一般固體變形控制方程主要由三個方程構成：應力平衡方程、幾何變形方程、本構方程，一般以Navier的形式出現(xiàn),此公式推導涉及到彈性力學的基本理論，在此不再推導。式(1)中εv、u、Fx分別為體應變、位移、x方向體載荷。

化成張量形式(一種表述方法)

如果出現(xiàn)流固耦合或者溫度、煤基質(zhì)變形引起應力耦合，則需要添加額外項。此過程以太沙基提出的有效應力原理為基礎，如式(3)。式中α為有效應力系數(shù)即Biot系數(shù)，p為孔隙壓力。太沙基的有效應力方程是針對單孔隙提出的，而對于像煤層這些雙重孔隙/裂隙介質(zhì)的多孔介質(zhì)而言，需要作出一些修正，如式(4)。式(4)中考慮了基質(zhì)中孔壓與裂隙中孔壓對有效應力的影響。對于流固耦合問題，便是討論有效應力下的變形控制方程，這樣便考慮到孔壓對固體變形的影響。將式(3)帶入到式(2)得到，得到考慮流固耦合的張量形式，如式(5)。

式(5)考慮了孔壓對有效應力影響，還可以考慮其他應力對有效應力影響如溫度引起的熱應力、煤體基質(zhì)變形引起的應力等。對于多孔介質(zhì)中流體的流動方程，一般采用達西流動，非飽和流動的理查茲方程，其中達西流動較為簡單，一般適用于低速線性流動，如式(6)。固體中的滲透率一般與應力或者應變有關系，此時固體變形將會通過影響孔隙率和滲透率，進而影響流體的流動，流體的流動又導致孔壓發(fā)生變化，影響固體的有效應力，達到流體和固體之間的雙向耦合。

COMSOL中如何實現(xiàn)流固耦合?按照前文推導的公式，選用“固體力學”模塊與“達西定律”模塊。固體力學模塊中線彈性材料中的控制方程便是式(2)，還需要添加一項代表孔壓的影響。從式(5)分析可以看到，把孔壓項當做體載荷，輸入到COMSOL中。Fi為重力引起的體載荷，在需要考慮重力項時，可以把重力項加入到體載荷中，不需要考慮時，即可忽略Fi此項。圖1為體積力設置項，選擇體載荷。圖2是體載荷設置，選擇“單位體積的力”，在x,y欄分別輸入alpha1*dl.px1與alpha1*dl.px2。dl.px1、dl.px2表示壓力在x、y方向的梯度，即壓力p對x或y求偏導。設置好體載荷后，然后設置邊界載荷和邊界條件，這樣固體變形控制方程就在COMSOL設置好了。

圖1 COMSOL中體載荷與重力欄

圖2 體載荷設置

對于達西定律，此物理場設置較為簡單。按照流體和基本屬性的欄順序，依次輸入。邊界設置邊界壓力，同時設置初始壓力。以上設置完成后，選擇瞬態(tài)求解，把固體力學與達西定律均選上，設置求解時間即可求解。流固耦合問題的難點在于對控制方程的理解以及在COMSOL中的輸入，對于其他耦合問題，可以參考流固耦合的設置。

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