMA%7D$ 這個(gè)實(shí)際上也可以拿來(lái)單獨(dú)成題了，用復(fù)數(shù)法也是非常容易的。

如果用純幾何方法解呢?

倒也不是不行。但是感覺非常麻煩，只演示紅黃部分，剩下的真的沒有寫的欲望了qwq...

$%E6%B3%A8%E6%84%8F%E5%88%B0cos%5Calpha%3D%5Cfrac%7BAB%5E2%2BAC%5E2-BC%5E2%7D%7B2AB%5Ccdot%20AC%7D%2C-cos%5Calpha%3D%5Cfrac%7BAB%5E2%2BAC%5E2-X_1Z_2%5E2%7D%7B2AB%5Ccdot%20AC%7D$