阿基米德如何借助杠桿原理確定半球體的重心位置
? ? ? ??說(shuō)到球體的重心，不需要思考，我們也可以知道在球心的位置?？墒?，如果把球體截掉一半，得到一個(gè)半球體，它的重心又在什么位置呢？這就不是一個(gè)可以輕松解決的問(wèn)題了。此時(shí)，很多人首先想到的是上高等數(shù)學(xué)的積分，當(dāng)然，對(duì)于一個(gè)現(xiàn)代人來(lái)說(shuō)，這沒(méi)有問(wèn)題，讓我們先來(lái)看看積分法求半球體重心的分析過(guò)程（看不懂沒(méi)關(guān)系，馬上為您提供古人能看懂的方法）：
? ? ? ??可是，對(duì)于微積分還沒(méi)誕生時(shí)期的古人來(lái)說(shuō)，又該如何通過(guò)數(shù)學(xué)方法確定半球體的中重心呢？在阿基米德的方法中，他是這樣做的。首先要構(gòu)造出球體和半球體，然后作出半球的內(nèi)接圓錐體，過(guò)軸線作剖面圖，截得半圓和等腰直角三角形，接著作垂直于軸線的截面，在半圓和等腰直角三角形中截得兩條線段。接下來(lái)就是要借助圓的相關(guān)知識(shí)來(lái)對(duì)這兩條線段之間的比例關(guān)系進(jìn)行論證，其中主要借助了比例論中三個(gè)量成比例的首末比性質(zhì)，再借助等腰直角三角形中的兩腰之間等量代換，最終達(dá)成軸線與截線之間的比例關(guān)系。最關(guān)鍵的還是要把相等關(guān)系回歸到杠桿中去，所以，在作圖時(shí)還要把輔助證明的杠桿給做出來(lái)，在此命題的作圖中，就是延長(zhǎng)球體的軸線到與軸線相等為止。作好杠桿示意圖后，根據(jù)剛才得到的相等比例關(guān)系，把等腰直角三角形中的截線段的重心放到杠桿延長(zhǎng)部分的端點(diǎn)，再把半圓中的截線段和等腰直角三角形中的截線段共同放在原位置，此時(shí)，杠桿的兩端會(huì)發(fā)生平衡狀態(tài)，這就是比例中的相等關(guān)系與杠桿原理的互相轉(zhuǎn)化關(guān)系。
? ? ? ? 在探究出線段之間的相等關(guān)系后，就可以把它們轉(zhuǎn)化為截面圓的相等關(guān)系，也就是把圓錐體中的截面圓的重心放到杠桿延長(zhǎng)后的端點(diǎn)處，再把半球體的截面圓連同圓錐體的截面圓一起放在原位置，它們?cè)诟軛U的兩端依然保持平衡狀態(tài)。最后，再把一個(gè)個(gè)的截面疊加起來(lái)，就形成了半球體和圓錐體，此時(shí)的相等關(guān)系又可以轉(zhuǎn)化為如下平衡關(guān)系：重心放在杠桿延伸方向端點(diǎn)的圓錐體與放在原位置的半球體加圓錐體在杠桿兩端保持平衡狀態(tài)。
? ? ? ??當(dāng)然，在數(shù)量關(guān)系的論證中，阿基米德還把前面的圓錐用兩個(gè)等體積的圓柱體代替，這種假設(shè)為后續(xù)的數(shù)量關(guān)系的論證帶來(lái)了極大的便利。下面，就請(qǐng)大家到原文的翻譯中去領(lǐng)略前人的思維風(fēng)采吧！
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