不確定性原理的證明

2019-10-27 14:51 作者:nyasyamorina 0人讀過(guò) | 我要投稿

不確定性原理不是在量子力學(xué)誕生后才發(fā)現(xiàn)的, 而是早在19世紀(jì)就已經(jīng)被數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的了, 只不過(guò)是在量子力學(xué)里發(fā)展出三種不同的不確定性而已

不確定性原理是在傅里葉變換中演變出來(lái)的, 不知道WFT的讀者可以去找一下相關(guān)的資料或者看一看我之前發(fā)的專欄

窗中心與窗口大小

WFT里的核心概念就是窗函數(shù), 而窗函數(shù)分為時(shí)窗函數(shù)和頻窗函數(shù)兩個(gè)?分為的意思不是兩個(gè)獨(dú)立的函數(shù), 頻窗函數(shù)是時(shí)窗函數(shù)的傅里葉變換, 而時(shí)窗頻窗都符合一系列的要求, 就把時(shí)窗頻窗函數(shù)統(tǒng)稱為窗函數(shù)

實(shí)際上構(gòu)造一個(gè)窗函數(shù)并不復(fù)雜, 隨便選取一個(gè)有界有界就是在全體實(shí)數(shù)中不會(huì)有無(wú)窮大出現(xiàn)且在無(wú)窮處等于0的函數(shù), 然后把函數(shù)除以自身的內(nèi)積, 使得新函數(shù)內(nèi)積為1, 那么這個(gè)新函數(shù)就是時(shí)窗函數(shù), 而這個(gè)時(shí)窗函數(shù)的傅里葉變換就是頻窗函數(shù)了

上面的東西應(yīng)該在WFT里面就說(shuō)的, 然而我忘了

既然是窗, 那么這個(gè)窗就應(yīng)該有中心位置和窗口大小兩個(gè)參數(shù)

如果窗中心是一個(gè)不等于零的數(shù) t` , 代表著在 t=t0 時(shí)做WFT分析,? 實(shí)際上分析的數(shù)據(jù)中心為 t0+t`

時(shí)窗中心 t^* 可以由以下方法求出? ? ?w(t) 是時(shí)窗函數(shù)

求出時(shí)窗中心之后就可以求出時(shí)窗半徑了

WFT的思想就是把數(shù)據(jù)局域化再進(jìn)行分析, 那么局域化的范圍就是以時(shí)窗中心為中心, 半徑為時(shí)窗半徑內(nèi)的范圍了

那么時(shí)窗半徑 Δt 可以用以下方法求出

同理我們可以定義頻窗中心和頻窗半徑? ?w_hat(ω) 是頻窗函數(shù)

分母只是為了消除頻窗函數(shù)內(nèi)積不等于1而已, 并不會(huì)很復(fù)雜

同理, 頻窗中心和頻窗半徑與時(shí)窗的定義基本上一模一樣, 區(qū)別只是一個(gè)是時(shí)間上, 另一個(gè)在頻率上

所以不確定性原理說(shuō)的是什么東西

如果我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系里, 把橫軸當(dāng)作時(shí)間t軸, 豎軸當(dāng)作頻率ω軸, 把相應(yīng)的時(shí)窗頻窗函數(shù)畫在軸上,? 而且把相應(yīng)的中心用線條標(biāo)出,? 把時(shí)窗和頻窗對(duì)應(yīng)的局域化范圍標(biāo)出, 則得到以下圖像

那么時(shí)窗頻窗中心的交點(diǎn)?(t^*, ω^*) (就是黑色那一點(diǎn)) 就叫做窗中心,? 而時(shí)窗頻窗局域化相交的區(qū)域?[t^*-Δt, t^*+Δt] * [ω^*-Δω, ω^*+Δω] 就叫做開窗區(qū)域

不確定性原理說(shuō)的就是開窗區(qū)域的面積不會(huì)小于某一個(gè)數(shù)字,? 也就是說(shuō)時(shí)間和頻率上可以確定的范圍的乘積不會(huì)小于一個(gè)數(shù)字,? 也就是在說(shuō)時(shí)間和頻率不能同時(shí)確定到一個(gè)很小的數(shù)字

以下就是比較直觀地感受這個(gè)效應(yīng)

可以看到當(dāng)時(shí)窗半徑減少時(shí), 頻窗半徑就會(huì)增大, 反之亦然, 也就說(shuō)明開窗區(qū)域的面積總會(huì)大于一個(gè)數(shù)字

不確定性原理的證明

這里需要關(guān)于函數(shù)內(nèi)積的知識(shí), 可以參考我昨天發(fā)的專欄

以免占用巨量篇幅, 我這里直接做成圖片, 需要的可以直接保存圖片慢慢研究

量子力學(xué)的測(cè)不準(zhǔn)原理

"你說(shuō)的我都懂, 可是這和量子力學(xué)有半毛錢關(guān)系?"

這就提到了量子力學(xué)有趣的地方了

眾所周知. 量子力學(xué)里描述粒子的東西叫做 "波動(dòng)方程"??學(xué)矩陣力學(xué)的可以在旁邊歇一歇了

一般說(shuō)的波動(dòng)方程是關(guān)于位置和時(shí)間的, 即是以下的形式

而且取這個(gè)關(guān)于位置, 時(shí)間的波動(dòng)方程的傅里葉變換, 得到的新方程居然是關(guān)于動(dòng)量, 時(shí)間的, 即:

"測(cè)量" 這個(gè)過(guò)程其實(shí)和WFT大同小異, 都是把一個(gè)信號(hào)(方程)局域化再進(jìn)行分析, 所以傅里葉變換的不確定性原理在 "測(cè)量" 這個(gè)過(guò)程中也會(huì)跑出來(lái),? 并且動(dòng)量p = 質(zhì)量m * 速度v,? ?人們是可以準(zhǔn)確測(cè)量粒子的質(zhì)量, 于是得到:

其中約化普朗克常數(shù)是處理人們因?yàn)閬y取單位出現(xiàn)的修正常數(shù)

經(jīng)常會(huì)看到類似 "如果什么什么常數(shù)比現(xiàn)在大一點(diǎn)小一點(diǎn), 宇宙會(huì)變得怎么樣" 或者 "為什么基本常數(shù)是現(xiàn)在的樣子",? 我只能說(shuō)這種假設(shè)是完全沒(méi)有必要的, 實(shí)際上只要選取合適的單位長(zhǎng)度, 單位時(shí)間等,? 所有基本常數(shù)都會(huì)變成1, 但是不使用這種單位制的原因就是因?yàn)檫@種單位制比日常生活的尺度大或小幾十個(gè)數(shù)量級(jí),?對(duì)日常生活毫無(wú)作用