FCM算法是一種基于劃分的聚類算法，它的思想就是使得被劃分到同一簇的對(duì)象之間相似度最大，而不同簇之間的相似度最小。模糊C均值算法是普通C均值算法的改進(jìn)，普通C均值算法對(duì)于數(shù)據(jù)的劃分是硬性的，而FCM則是一種柔性的模糊劃分。在介紹FCM具體算法之前我們先介紹一些模糊集合的基本知識(shí)。

1?模糊集基本知識(shí)

? 首先說(shuō)明隸屬度函數(shù)的概念。隸屬度函數(shù)是表示一個(gè)對(duì)象x隸屬于集合A的程度的函數(shù)，通常記做μA(x)，其自變量范圍是所有可能屬于集合A的對(duì)象（即集合A所在空間中的所有點(diǎn)），取值范圍是[0,1]，即0<=μA(x)<=1。μA(x)=1表示x完全隸屬于集合A，相當(dāng)于傳統(tǒng)集合概念上的x∈A。一個(gè)定義在空間X={x}上的隸屬度函數(shù)就定義了一個(gè)模糊集合A，或者叫定義在論域X={x}上的模糊子集。對(duì)于有限個(gè)對(duì)象x1，x2，……，xn模糊集合可以表示為：

??????????????

??

? ?（6.1)

? 有了模糊集合的概念，一個(gè)元素隸屬于模糊集合就不是硬性的了，在聚類的問(wèn)題中，可以把聚類生成的簇看成模糊集合，因此，每個(gè)樣本點(diǎn)隸屬于簇的隸屬度就是[0，1]區(qū)間里面的值。

2?K均值聚類算法(HCM，K-Means)介紹

? K均值聚類（K-Means），即眾所周知的C均值聚類，已經(jīng)應(yīng)用到各種領(lǐng)域。它的核心思想如下：算法把n個(gè)向量xj(1,2…,n)分為c個(gè)組Gi(i=1,2,…,c)，并求每組的聚類中心，使得非相似性（或距離）指標(biāo)的價(jià)值函數(shù)（或目標(biāo)函數(shù)）達(dá)到最小。當(dāng)選擇歐幾里德距離為組j中向量xk與相應(yīng)聚類中心ci間的非相似性指標(biāo)時(shí)，價(jià)值函數(shù)可定義為：

??????

??

? ? ? ?(6.2)

? 這里是組i內(nèi)的價(jià)值函數(shù)。這樣Ji的值依賴于Gi的幾何特性和ci的位置。

? 一般來(lái)說(shuō)，可用一個(gè)通用距離函數(shù)d(xk,ci)代替組I中的向量xk，則相應(yīng)的總價(jià)值函數(shù)可表示為：

???????

??

? ? ? ? (6.3)

? 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里用歐幾里德距離作為向量的非相似性指標(biāo)，且總的價(jià)值函數(shù)表示為（6.2）式。

? 劃分過(guò)的組一般用一個(gè)c×n的二維隸屬矩陣U來(lái)定義。如果第j個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)xj屬于組i，則U中的元素uij為1；否則，該元素取0。一旦確定聚類中心ci，可導(dǎo)出如下使式（6.2）最小uij：

??

? ? ?(6.4)

? 重申一點(diǎn)，如果ci是xj的最近的聚類中心，那么xj屬于組i。由于一個(gè)給定數(shù)據(jù)只能屬于一個(gè)組，所以隸屬矩陣U具有如下性質(zhì)：

???????

??

? ? ? ?(6.5)

且? ? ? ? ?

??

? ? ? ? ? ? ? ? ?(6.6)

? 另一方面，如果固定uij則使（6.2）式最小的最佳聚類中心就是組I中所有向量的均值：? ? ? ??

??? ? ? ? ? ? ? ?(6.7)

? 這里|Gi|是Gi的規(guī)?；颉?/p>

? 為便于批模式運(yùn)行，這里給出數(shù)據(jù)集xi（1，2…，n）的K均值算法；該算法重復(fù)使用下列步驟，確定聚類中心ci和隸屬矩陣U：

? 步驟1：初始化聚類中心ci,i=1,…,c。典型的做法是從所有數(shù)據(jù)點(diǎn)中任取c個(gè)點(diǎn)。

? 步驟2：用式（6.4）確定隸屬矩陣U。

? 步驟3：根據(jù)式（6.2）計(jì)算價(jià)值函數(shù)。如果它小于某個(gè)確定的閥值，或它相對(duì)上次價(jià)值函數(shù)質(zhì)的改變量小于某個(gè)閥值，則算法停止。

? 步驟4：根據(jù)式（6.5）修正聚類中心。返回步驟2。

? 該算法本身是迭代的，且不能確保它收斂于最優(yōu)解。K均值算法的性能依賴于聚類中心的初始位置。所以，為了使它可取，要么用一些前端方法求好的初始聚類中心；要么每次用不同的初始聚類中心，將該算法運(yùn)行多次。此外，上述算法僅僅是一種具有代表性的方法；我們還可以先初始化一個(gè)任意的隸屬矩陣，然后再執(zhí)行迭代過(guò)程。

? K均值算法也可以在線方式運(yùn)行。這時(shí)，通過(guò)時(shí)間平均，導(dǎo)出相應(yīng)的聚類中心和相應(yīng)的組。即對(duì)于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)x，該算法求最近的聚類中心ci，并用下面公式進(jìn)行修正：

?????????

??

? ? ? ? ? ? ?(6.8)

? 這種在線公式本質(zhì)上嵌入了許多非監(jiān)督學(xué)習(xí)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)法則。

3???模糊C均值聚類

? 模糊C均值聚類（FCM），即眾所周知的模糊ISODATA，是用隸屬度確定每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)屬于某個(gè)聚類的程度的一種聚類算法。1973年，Bezdek提出了該算法，作為早期硬C均值聚類（HCM）方法的一種改進(jìn)。

? FCM把n個(gè)向量xi（i=1,2,…,n）分為c個(gè)模糊組，并求每組的聚類中心，使得非相似性指標(biāo)的價(jià)值函數(shù)達(dá)到最小。FCM與HCM的主要區(qū)別在于FCM用模糊劃分，使得每個(gè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)用值在0，1間的隸屬度來(lái)確定其屬于各個(gè)組的程度。與引入模糊劃分相適應(yīng)，隸屬矩陣U允許有取值在0，1間的元素。不過(guò)，加上歸一化規(guī)定，一個(gè)數(shù)據(jù)集的隸屬度的和總等于1：? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?(6.9)

? 那么，F(xiàn)CM的價(jià)值函數(shù)（或目標(biāo)函數(shù)）就是式（6.2）的一般化形式：? ?

? ? ? ? ??(6.10)

? 這里uij介于0，1間；ci為模糊組I的聚類中心，dij=||ci-xj||為第I個(gè)聚類中心與第j個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)間的歐幾里德距離；且是一個(gè)加權(quán)指數(shù)。

? 構(gòu)造如下新的目標(biāo)函數(shù)，可求得使（6.10）式達(dá)到最小值的必要條件：

???

??

? ? ? (6.11)

? 這里lj，j=1到n，是（6.9）式的n個(gè)約束式的拉格朗日乘子。對(duì)所有輸入?yún)⒘壳髮?dǎo)，使式（6.10）達(dá)到最小的必要條件為：

? ? ? ????

? ? ? ? ? ? ? (6.12)

和? ? ? ? ? ??

??

? ? ? ?(6.13)

? 由上述兩個(gè)必要條件，模糊C均值聚類算法是一個(gè)簡(jiǎn)單的迭代過(guò)程。在批處理方式運(yùn)行時(shí)，F(xiàn)CM用下列步驟確定聚類中心ci和隸屬矩陣U[1]：

? 步驟1：用值在0，1間的隨機(jī)數(shù)初始化隸屬矩陣U，使其滿足式（6.9）中的約束條件

? 步驟2：用式（6.12）計(jì)算c個(gè)聚類中心ci，i=1,…,c。

? 步驟3：根據(jù)式（6.10）計(jì)算價(jià)值函數(shù)。如果它小于某個(gè)確定的閥值，或它相對(duì)上次價(jià)值函數(shù)值的改變量小于某個(gè)閥值，則算法停止。

? 步驟4：用（6.13）計(jì)算新的U矩陣。返回步驟2。

? 上述算法也可以先初始化聚類中心，然后再執(zhí)行迭代過(guò)程。由于不能確保FCM收斂于一個(gè)最優(yōu)解。算法的性能依賴于初始聚類中心。因此，我們要么用另外的快速算法確定初始聚類中心，要么每次用不同的初始聚類中心啟動(dòng)該算法，多次運(yùn)行FCM。

4?FCM算法的應(yīng)用

? 通過(guò)上面的討論，我們不難看出FCM算法需要兩個(gè)參數(shù)一個(gè)是聚類數(shù)目C，另一個(gè)是參數(shù)m。一般來(lái)講C要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于聚類樣本的總個(gè)數(shù)，同時(shí)要保證C>1。對(duì)于m，它是一個(gè)控制算法的柔性的參數(shù)，如果m過(guò)大，則聚類效果會(huì)很次，而如果m過(guò)小則算法會(huì)接近HCM聚類算法。

? 算法的輸出是C個(gè)聚類中心點(diǎn)向量和C*N的一個(gè)模糊劃分矩陣，這個(gè)矩陣表示的是每個(gè)樣本點(diǎn)屬于每個(gè)類的隸屬度。根據(jù)這個(gè)劃分矩陣按照模糊集合中的最大隸屬原則就能夠確定每個(gè)樣本點(diǎn)歸為哪個(gè)類。聚類中心表示的是每個(gè)類的平均特征，可以認(rèn)為是這個(gè)類的代表點(diǎn)。

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