上次說了"空間"就是"點(diǎn)的集合", 定義一個(gè)基集合 {φ_n}, 那么在一定空間上任意一點(diǎn)可以用以下方式表達(dá)出來

如果基是函數(shù), 那么這個(gè)空間就是函數(shù)空間, 而每一個(gè)點(diǎn)也就對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)

當(dāng)然已知系數(shù)A_n, 求得函數(shù)P(x)是非常非常簡(jiǎn)單的, 而泛函分析的問題是:

已知函數(shù) f(x), 如何在基{φ_n}的空間中求得相應(yīng)的坐標(biāo)A_n

可能會(huì)有人問: 已知f(x)為什么還要去求A_n呢

要回答這個(gè)問題還真的有點(diǎn)難度, 有時(shí)候f(x)很難進(jìn)行分析 (特別是含有l(wèi)n的), 這時(shí)候就需要在一定范圍D上把f(x)拆成更容易分析的函數(shù)φ_n的和,? 但是在更多情況是解數(shù)理方程 (a(x) * dy^2/dx^2 + b(x) * dy/dx + c(x) * y + d(x) = 0)的時(shí)候, 幾乎不可能解出目標(biāo)的解, 只能先解到一系列簡(jiǎn)單解φ_n, 然后用這些簡(jiǎn)單的解得到符合目標(biāo)的級(jí)數(shù)解

事實(shí)上, 只要規(guī)定了基函數(shù)后, 求解A_n就非常簡(jiǎn)單了, 所以先來說一下

函數(shù)的正交和歸一

假設(shè)現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù) f 和 g, 類似向量的垂直, 函數(shù)也有對(duì)應(yīng)的"正交",? 如同向量垂直的必要條件(兩個(gè)向量點(diǎn)積為0), 函數(shù)正交的必要條件為:

符合上述條件的非0函數(shù), 則稱兩個(gè)函數(shù)正交

這個(gè)性質(zhì)特別特別重要, 是泛函分析的基礎(chǔ), 需要牢記 (當(dāng)然非正交的也會(huì)有時(shí)候碰到...)

當(dāng)存在一個(gè)基函數(shù)集 {φ_n} 符合下面的條件:

則稱這個(gè)函數(shù)集為 "正交函數(shù)系"

如果一個(gè)函數(shù)符合下面的條件:

那么稱函數(shù) f 是歸一的

其實(shí)創(chuàng)造一個(gè)歸一函數(shù)也并不困難, 只要任意一個(gè)"快速收斂"的函數(shù)除以自身的模就可以得到一個(gè)歸一函數(shù)了,? ?所以歸一性在泛函分析里并不太重要

如果一個(gè)函數(shù)集 {φ_n}?內(nèi), 每一個(gè)函數(shù)都滿足歸一性, 那么這個(gè)函數(shù)集就是 "標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)系"

特別地, 同時(shí)滿足正交和歸一的函數(shù)集就叫做 "標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系", 這種函數(shù)系在數(shù)學(xué)和物理上都有十分重要的應(yīng)用

在正交函數(shù)系中分解函數(shù)

在一般的標(biāo)準(zhǔn)正交向量空間中, 假如有向量v =?[... A_k-1? A_k-1? A_k? A_k+1...], 那么提取第k個(gè)A的值可以用第k個(gè)基與v作點(diǎn)乘

同理, 在標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)空間中也有類似的定義:

假設(shè)在定范圍D中, 函數(shù) f(x) 可以被標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系{φ_n}分解, 那么有:

其中:?

注意: f_D(x) 并不絕對(duì)等于f(x), 在區(qū)間端點(diǎn)和間斷點(diǎn)很有可能并不會(huì)相等, 而在連續(xù)光滑的區(qū)間是相等的

證明 (可以跳過):

首先假設(shè)存在一個(gè)函數(shù) f_D(x) 在標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系 {φ_n} 張成的空間內(nèi), 并且在范圍D內(nèi)一致等于 f(x), 那么 f_D(x) 滿足下列條件:

1.?f_D(x)為φ_n 的線性組合,? 2.?f_D(x)與f(x)不相等的區(qū)域D`,? 在D內(nèi)D`占的比例為0, 也就說明D`內(nèi)的積分為0

則有:

既然 {φ} 是標(biāo)準(zhǔn)正交的, 那么有:

上面等式右端就為A_k, 證畢

類似地, 如果函數(shù)系 {φ_n} 正交但是不標(biāo)準(zhǔn), 則有以下分析方法

函數(shù)系的完備性? 以及?重新理解傅里葉級(jí)數(shù)??可以跳過

在區(qū)域 [0, 2pi] 中, 明顯有兩個(gè)正交但不標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)系 {sin(nx)} 和 {cos(nx)}?

那么任意函數(shù) f(x) 可以在[0, 2pi]中, 使用{sin(nx)}作分解嗎

來觀察{sin(nx)}的前4項(xiàng)圖像

可以看到整個(gè)函數(shù)系以pi這一點(diǎn)有中心對(duì)稱的關(guān)系, 那么{sin(nx)}經(jīng)線性組合得到的函數(shù) f_D(x) 也必定有中心對(duì)稱的關(guān)系

但是這并不滿足我們一開頭就提出的 "任意函數(shù) f(x)" 的條件

所以盡管{sin(nx)}是一個(gè)正交函數(shù)系, 但是它并不能對(duì)任意函數(shù)進(jìn)行分解, 那么則稱{sin(nx)}在[0, 2pi]中不完備

完備正交函數(shù)系的充要條件為:?

明顯可知, 在[0, 2pi]上另一個(gè)正交函數(shù)系{cos(nx)}也是不完備的

但是幸運(yùn)的是,?{sin(nx)}和{cos(nx)}是線性無關(guān)的(就是不能互相使用線性組合表示對(duì)方), 并且兩個(gè)函數(shù)系互相正交, 那么兩個(gè)合拼在一起的函數(shù)系: {{sin(nx)}, {cos(nx)}}也是一個(gè)正交函數(shù)系, 并且可以證得以下關(guān)系式成立 (其實(shí)我也不會(huì)證明)

對(duì)于任意 f(x), 在[0, 2pi]上有:

并且因?yàn)閧{sin(nx)},?{cos(nx)}}是正交函數(shù)系, 并且簡(jiǎn)單有:

那么根據(jù)正交函數(shù)系分解函數(shù)的方法可得:

這里的結(jié)果是跟高數(shù)里的傅里葉級(jí)數(shù)的結(jié)果一致的

重新理解傅里葉變換

在有些時(shí)候, 函數(shù)系{φ_n}中的n, 并不是取離散的0, 1, 2...., 而是取連續(xù)的實(shí)數(shù)(甚至復(fù)數(shù)), 這個(gè)時(shí)候函數(shù)系絕對(duì)不會(huì)是正交函數(shù)系, 但是如果存在一個(gè)下標(biāo)為離散的正交函數(shù)系 {Φ_n}, 并且{Φ_n} 是?{φ_n} 的一個(gè)子集, 那么{φ_n}也有類似正交函數(shù)系的性質(zhì)(但是并不是完全相同的)

這里有一個(gè)函數(shù)系 {φ_ω(t)}={e^(iωt)} 下標(biāo)ω為實(shí)數(shù)?并且存在一個(gè)子函數(shù)系 {Φ_n(t)}={e^(-int)} 下標(biāo)n為整數(shù), 容易證明{Φ_n(t)}是一個(gè)在實(shí)數(shù)范圍的正交函數(shù)系, 那么類似正交函數(shù)系, 有:

在這個(gè)例子中, 求解A_ω里的φ_ω(-t)就是與正交函數(shù)系不相同的地方,? 上面兩式稍微整理系數(shù)就是通常的傅里葉變換了

***? 特別地, 子函數(shù)系?{Φ_n(t)}={e^(-int)} 下標(biāo)n為整數(shù)??其實(shí)就是復(fù)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

這里必須知道? "變換"? 與 "級(jí)數(shù)"? 密切相關(guān) ***

當(dāng)然泛函分析是不止那么少內(nèi)容的, 主要應(yīng)用在分析圓域, 球域或者圓柱域的函數(shù),? 一般來說泛函分析都是求解某個(gè)系統(tǒng)的含時(shí)演化, 如: 熱傳導(dǎo)方程, 或者薛定諤方程

特別地, 函數(shù)系也不止正弦函數(shù)系, 也有Bessel函數(shù)系和Legedre函數(shù)系等高等函數(shù)組成的函數(shù)系

*** 在這里我要說一聲抱歉, 最近的專欄圖片越來越少, 而數(shù)學(xué)公式越來越多, 并不是我不想做一些方便大家理解的圖片, 而是真的太抽象了, 以至于想不到有什么合適的"可視化" ***