有家長提問——

兩根僅長度不同的蠟燭豎直浮在水面上，無論長短，露出水面部分總是水下部分的1/7，剛開始，短蠟燭的總長度是長蠟燭露出水面部分的4倍，同時點燃后1小時，短蠟燭的總長度恰好等于長蠟燭露出水面部分，試問兩根蠟燭各還需繼續(xù)均勻燃燒多長時間，才能全部燒完？

【思路】

1. 這是一道變比問題，變比問題通常存在不變量[1]；

2. 變比前與變比后的不變量是兩根蠟燭的長度差[2]；

3. 統(tǒng)一不變量的份數(shù)，使得變比前的每一份與變比后的每一份相等[3]；

4. 根據(jù)燃燒1小時蠟燭減少的份數(shù)，按正比例關(guān)系計算兩根蠟燭還需燃燒的時間[4].

【步驟】

【詳解】

1. 如上圖所示，設(shè)剛開始長蠟燭露出水面的部分長度為a，則剛開始短蠟燭的總長度為4a，又因為蠟燭露出水面的部分是整根蠟燭的“冰山一角”，水下的長度是水上的7倍，所以長蠟燭的總長度可表示為：a+7a=8a，那么剛開始長蠟燭總長度與短蠟燭總長度的比為——
   8a:4a=2:1；

2. 1小時后，兩根蠟燭的長度都發(fā)生了不同程度的減少，設(shè)此時長蠟燭露出水面部分的長度為b，則此時短蠟燭的總長度也為b，又因為一根蠟燭任何時候水下部分的長度都是水上的7倍，所以長蠟燭的總長度可表示為：b+7b=8b，那么1小時后長蠟燭總長度與短蠟燭總長度的比為——
   8b:b=8:1；

3. 從2:1變?yōu)?:1，我們能簡單認(rèn)為“長蠟燭變長了6份，短蠟燭長度不變”嗎？這個結(jié)論顯然與我們的實際觀察不符[5]；究其原因，是因為“2:1”中的1份與“8:1”中的1份代表的長度不同[6]；

4. 題目說兩根蠟燭“僅長度不同”[7]、“同時點燃后1小時”[8]，言外之意就是它們在1小時內(nèi)減少了相同的長度[9]，根據(jù)同增同減差不變[10]，可以知道兩根蠟燭的長度之差不隨燃燒而改變[11]；

5. 燃燒前的長、短蠟燭長度比為2:1，長度相差2-1=1份；燃燒后的長、短蠟燭長度比為8:1，長度相差8-1=7份，既然長度之差不變，我們就不能讓它一會兒是1份一會兒是7份，而應(yīng)統(tǒng)一為[1,7]=7份[12]；

6. 為了讓長度相差7份，2:1需要擴(kuò)成原來的7倍：2×7:1×7=14:7；

7. 為了讓長度相差7份，8:1需要擴(kuò)成原來的1倍：8×1:1×1=8:1；

8. 我們終于得到了這道題真正的變比過程：14:7→8:1；

9. 現(xiàn)在我們可以說，“14:7”中的1份與“8:1”中的1份是相等的、具有可比性的[13]；

10. 1小時內(nèi)，長蠟燭從14份燃燒到還剩8份，燃燒了14-8=6份；

11. 1小時內(nèi)，短蠟燭從7份燃燒到還剩1份，燃燒了7-1=6份；

12. 檢驗：①兩根蠟燭在相同的1小時內(nèi)均燃燒了6份，符合題意；②兩根蠟燭燃燒前相差14-7=7份長度，燃燒了相同長度后相差8-1=7份長度，長度之差保持不變，符合題意；

13. 既然蠟燭的燃燒速度是6份/時，還剩下1份的短蠟燭只需再燃燒：1份÷6份/時=1/6小時就全部燃燒完；

14. 還剩下8份的長蠟燭只需再燃燒：8份÷6份/時=4/3小時就全部燃燒完.

答：短蠟燭、長蠟燭分別需繼續(xù)燃燒1/6小時、4/3小時才能全部燒完.

【總結(jié)】

1. 變比問題的特征是變化前有一個比，變化后有另一個比；

2. 兩個比一開始不具有可比性，因為“單位1”（或者說1份量）不統(tǒng)一，就好比兩個國家貨幣價值不統(tǒng)一，我們無法單純從比的份數(shù)中看出大小（比方說變比前的5份不一定比變比后的2份大）；

3. 應(yīng)對的辦法就是找到不變量——不變量通常是兩個變量的其中一個（單量），又或是它們的和與差，這個不變量不會隨變比而改變，但這個不變量對應(yīng)的份數(shù)通常在變比前與變比后是不同的，我們的目標(biāo)就是把不變量的對應(yīng)的兩個不同份數(shù)統(tǒng)一成它們的最小公倍數(shù)那么多份[14]；

4. 隨著不變量的份數(shù)擴(kuò)倍，變比前與變比后的比也應(yīng)根據(jù)比的性質(zhì)跟著擴(kuò)倍[15]；

5. 擴(kuò)完倍之后的比就具有可比性了，通過量份對應(yīng)，即可求出目標(biāo)量.

【參考】

1. ^兩個變量的數(shù)量之比隨某次變化而改變的問題，根據(jù)變比原因的不同，變比過程中通常會保持兩個變量的其中一個不變（即單量不變），又或者是和不變或差不變.

2. ^題目說兩根蠟燭僅長度不同，所以可認(rèn)為它們的燃燒速度是相同的，又因為它們是同時點燃，燃燒的時間都是1小時，所以燃燒的長度是一樣的，根據(jù)同增同減差不變可以推出兩根蠟燭的長度差不隨燃燒而改變.

3. ^只有當(dāng)變比問題中的不變量的份數(shù)統(tǒng)一時，變比前的比與變比后的比才具有可比性；舉個例子，變量A與變量B從7:5變?yōu)?:1，我們能認(rèn)為“A減少了5份B減少了4份”嗎？要知道，變比前的1份是可能價值1元，變比后的1份可能價值1美元，那么變比前的比與變比后的比就不具有可比性，（可能變比前的5份都沒有變比后的1份價值大），除非我們找到一個不變量C，它的價值不隨A與B的變比而改變，然后我們以它為中介，將它的價值定義為n份，只要能求出A與B在變化前與C是幾比幾，變化后與C是幾比幾，就能真實反映出A與B的價值改變了幾份.（因為此時的每1份價值是相等的.）

4. ^此題中的蠟燭燃燒我們進(jìn)行理想化處理：①蠟燭燃燒是勻速持續(xù)進(jìn)行的；②蠟燭燃燒是同時開始的；③兩根蠟燭每時每刻的燃燒速度相同；④蠟燭一定會從始至終完全燒完；在這些理想化條件下，如果蠟燭1小時燃燒6份，那么燃燒3份就只需半小時，燃燒長度與時長成正比.

5. ^長蠟燭短蠟燭經(jīng)歷了1小時的燃燒后都變短了.

6. ^燃燒前的短蠟燭經(jīng)過燃燒后長度一定變短，那么短蠟燭燃燒前后的長度比絕不可能是1:1，所以推得燃燒前的1份與燃燒后的1份代表的長度是不相等的.

7. ^也就是說除了長度以外的材質(zhì)、粗細(xì)、形狀等全都是一樣的，從而推得兩根蠟燭的燃燒速度相等.

8. ^兩根蠟燭同時點燃，也就是說點燃后經(jīng)歷了共同的1小時，燃燒時長相等.

9. ^類比行程問題中的等量關(guān)系“路程=速度×?xí)r間”可得“燃燒長度=燃燒速度×燃燒時間”，既然燃燒速度與燃燒時間都相等，那么兩根蠟燭燃燒了的長度也一定相等.

10. ^由等式的性質(zhì)：設(shè)A-B=C，若A、B同時增加或減少相同的數(shù)d，則(A±d)-(B±d)=C，因此對變量A變量B而言，同增同減差不變.

11. ^準(zhǔn)確地說應(yīng)該是在短蠟燭全部燃燒完之前兩根蠟燭的長度之差不變.

12. ^將不變量份數(shù)統(tǒng)一為原來的兩種份數(shù)的最小公倍數(shù).

13. ^因為長度之差不變，不變的長度之差對應(yīng)的份數(shù)都是7份，那么每一份必然是相等的.

14. ^舉個例子，甲乙的蘋果數(shù)之比為2:3，乙給了甲40個之后，甲乙蘋果數(shù)之比變?yōu)?:1，我們知道，無論甲乙怎么交換，蘋果總數(shù)不變，而一開始蘋果共有2+3=5份，之后蘋果共有2+1=3份，事實上蘋果總數(shù)不變，那么將5份與3份統(tǒng)一為[5,3]=15份即可.

15. ^接著上面的例子，變比前2:3共5份，想要擴(kuò)倍為總和15份，就應(yīng)前項后項乘3得6:9；變比后2:1共3份，想要擴(kuò)倍為總和15份，就應(yīng)前項后項乘5得10:5.