6 拉普拉斯方程求解

在本節(jié)，我們將解開拉普拉斯方程在笛卡爾坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下。前者解對平面或者區(qū)域應(yīng)用是十分有用的。后者的解是全球方案。兩者都將發(fā)展為以正交基函數(shù)表示（分別為傅里葉序列和球諧序列）

拉普拉斯方程的解是最重要的一步去解決邊值問題。第二步將邊界方程用同一組級數(shù)表示并確定這些級數(shù)的系數(shù)。

6.1 笛卡爾坐標(biāo)系

考慮到以x和y為水平坐標(biāo)，z為垂直坐標(biāo)情況， z<0意味著位置在地球內(nèi)部，z>0在地球外部（這里可能會有疑惑？）。我們的任務(wù)就是找出在z>0的解。對于這組微分方程，有個很重要與實(shí)用的策略就是分離變量法。這是一個很好的方法，常用于求解微分方程。分離變量法本身的意義就是建立互相正交的基。這是我一個很樸素但是又貼合實(shí)際的解釋。首先，我們把這個拉普拉斯方程的解三個函數(shù)的乘積，這三個函數(shù)分別為三個獨(dú)立變量的函數(shù)。

這里短暫回顧一下拉普拉斯算子的形式：

由此可以看出，拉普拉斯算子是個對標(biāo)量才起作用的，輸出標(biāo)量的算符。

將算子用在公式6.1上，我們得到

為了方便表示，我們采用了簡單的形式 (）， 并對公式進(jìn)行調(diào)整得到以下結(jié)果。

分離變量可以很清楚地分離出被求導(dǎo)的變量。我們不加解釋的直接先定各個子方程的常數(shù)。

6.3的方程都是二階常微分方程（ODE），因此直接可以求得它們的基礎(chǔ)解

當(dāng)然，每一個解都可以跟一個常數(shù)或者說振幅相結(jié)合。這個6.2方程的解將會表示為f,g,h的乘積形式。但是對于每一個n和m，我們都會有一組新的解，因此，我們不得不疊加每個n和m的所有可能組合的所有解。

用復(fù)數(shù)指數(shù)去替換這些sin和cos基函數(shù)，我們可以得到更緊湊的表達(dá)式：

由歐拉公式?

三角恒等變換

如果看不明白，可以嘗試把n，m組成的四個象限的情況分開求和即可。