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第二章 導數(shù)與微分

第一節(jié) 導數(shù)概念

一、引例

a.直線運動的速度

概念：

• 位置函數(shù)：設動點于時刻t在直線上的位置的坐標為s（簡稱位置s），這樣，該點的運動完全由某個函數(shù)s=f(t)所確定，此函數(shù)對運動過程中所出現(xiàn)的t值有定義，稱為位置函數(shù)。

• 勻速運動：無論取哪一段時間間隔，比值——經(jīng)過的路程/所花的時間——總是相同的，這個比值就稱為該動點的速度，并說該點作勻速運動。

• 平均速度：從時刻t0到t這樣一個時間間隔，在這段時間內(nèi)，動點從位置s0=f(t0)移動到s=f(t)，這時算得的比值(s-s0)/(t-t0)=[f(t)-f(t0)]/(t-t0)——可認為是動點在上述時間間隔內(nèi)的平均速度。

• 瞬時速度：令t→t0，取上式極限，如果這個極限存在，設為v，即
  

????——把這個極限值v稱為動點在時刻t0的（瞬時）速度。

b.切線問題

概念：

• 圓的切線：與曲線只有一個交點的直線。

• 曲線的切線：設有曲線C及C上的一點M，在點M外另取C上一點N，作割線MN，當點N沿曲線C趨于點M時，如果割線MN繞點M旋轉而趨于極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線——

  極限位置：只要弦長|MN|趨于零，∠NMT也趨于零。

• 割線斜率：設M(x0,y0)是曲線C上的一個點，則y0=f(x0)，要定出曲線C在點M處的切線，只要定出切線的斜率就行了，為此，在點M外另取C上的一點N(x,y)，于是割線MN的斜率為tan φ=(y-y0)/(x-x0)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0)。

• 切線斜率：當點N沿曲線C趨于點M時，x→x0，如果當x→x0時，上式的極限存在，設為k，即
  

????——存在，則此極限k是割線斜率的極限，也就是切線的斜率，

????——這里k=tan α，其中α是切線MT的傾角，于是，

????——通過點M(x0,f(x0))且以k為斜率的直線MT便是曲線C在點M處的切線。

二、導數(shù)的定義

a.函數(shù)在一點處的導數(shù)與導函數(shù)

定義：設函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在x0處取得增量Δx（點x0+Δx仍在該鄰域內(nèi)）時，相應的函數(shù)取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy與Δx之比當Δx→0時的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)，記為f'(x0)，即

b.求導數(shù)舉例

例子：

c.單側導數(shù)

定義：函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f'(x0)的定義，導數(shù)

是一個極限，而極限存在的充分必要條件是左、右極限都存在且相等，因此f'(x0)存在即f(x)在x0處可導的充分必要條件是左、右極限

都存在且相等，這兩個極限分別稱為函數(shù)f(x)在點x0處的左導數(shù)和右導數(shù)，記作

左導數(shù)和右導數(shù)統(tǒng)稱為單側導數(shù)。

三、導數(shù)的幾何意義

切線方程：y-y0=f'(x0)(x-x0)

法線方程：y-y0=-f'(x0)/(x-x0)

四、函數(shù)可導性與連續(xù)性的關系

關系：

1. 如果函數(shù)y=f(x)在點x處可導，則函數(shù)在該點必連續(xù)；

2. 一個函數(shù)在某點連續(xù)卻不一定在該點可導。