（1）基本概念

質(zhì)量慣性矩與物體質(zhì)量、物體的形狀和相對(duì)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)——回轉(zhuǎn)半徑的關(guān)系。

質(zhì)量慣性矩（Moment of Inertia，慣性矩）I-是衡量物體對(duì)旋轉(zhuǎn)方向變化的阻力。慣性矩與角加速度的關(guān)系與質(zhì)量與線(xiàn)性加速度的關(guān)系相同。

物體的慣性矩取決于物體中質(zhì)量相對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸的分布

對(duì)于點(diǎn)質(zhì)量，慣性矩是質(zhì)量乘以與旋轉(zhuǎn)參考軸垂直距離的平方，可以表示為：

I = m r^2??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)

其中：

I?= 慣性矩 (kg m^2,?slug?ft^2, lbf?fts^2)

m?= 質(zhì)量(kg, slugs)

r?= 軸與旋轉(zhuǎn)質(zhì)量之間的距離(m, ft)

示例-單個(gè)質(zhì)量的慣性矩：

如上圖所示，分布為薄環(huán)的1kg單個(gè)質(zhì)量繞z軸旋轉(zhuǎn)的慣性矩可計(jì)算為:

Iz?= (1 kg) ((1000 mm) (0.001 m/mm))^2

??? =?1?kg m^2

（2）慣性矩-分布質(zhì)量

點(diǎn)質(zhì)量是所有其他慣性矩的基礎(chǔ)，因?yàn)槿魏挝矬w都可以從點(diǎn)質(zhì)量的集合中“建立”起來(lái)。

I = ∑i?mi?ri^2?= m1?r1^2?+ m^2?r2^2?+?.....?+ mn?rn^2?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???(2)

對(duì)于相鄰粒子連續(xù)分布的剛體，公式最好用積分表示:

I = ∫ r^2?dm??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? (2b)

其中：

dm=體極小部分的質(zhì)量

在慣性矩的單位之間轉(zhuǎn)換：

?（3）慣性矩-通用公式

慣性方程的一般表達(dá)式為：

I = k m r^2??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? (2c)

k=慣性常數(shù)-取決于物體的形狀。

回轉(zhuǎn)半徑（在力學(xué)中）

回轉(zhuǎn)半徑是指距旋轉(zhuǎn)軸的距離，其中集中點(diǎn)質(zhì)量等于實(shí)際物體的慣性矩。物體的回轉(zhuǎn)半徑可以表示為

rg?= (I / m)1/2?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (2d)

rg=回轉(zhuǎn)半徑（m，ft）

I=車(chē)體慣性矩（kg m^2，slug? ft^2）

m=體質(zhì)量（kg，slugs）

?

（4）一些典型物體及其慣性矩

圓柱

• 薄壁空心圓柱體

薄壁空心圓柱體的慣性矩與點(diǎn)質(zhì)量（1）相當(dāng)，可以表示為：

I = m r^2???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? (3a)

其中：

m = 空心的質(zhì)量 (kg, slugs)

r =軸線(xiàn)與薄壁空心之間的距離 (m, ft)

ro?= 軸與外部空心之間的距離 (m, ft)

• 空心圓柱體

I = 1/2 m (ri^2?+ ro^2)??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (3b)

m = 空心質(zhì)量 (kg, slugs)

ri?= 軸與內(nèi)部空心之間的距離 (m, ft)

ro?= 軸與外部空心之間的距離 (m, ft)

• 實(shí)心圓柱體

I = 1/2 m r^2?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? (3c)

m = 圓柱質(zhì)量 (kg, slugs)

r = 軸與外筒之間的距離 (m, ft)

• ?圓盤(pán)

I = 1/2 m r^2???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (3d)

其中：

m = 圓盤(pán)質(zhì)量 (kg, slugs)

r = 軸與外圓盤(pán)之間的距離 (m, ft)

球體如下：

• ?薄壁空心球

I = 2/3 m r^2???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? (4a)

其中

m = 空心球質(zhì)量 (kg, slugs)

r = 軸與空心之間的距離 (m, ft)

• 實(shí)心球體

I = 2/5 m r^2?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4b)

其中：

m = 球體質(zhì)量 (kg, slugs)

r =球面半徑(m, ft)

• 矩形平面

軸通過(guò)中心的矩形平面的慣性矩可以表示為

I = 1/12 m (a^2?+ b^2)??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (5)

其中

a, b = 短邊和長(zhǎng)邊

軸沿邊緣的矩形平面的慣性矩可以表示為

I = 1/3 m a^2?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? (5b)

• ?細(xì)長(zhǎng)桿

軸通過(guò)中心的細(xì)長(zhǎng)桿的慣性矩可以表示為

I = 1/12 m L^2???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? (6)

L = 桿的長(zhǎng)度

軸穿過(guò)端部的細(xì)長(zhǎng)桿的慣性矩可以表示為

I = 1/3 m L^2?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (6b)

?